{"year": "2004", "problem_label": "1", "tier": 1, "problem": "In der Ebene liegen n abgeschlossene Kreisscheiben $\\mathrm{K}_{1}, \\mathrm{~K}_{2}, \\ldots ; \\mathrm{K}_{\\mathrm{n}}$ mit gleichem Radius r . Jeder Punkt der Ebene ist dabei in höchstens 2003 dieser Kreisscheiben enthalten. Man beweise, dass jede Kreisscheibe $K_{\\mathrm{i}}$ höchstens 14020 andere Kreisscheiben schneidet.", "solution": "Wir führen einen Beweis durch Widerspruch. Dazu nehmen wir zusätzlich zur Voraussetzung an, dass eine Kreisscheibe (oBdA sei dies $K_{1}$ ) mindestens 14021 andere Kreisscheiben schneidet. Die Mittelpunkte dieser Scheiben liegen dann offensichtlich alle in einer Kreisscheibe mit Radius $2 r$ um den Mittelpunkt $M_{1}$ von $K_{1}$. Lägen 2003 oder mehr der Mittelpunkte dieser anderen Kreisscheiben in oder auf dem Rand von $K_{1}$, so würden diese Scheiben alle $M_{1}$ enthalten. Damit würde $M_{1}$ in mehr als 2003 Kreisscheiben enthalten sein, da $M_{1}$ auch in $K_{1}$ enthalten ist. Also müssen mindestens 14021 - 2002 $=12019$ Mittelpunkte der anderen Kreisscheiben in einem Kreisring mit innerem Radius r und äußerem Radius $2 r$ um $M_{1}$ liegen. Teilen wir diesen Ring in 6 gleich große Sektoren mit Innenwinkel $60^{\\circ}$, so liegen nach dem Schubfachprinzip in mindestens einem Sektor wenigstens 2004 dieser Mittelpunkte.\nIn der Zeichnung ist dieser Sektor mit dem Mittelpunkt $M$ der Strecke $A B$ dargestellt. Aus $\\left|A M_{1}\\right|=\\left|B M_{1}\\right|=2 r$ und $\\angle A M_{1} B=$ $60^{\\circ}$ folgt, dass $\\triangle A B M_{1}$ gleichseitig ist. Also sind $M D$ und MC seine Mittelparallelen und es folgt\n$|M A|=|M B|=|M C|=|M D|=r$. Daher liegt der Sektor vollständig in einem Kreis um M mit Radius r. Jede der wenigstens 2004 Kreisscheiben mit Mittelpunkten in diesem Sektor enthält also den Punkt M. Damit ist M aber in\n![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_05_89ac06f712fef2cb303bg-1.jpg?height=421&width=472&top_left_y=1383&top_left_x=1346)\nwenigstens 2004 Kreisscheiben enthalten - ein Widerspruch zur Annahme.", "problem_match": "# Aufgabe 1", "solution_match": "# Lösung\n"}
{"year": "2004", "problem_label": "2", "tier": 1, "problem": "Gegeben seien jeweils n reelle Zahlen $\\mathrm{x}_{1}, \\mathrm{x}_{2}, \\ldots, \\mathrm{x}_{\\mathrm{n}}$ bzw. $\\mathrm{y}_{1}, \\mathrm{y}_{2}, \\ldots, \\mathrm{y}_{\\mathrm{n}}$. Die Elemente einer $\\mathrm{n} \\times \\mathrm{n}$-Matrix A seien folgendermaßen definiert: ( $1 \\leq \\mathrm{i}, \\mathrm{j} \\leq \\mathrm{n}$ )\n\n$$\na_{i j}= \\begin{cases}1 & \\text { wenn } x_{i}+y_{j} \\geq 0 \\\\ 0 & \\text { wenn } x_{i}+y_{j}<0\\end{cases}\n$$\n\nWeiter sei B eine $\\mathrm{n} \\times \\mathrm{n}$-Matrix mit Elementen 0 oder 1, so dass die Summe der Elemente in jeder Zeile und jeder Spalte von B gleich der Summe der Elemente in der entsprechenden Zeile bzw. Spalte von A ist.