1) Quando Joana entrou em sua sala de aula, a professora estava apagando o quadro negro, mas ela ainda pôde ver algo escrito, conforme mostra a figura. Qual é o número que foi apagado?
A) 8
B) 9
C) 11
D) 12
E) 13
2) Numa papelaria, pacotes com 500 folhas de papel, cada um, são armazenados em pilhas de 60 pacotes. Cada folha de papel tem espessura de $0,1 \mathrm{~mm}$. Ignorando a espessura do papel utilizado para embrulhar os pacotes, o que podemos afirmar sobre a altura de uma pilha?
A)É aproximadamente a sua altura.
B) É aproximadamente a altura de um bebê de um ano.
C)É aproximadamente a altura de uma mesa comum.
D)É aproximadamente a altura de um prédio de dez andares.
E) É aproximadamente a altura de uma sala de aula.
3) Considere dois números naturais, cada um deles com três algarismos diferentes. $\mathrm{O}$ maior deles só tem algarismos pares e o menor só tem algarismos ímpares. Se a diferença entre eles é a maior possível, qual é essa diferença?
A) 997
B) 777
C) 507
D) 531
E) 729
4) Uma farmácia dá desconto de $30 \%$, sobre o preço de tabela, em todos os medicamentos que vende. Ao adquirir um remédio cujo preço de tabela é 120 reais, quanto uma pessoa irá pagar com esse desconto?
A) 36 reais
B) 84 reais
C) 64 reais
D) mais de 116 reais
E) 94 reais
5) Quatro cidades $A, B, C$ e $D$, foram construídas à beira de uma rodovia reta, conforme a ilustração abaixo:
$$
A \quad B \quad C \quad D
$$
A distância entre $A$ e $C$ é de $50 \mathrm{~km}$ e a distância entre $B$ e $D$ é de $45 \mathrm{~km}$. Além disso, sabese que a distância entre a primeira e a última é de $80 \mathrm{~km}$. Qual é a distância entre as cidades $B$ e $C$ ?
A) $15 \mathrm{~km}$
B) $20 \mathrm{~km}$
C) $25 \mathrm{~km}$
D) $5 \mathrm{~km}$
E) $10 \mathrm{~km}$
6) Na tabela a seguir vemos o consumo mensal de água de uma família, durante os 5 primeiros meses de 2004.
| Meses | Consumo
$\left(\mathbf{m}^{3}\right)$ |
| :---: | :---: |
| Janeiro | 12,5 |
| Fevereiro | 13,8 |
| Março | 13,7 |
| Abril | 11,4 |
| Maio | 12,1 |
Qual é o consumo médio mensal dessa família de janeiro a maio?
A) $11,3 m^{3}$
B) $11,7 \mathrm{~m}^{3}$
C) $12,7 \mathrm{~m}^{3}$
D) $63,5 \mathrm{~m}^{3}$
E) $317,5 \mathrm{~m}^{3}$
7) Escreva os números de 0 a 9 nos círculos ao lado, de forma que eles cresçam no sentido anti-horário. Em seguida, subtraia 1 dos números ímpares e some 1 aos números pares. Escolhendo três círculos consecutivos, qual é a maior soma que se pode obter?
A) 19
B) 21
C) 23
D) 24
E) 25
8) Na malha quadriculada a seguir, todas as circunferências têm o mesmo centro. Então, pode-se concluir que a área cinza é:
A) Dois quintos da área do círculo maior.
B) Três sétimos da área do círculo maior.
C) Metade da área do círculo maior.
D) Quatro sétimos da área do círculo maior.
E) Três quintos da área do círculo maior
9) A prefeitura de uma certa cidade fez uma campanha que permite trocar 4 garrafas de 1 litro vazias por uma garrafa de 1 litro cheia de leite. Quantos litros de leite pode obter uma pessoa que possua 43 dessas garrafas vazias fazendo várias trocas?
A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
10) Ester vai a uma papelaria para comprar cadernos e canetas. Nesta papelaria os cadernos custam $R \$ 6,00$ cada um. Se ela comprar 3 cadernos, sobram $R \$ 4,00$. Se o seu irmão lhe emprestar $R \$ 4,00$, com o total ela conseguirá comprar 2 cadernos e outras 7 canetas iguais.
a) Quanto custa cada caneta?
b) Se ela comprar 2 cadernos e não pedir dinheiro emprestado, quantas das canetas acima Ester poderá comprar?
