{"year": "2005", "problem_label": "1", "tier": 1, "problem": "Gegeben sind die positiven reellen Zahle $a$ und $b$ und die natürliche Zahl $n$.\nMan ermittle in Abhängigkeit von $a, b$ und $n$ das größte der $n+1$ Glieder in der Entwicklung von $(a+b)^{n}$.", "solution": "Das $k$-te Glied $\\mathrm{G}(\\mathrm{k})$ in der Entwicklung von $(\\mathrm{a}+\\mathrm{b})^{\\mathrm{n}}$ ist gegeben durch die Formel: $G(k)=\\binom{n}{k-1} \\cdot a^{n-k+1} \\cdot b^{k-1}$, wobei $\\binom{n}{0}=1$ und $1 \\leq \\mathrm{k} \\leq \\mathrm{n}+1$.\nDa es endlich viele Glieder gibt und jede endliche Zahlenmenge (mindestens) ein maximales Element enthält, wird untersucht unter welchen Bedingungen das k-te Element maximal ist. Dafür müssen die folgenden Beziehungen gleichzeitig erfüllt sein: $\\binom{n}{k-1} \\cdot a^{n-k+1} \\cdot b^{k-1} \\geq\\binom{ n}{k} \\cdot a^{n-k} \\cdot b^{k}$ und $\\binom{n}{k-1} \\cdot a^{n-k+1} \\cdot b^{k-1} \\geq\\binom{ n}{k-2} \\cdot a^{n-k+2} \\cdot b^{k-2}$, wobei im letzten Fall $k \\geq 2$ sein muss und eine dieser Ungleichungen streng ist (einfacher Nachweis!).\nDas führt einerseits $\\mathrm{zu} \\frac{1}{n-k+1} \\cdot a \\geq \\frac{1}{k} \\cdot b$ und andererseits $\\mathrm{zu} \\frac{1}{k-1} \\cdot b \\geq \\frac{1}{n-k+2} \\cdot a$, woraus sowohl $\\mathrm{n}+1 \\geq \\mathrm{k} \\geq \\frac{n b+b}{a+b}$, als auch $1 \\leq \\mathrm{k} \\leq \\frac{n b+2 b+a}{a+b}=\\frac{n b+b}{a+b}+1$ folgt.\nFalls $\\mathrm{i}=\\frac{n b+b}{a+b}$ nicht ganzzahlig ist, ist $\\mathrm{G}(\\mathrm{i})$ das größte Glied, andernfalls sind $\\mathrm{G}(\\mathrm{i})$ und $\\mathrm{G}(\\mathrm{i}+1)$ maximal.\nWeitere maximale Glieder kann es nicht geben.", "problem_match": "# Aufgabe 1", "solution_match": "# Lösung\n"}
{"year": "2005", "problem_label": "2", "tier": 1, "problem": "Sei $E=\\{-1,0,1\\}$ und $M$ eine Menge von Gitterpunkten der Ebene. Die Punkte aus $M$ sind so durch ein Streckennetz (S) miteinander verbunden, dass man von jedem Punkt aus M zu jedem anderen Punkt aus M gelangen kann ohne ( S ) zu verlassen. Dabei können die Strecken des Streckennetzes außer den Gitterpunkten auch andere Endpunkte enthalten.\nMan ermittle die kürzeste Gesamtlänge des Streckennetzes, falls:\na) $M=\\{(i, j) \\mid i, j \\in E$ und $i \\cdot j=0\\}$\nb) $M=\\{(i, j) \\mid i, j \\in E\\}$", "solution": "Teil a): Aus Symmetriegründen reicht es zunächst das günstigste Streckennetz für die Punkte $O(0,0)$, $A(1,0)$ und $C(0,1)$ zu finden. Durch Spiegelung an O erhält man dann das gewünschte Netz für die Punkte aus M. Durch eine Drehung der Ebene $x O y$ um O mit Drehwinkel $60^{\\circ}$ (Fig. 1) wird das Dreieck $\\triangle O A C$ in das Dreieck $\\triangle O A^{\\prime} C^{\\prime}$ überführt, wobei die Strecke P'C' das Bild von PC ist. Das kürzeste Streckensystem, das die Punkte O, A und $C$ wie gefordert verbindet, hat also eine Gesamtlänge, die gleich jener der Strecke $A C^{\\prime}$ ist.