{"year": "2005", "problem_label": "1", "tier": 1, "problem": "Eine unendliche Folge $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \\ldots$ reeller Zahlen erfüllt die Bedingung $a_{n}=\\left|a_{n+1}-a_{n+2}\\right|$ für alle $n \\geq 0$, wobei $a_{0}$ und $a_{1}$ verschiedene positive Zahlen sind.\nKann diese Folge beschränkt sein? Die Antwort ist zu begründen.", "solution": "Zunächst beweisen wir, dass zwei aufeinander folgende Glieder niemals gleich sein können. Aus $a_{n}=a_{n+1}=c$ folgte nämlich sofort $a_{n-1}=0$ und $a_{n-2}=a_{n-3}=c \\quad(n>2)$. Schließlich müsste $a_{0}=a_{1}$ oder $a_{0}=0$ bzw. $a_{1}=0$ sein, was ausgeschlossen ist. Daher gilt auch $a_{n}>0$ für alle n.\nAuflösen der Bedingung liefert $a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}$ falls $a_{n+2}>a_{n+1}$ ist, sowie $a_{n+2}=a_{n+1}-a_{n}$ falls $a_{n+2}<a_{n+1}$ ist. Aus $a_{n+1}<a_{n}$ folgt also $a_{n+2}>a_{n}$ und $a_{n+2}>a_{n+1}$. Daher ist diejenige Teilfolge $b_{0}, b_{1}, b_{2}, \\ldots$ streng monoton wachsend, die durch Weglassen aller Glieder entsteht, die kleiner als ihr Vorgänger und ihr Nachfolger sind.\nWenn wir nun zeigen, dass $b_{m+1}-b_{m} \\geq b_{m}-b_{m-1}$ für alle $m \\geq 2$ gilt, so haben wir für diese Teilfolge eine arithmetische Folge mit positiver Differenz als Minorante, woraus die Unbeschränktheit direkt folgt. Dazu setzen wir $b_{m+1}=a_{n+2}$, wobei $a_{n+2}>a_{n+1}$ gelten soll. Für $a_{n+1}>a_{n}$ haben wir $b_{m}=a_{n+1}$ und $b_{m-1} \\geq a_{n-1}$ (weil entweder $b_{m-1}=a_{n-1}$ oder $b_{m-1}=$ $a_{n}>a_{n-1}$ gilt). So ist $b_{m+1}-b_{m}=a_{n}=a_{n+1}-a_{n-1} \\geq b_{m}-b_{m-1}$. Für $a_{n+1}<a_{n}$ haben wir dagegen $b_{m}=a_{n}$ und $b_{m-1} \\geq a_{n-1}$ (weil entweder $b_{m-1}=a_{n-1}$ oder $b_{m-1}=a_{n-2}>a_{n-1}$ gilt). So ist hier $b_{m+1}-b_{m}=a_{n+1}=a_{n}-a_{n-1} \\geq b_{m}-b_{m-1}$.", "problem_match": "# Aufgabe 1", "solution_match": "# Lösung\n"}
{"year": "2005", "problem_label": "2", "tier": 1, "problem": "Gegeben seien ein Kreis K und eine Gerade g , die keinen gemeinsamen Punkt haben.\nFerner sei $\\overline{A B}$ der Durchmesser von K , der orthogonal zu g ist, wobei B näher an g liegt als $A$. Weiter sei ein beliebiger Punkt $C$, verschieden von $A$ und $B$, auf $K$ gegeben. Die Gerade AC schneidet g in D; die Gerade DE berührt K in E, wobei B und E auf derselben Seite von AC liegen. Schließlich schneidet BE die Gerade g im Punkt F und AF den Kreis K außer in A im Punkt G.\nMan beweise, dass der Spiegelpunkt von G bezüglich der Achse AB auf der Geraden CF liegt.", "solution": "Wir bezeichnen den zweiten Schnittpunkt von CF und K mit H sowie den Schnittpunkt von AB und g mit X . Wegen $A B \\perp g$ reicht es zu zeigen, dass $G H \\| g$. Dies ist genau dann der Fall, wenn $\\angle A G H=\\angle A F D$. Umfangswinkelsatz und Scheitelwinkel liefern $\\angle A G H=\\angle A C H=\\angle D C F$; also muss $\\angle D C F=\\angle A F D$ gezeigt werden. Da die Dreiecke DFC und ADF bei D einen Winkel gemeinsam haben, braucht nur deren (gegensinnige) Ähnlichkeit nachgewiesen zu werden. Diese ist genau dann erfültt, wenn $\\frac{|D C|}{|D F|}=\\frac{|D F|}{|D A|}$,\nd.h. $|D F|^{2}=|D A| \\cdot|D C|$ gilt. Nach dem TangentenSekantensatz gilt allerdings $|D E|^{2}=|D A| \\cdot|D C|$, so dass nur $|D E|=|D F|$ zu zeigen bleibt, was mit $\\angle D E F=\\angle E F D$ gleichbedeutend ist.\nWegen $\\angle F X B=\\angle A E B=90^{\\circ}$ ist AEXF ein Sehnenviereck und es gilt $\\angle E F X=\\angle E A B$. Die Gleichheit der Sehnen-Tangentenwinkel liefert\n$\\angle D E F=\\angle E A B$, woraus $\\angle D E F=\\angle E F D$ folgt.\n![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_05_1f8e9017a61a38ee7e23g-2.jpg?height=532&width=687&top_left_y=199&top_left_x=1147)", "problem_match": "# Aufgabe 2", "solution_match": "# Lösung\n"}