\nMan beweise, dass dann $\\mathrm{A}=\\mathrm{B}$ gilt.", "solution": "Wir nehmen an, dass es eine Matrix $B$ der geforderten Art gebe mit $B \\neq A$. Nun betrachten wir in A nur noch diejenigen Elemente $a_{i j}$, die sich von den entsprechenden Elementen $b_{i j}$ unterscheiden. Es muss mindestens ein solches Element geben. Alle anderen Elemente von A werden gestrichen. Dann ist innerhalb jeder Zeile bzw. Spalte die Anzahl der verbleibenden Nullen gleich der Anzahl der verbleibenden Einsen, da diese\n\nAnzahlen in B bei gleicher Zeilen- bzw. Spaltensumme gerade vertauscht sind. Also tritt jede Zahl $x_{i}$ in der verbleibenden Anordnung genauso oft als Summand einer Summe $x_{i}+y_{j}<0$ auf wie als Summand einer Summe $x_{i}+y_{j} \\geq 0$. Das Gleiche gilt für jede Zahl $y_{j}$.\nNun addieren wir alle Summen $x_{i}+y_{j}<0$ mit $a_{i j} \\neq b_{i j}$. Die Summe dieser Summen ist zwangsläufig $<0$. Ebenso addieren wir alle Summen $x_{i}+y_{j} \\geq 0$ mit $a_{i j} \\neq b_{i j}$. Die Summe dieser Summen ist zwangsläufig $\\geq 0$. Da aber jede der Zahlen $x_{i}$ und $y_{j}$ gleich häufig in beiden Summen auftritt, müssen diese Summen den gleichen Wert haben Widerspruch! Daher kann es keine verschiedenen Elemente in A und B geben und es gilt $A=B$.", "problem_match": "# Aufgabe 2", "solution_match": "# Lösung\n"}
{"year": "2004", "problem_label": "3", "tier": 1, "problem": "Es sei $A B C$ ein gleichschenkliges Dreieck mit $\\overline{A C}=\\overline{B C}$ und Inkreismittelpunkt I. Ferner sei $P$ ein Punkt im Inneren von ABC auf dem Umkreis des Dreiecks BIA. Die Parallelen zu $C A$ und $C B$ durch $P$ schneiden $A B$ in $D$ bzw. E. Die Parallele zu AB durch P schneidet CA und $C B$ in $F$ bzw. G.\nMan zeige, dass sich die Geraden DF und EG auf dem Umkreis des Dreiecks ABC schneiden.", "solution": "Wegen $\\angle F P E=\\angle F G B=180^{\\circ}-\\angle C B A=180^{\\circ}-\\angle B A C=180^{\\circ}-\\angle F A E$ (Parallelität und Gleichschenkligkeit) ist FAEP ein Sehnenviereck. Analog erweist sich GPDB als Sehnenviereck. Ihre beiden Umkreise schneiden sich in P und einem weiteren Punkt, den wir mit S bezeichnen. Nun folgt weiter $\\angle E S P=\\angle E A P=\\angle B A P=180^{\\circ}-\\angle A P B-\\angle P B A$ $=180^{\\circ}-\\angle A I B-\\angle P B A=\\angle B A I+\\angle I B A-\\angle P B A=2 \\cdot \\frac{1}{2} \\angle C B A-\\angle P B A=\\angle C B P=\\angle G B P$ $=\\angle G S P$ (Umfangswinkel und Symmetrie). Also liegt S auf der Geraden EG; entsprechend sind S, D und F kollinear. Deshalb ist S der Schnittpunkt von DF und EG. Es bleibt zu beweisen, dass dieser Punkt auf dem Umkreis von ABC liegt.\nIn der Tat gilt\n$\\angle B S A=\\angle P S A+\\angle B S P=180^{\\circ}-\\angle A F P+180^{\\circ}-\\angle P G B=$ $\\angle G F C+\\angle C G F=180^{\\circ}-\\angle F C G=180^{\\circ}-\\angle A C B$. Somit ist ASBC ein Sehnenviereck, was zu beweisen war.\n![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_05_89ac06f712fef2cb303bg-2.jpg?height=559&width=530&top_left_y=1548&top_left_x=1294)", "problem_match": "# Aufgabe 3", "solution_match": "\nLösung:"}