1. (D) Solução 1 - Como $96 \div 8=12$, temos $8 \times 12=96$.
Observe que a solução é equivalente a resolver a equação $8 x=96$, cuja raiz é $x=\frac{96}{8}=12$.
Solução 2 - Devemos encontrar na lista de cinco opções qual é o número que multiplicado por 8 dá 96 . O algarismo das unidades deste número só pode ser 2 ou 7 .
Logo, só pode ser o número 12 .
2. (E) Como a espessura de cada folha é $0,1 \mathrm{~mm}$, a altura de um pacote com 500 folhas é $500 \times 0,1 \mathrm{~mm}=50 \mathrm{~mm}$. Logo, a altura de cada pilha será $60 \times 50 \mathrm{~mm}=3000 \mathrm{~mm}=3 \mathrm{~m}$.
3. (E) Para que a diferença seja a maior possível devemos escolher o maior número de 3 algarismos pares diferentes e o menor número de 3 algarismos ímpares diferentes. $\mathrm{O}$ maior número de 3 algarismos pares diferentes é 864 e o menor número de 3 algarismos ímpares diferentes é 135 . A diferença entre eles é $864-135=729$.
4. (B) Solução 1 - A pessoa irá pagar 120 reais menos o desconto que é de $30 \%$ sobre 120 . Ou seja: $120-0,3 \times 120=120-36=84$ reais.
Solução 2- Podemos também resolver este problema notando que se o desconto é de $30 \%$ então o preço que a pessoa pagará é $70 \%$ de 120 , ou seja: $0,7 \times 120=84$ reais.
5. (A) Solução 1 - Temos $C D=80-50=30$ e $A B=80-45=35$. Logo $B C=80-35-30=15$.
## Solução 2 -
Do enunciado temos: $A C=50, B D=45$ e $A D=80$. Da figura segue que $B C=A C-A B$, logo $B C=50-A B$.
Logo, basta calcular $A B$. Para isso, note na figura que $A B=A D-B D$, e portanto, $A B=80-45=35$.
Finalmente, $B C=50-35=15 \mathrm{~km}$.
Solução 3 - Da figura temos que $45-B C=80-50$. Logo, $B C=15 \mathrm{~km}$.
6. (C) Lembre que a média aritmética de $n$ números é a soma desses números dividido por $n$. Por exemplo: a média aritmética dos números $3,6,8$ e 26 é $\frac{3+6+8+26}{4}=\frac{43}{4}=10,75$.
Analogamente, define-se o consumo mensal médio como a razão entre a soma dos consumos mensais e o número de meses. Logo, o consumo mensal médio é igual a $\frac{12,5+13,8+13,7+11,4+12,1}{5}=12,7 \mathrm{~m}^{3}$.
7. (C) A partir de qualquer círculo, obtemos inicialmente a seqüência $0,1,2,3,4,5,6,7,8$, 9;
Subtraindo 1 dos ímpares e somando 1 aos pares, a seqüência torna-se $1,0,3,2,5,4,7,6,9$, 8 . Agora é fácil verificar que a maior soma possível com 3 números consecutivos é $6+9+8=23$.
8. (C) Observe que a figura é simétrica em relação à reta $r$ que passa pelo centro comum das circunferências. Para cada região cinza de um lado de $r$ existe uma região branca equivalente do outro lado de $r$, e vice-versa. Logo, a área cinza é igual à área branca. Além disso, a soma dessas duas áreas é igual à área do círculo maior. Portanto, a área cinza é metade da área do círculo maior.
9. (D) Como $43=10 \times 4+3$, numa primeira vez, as 43 garrafas vazias podem ser trocadas por 10 garrafas cheias, sobrando ainda 3 vazias. Agora, consumindo o leite dessas 10 garrafas, ficamos com 13 vazias, $13=4 \times 3+1$, que podem ser trocadas desta vez por 3 cheias, sobrando 1 vazia. Finalmente, consumindo o leite das 3 garrafas cheias, sobram 4 vazias, que podem ser trocadas por 1 cheia. Portanto, o total de garrafas cheias de leite que podem ser obtidas é $10+3+1=14$.
10. Comprando 3 cadernos por 6 reais cada um ainda sobram 4 reais para Ester, logo, a quantia que ela possui é:
$3 \times 6+4=22$ reais.