{"year": "2005", "problem_label": "3", "tier": 1, "problem": "Gegeben seien zwei positive ganze Zahlen $n$ und $k$. In der Ebene liegen $n$ Kreise ( $\\mathrm{n} \\geq 2$ ), so dass jeder Kreis jeden anderen zweimal schneidet und alle diese Schnittpunkte paarweise verschieden sind.\nJeder Schnittpunkt wird mit einer von n Farben so gefärbt, dass jede Farbe wenigstens einmal verwendet wird und auf jedem der Kreise die gleiche Anzahl k von Farben vertreten ist.\nMan bestimme alle Werte von $n$ und $k$, für die eine solche Färbung möglich ist.", "solution": "Die Antwort lautet: $2 \\leq k \\leq n \\leq 3$ oder $3 \\leq k \\leq n$.\nOffensichtlich gilt $k \\leq n$ nach Aufgabenstellung sowie $k \\geq 2$, weil für $k=1$ alle Punkte dieselbe Farbe hätten, während die Anzahl $n$ der Farben $\\geq 2$ sein soll. Wir nummerieren die Kreise und die Farben von 1 bis n und bezeichnen mit $F(i, j)$ die Menge der Farben der Schnittpunkte der Kreise i und j. F $(i, j)$ enthält ein oder zwei Elemente.\nSei $k=2$. Für $n=2$ ist $F(1,2)=\\{1,2\\}$ eine erlaubte Färbung. Für $n=3$ ist $F(1,2)=\\{3\\}$, $F(2,3)=\\{1\\}, F(3,1)=\\{2\\}$ ein Beispiel für eine erlaubte Färbung. Sei nun $n \\geq 4$. Jedem der n Kreise ordnen wir die Menge $\\{i, j\\}$ der beiden auf ihm vorkommenden Farben zu. Jede dieser Mengen besteht aus zwei Elementen und jede der n Farben muss in wenigstens zwei Mengen vorkommen, da sich in jedem gefärbten Punkt zwei Kreise schneiden. Also kommt jede Farbe in genau zwei Mengen vor. Zum Kreis 1 mit der Menge $\\{i, j\\}$ gibt es daher noch höchstens zwei weitere Kreise, in deren Farbmengen i oder j vorkommen. Wegen $n \\geq 4$ finden wir stets einen Kreis 2 mit der Menge $\\{k, l\\}$ und $\\{k, l\\} \\cap\\{i, j\\}=\\{ \\}$. Die Schnittpunkte der Kreise 1 und 2 sind dann nicht erlaubt färbbar Widerspruch!\nNun beweisen wir mit vollständiger Induktion einen etwas stärkeren Satz als verlangt: Für $n \\geq k \\geq 3$ existiert stets eine erlaubte Färbung, bei der auf dem Kreis i die Farbe i für alle $i=1, \\ldots, n$ vorkommt. Zur Verankerung geben wir für $k=n=3 \\operatorname{mit} F(1,2)=\\{1,2\\}$, $F(1,3)=\\{1,3\\}, F(2,3)=\\{2,3\\}$ ein Beispiel und für $k=3, n>3$ folgendes Beispiel für eine erlaubte Färbung mit Zusatzbedingung:\n$F(1,2)=\\{1,2\\}, F(i, i+1)=\\{i\\}$ für $1<i<n-1, F(n-1, n)=\\{n-2, n-1\\}$ und $F(i, j)=\\{n\\}$ für die restlichen Paare $(i, j)$ mit $1 \\leq i<j \\leq n$.\nNun nehmen wir an, dass der stärkere Satz für ein $k \\geq 3$ erfüllt ist, und wählen $n \\geq k+1$. Wegen $n-1 \\geq k \\geq 3$ gibt es eine erlaubte Färbung mit Zusatzbedingung für die Kreise bzw. Farben 1,2,..., n-1. Jetzt färben wir die Schnittpunkte des Kreises n: Für jedes $i=1, \\ldots, n-1$ erhält ein Schnittpunkt der Kreise i und n die Farbe n . Damit kommen auf jedem der Kreise i mit $i=1, \\ldots, n-1$ genau $k+1$ Farben vor; darunter i und $n$. Für $i=1, \\ldots, k$ erhält der zweite Schnittpunkt der Kreise i und n die Farbe i, so dass nun auch auf dem Kreis $n$ genau $k+1$ Farben liegen, nämlich 1 bis $k$ und $n$. Alle übrigen neuen Schnittpunkte erhalten die Farbe n, so dass auf keinem Kreis weitere Farben dazukommen. Diese Färbung erfüllt alle Bedingungen.", "problem_match": "# Aufgabe 3", "solution_match": "# Lösung\n"}