\n![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_05_292672805a3405b19b02g-1.jpg?height=361&width=617&top_left_y=2361&top_left_x=1185)\n\nFig. 1\n\nIm Dreieck $\\triangle \\mathrm{OAC}^{\\prime}$ ist aber $\\mathrm{AC}^{\\prime}=\\sqrt{2-2 \\cos 150^{\\circ}}=\\sqrt{2+\\sqrt{3}}$ (Kosinussatz). Durch Spiegelung am Ursprung O erhält man ein für Teil a) kürzestes Streckensystem mit einer Gesamtlänge von $2 \\sqrt{2+\\sqrt{3}}=\\sqrt{2}+\\sqrt{6}$.\n\nTeil b): Ebenfalls aus Symmetriegründen reicht es zunächst das kürzeste Streckensystem für die Punkte $D(-1 \\mid 1), O(0 \\mid 0), A(1 \\mid 0), B(1 \\mid 1)$ und $C(0 \\mid 1)$ zu finden. Da die Entfernung von D zu den restlichen vier Punkten mindestens 1 beträgt, hat ein solches System eine Gesamtlänge von $1+\\frac{\\sqrt{2}+\\sqrt{6}}{\\sqrt{2}}=1+1+\\sqrt{3}=2+\\sqrt{3}$ (siehe Fig. 2).\n![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_05_292672805a3405b19b02g-2.jpg?height=420&width=498&top_left_y=681&top_left_x=322)\n\nFig. 2\n\nDamit ergibt\n(nach Spiegelung an 0 ) für b) eine Gesamtlänge von $2(2+\\sqrt{3})=4+2 \\sqrt{3}$.\nBemerkung: Der Punkt $P$ aus Teil a) ist der Fermat-Punkt des Dreiecks $\\triangle \\mathrm{OAC}$; die Summe seiner Abstände zu den Eckpunkten O, A und C ist minimal. Jedes Dreieck, in dem kein Winkel größer-gleich $120^{\\circ}$ ist, enthält im Inneren einen solchen Punkt. Ist aber z.B. in einem Dreieck $\\triangle A B C \\alpha \\geq 120^{\\circ}$, dann ist dort $A B+A C$ minimal. Diese Eigenschaften wurden wohl zum ersten Mal von Evangelista Torricelli (1608 - 1647) entdeckt und von Pierre Fermat (1601 - 1665) weiter untersucht.", "problem_match": "# Aufgabe 2", "solution_match": "# Lösung\n"}
{"year": "2005", "problem_label": "3", "tier": 1, "problem": "Man beweise: Ist $4^{n} \\cdot 7=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}$ mit $n, a, b, c, d \\in N \\backslash\\{0\\}$, dann kann keine der Quadratzahlen die Zahl $4^{\\mathrm{n}-1}$ unterschreiten.", "solution": "Ist $n=1$, dann ist die Behauptung richtig; die einzigen Lösungen für $a, b, c, d$ sind, abgesehen von der Reihenfolge, die Quadrupel $(1,1,1,5)$, $(1,3,3,3)$ und $(2,2,2,4)$. Für jedes $n \\geq 1$ ist $4^{n} .7$ durch 4 teilbar. Da das Quadrat einer natürlichen Zahl bei der Division durch 4 nur die Reste 0 oder 1 haben kann, kommen für $a, b, c, d$ nur Zahlen gleicher Restklasse modulo 4 in Frage.\nSind a, b, c, d (alle) ungerade, dann ist die rechte Seite zwar durch 4, nicht aber durch 8 und erst recht nicht durch 16 teilbar. In diesem Fall kommt also nur $\\mathrm{n}=1$ in Frage. Sollte $n>1$ sein, dann müssen die vier Zahlen auf der rechten Seite demnach alle gerade sein.\nVorausgesetzt die Eigenschaft, dass alle Quadratzahlen $4^{n-1}$ überschreiten, gilt nicht für alle $n$, dann gibt es ein kleinstes $k(k \\in N)$ für das sie nicht gilt. Da sie für $n=1$ gilt, muss $k$ größer 1 sein. Dann sind aber (siehe oben) a, b, c, d alle gerade. Man könnte also beide Seiten durch 4 teilen und die Eigenschaft dürfte auch für k-1 nicht gelten, was aber wegen der Minimalität von $k$ nicht sein kann. Die Behauptung stimmt also für alle natürlichen Zahlen $\\mathrm{n}, \\mathrm{n} \\geq 1$.", "problem_match": "# Aufgabe 3", "solution_match": "# Lösung\n"}