(a) Se o irmão lhe empresta 4 reais, ela fica então com $22+4=26$ reais. Conforme dados do problema, com 26 reais, Ester pode comprar 2 cadernos a 6 reais cada um e 7 canetas. Portanto, o preço das 7 canetas é $26-2 \times 6=26-12=14$ reais. Concluímos que o preço de cada caneta é $14 \div 7=2$ reais.
(b) Como Ester tinha 22 reais, se ela comprar 2 cadernos, sobram-lhe ainda $22-2 \times 6=22-12=10$ reais. Como cada caneta custa 2 reais, ela poderá comprar $10 \div 2=5$ canetas.
1) Um pedreiro é capaz de assentar 8 metros de muro por dia. Quantos metros de muro esse pedreiro consegue assentar em 15 dias?
A) 104
B) 110
C) 120
D) 128
E) 112
2) A balança da figura está em equilíbrio com bolas e saquinhos de areia em cada um de seus pratos. As bolas são todas iguais e os saquinhos também. O peso de um saquinho de areia é igual ao peso de quantas bolas?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 5
E) 6
3) Três frascos, todos com capacidade igual a um litro, contêm quantidades diferentes de um mesmo líquido, conforme ilustração ao lado. Qual das alternativas abaixo melhor expressa, aproximadamente, o volume de líquido contido nos frascos A, B e C, nesta ordem?
A) $\frac{3}{7} ; \frac{4}{9} ; \frac{2}{5}$
B) $\frac{2}{3} ; \frac{1}{2} ; \frac{1}{4}$
C) $\frac{2}{3} ; \frac{4}{6} ; \frac{2}{4}$
D) $\frac{2}{3} ; \frac{4}{7} ; \frac{3}{4}$
Е) $\frac{3}{3} ; \frac{4}{5} ; \frac{2}{3}$
4) Um litro de álcool custa $\mathrm{R} \$ 0,75$. O carro de Maria percorre $25 \mathrm{~km}$ com 3 litros de álcool.Quantos reais Maria gastará com álcool para percorrer $600 \mathrm{~km}$ ?
A) 54
B) 72
C) 50
D) 52
E) 45
5) Num armazém foram empilhadas algumas caixas que formaram o monte mostrado na figura. Se cada caixa pesa $25 \mathrm{~kg}$ quanto pesa o monte com todas as caixas?
A) $300 \mathrm{~kg}$
B) $325 \mathrm{~kg}$
C) $350 \mathrm{~kg}$
D) $375 \mathrm{~kg}$
E) $400 \mathrm{~kg}$
6) Um livro de 100 páginas tem suas páginas numeradas de 1 a 100 . Quantas folhas desse livro possuem o algarismo 5 em sua numeração?
A) 13
B) 14
C) 15
D) 16
E) 17
7) A figura abaixo foi desenhada em cartolina e dobrada de modo a formar um cubo.
Qual das alternativas mostra o cubo assim formado?
A)
B)
C)
D)
E)
8) José colou uma bandeirinha em cada um dos dois discos dentados que formam uma engrenagem, como mostra a figura ao lado:
Os dois discos são exatamente iguais. José girou a engrenagem, e é claro que as bandeirinhas mudaram de posição. Qual é a nova posição das duas bandeirinhas?
A)
B)
D)
E)
C)
9) O desenho ao lado é a planta de uma casa, cujo piso é retangular, e no qual estão desenhados 7 quadrados numerados de 1 a 7 na figura. Se a área do menor desses quadrados é $1 \mathrm{~m}^{2}$, a área total do piso, em metros quadrados, é igual a:
A) 42
B) 44
C) 45
D) 48
E) 49
10) O número da casa de Júlia tem exatamente três algarismos, cuja soma é 24 . Encontre todos os possíveis números da casa de Júlia, em cada uma das situações a seguir:
a) Os três algarismos são iguais.
b) Os algarismos são todos diferentes.
c) Apenas dois algarismos são iguais.
1.(C) Se o pedreiro assenta 8 metros por dia, em 15 dias assentará $15 \times 8=120$.
2. (B) Retirando-se dois saquinhos e quatro bolas de cada prato, a balança continua equilibrada, e restam 3 saquinhos no prato à esquerda e 6 bolas no prato da direita. Logo:
$$
\text { peso de } 3 \text { saquinhos = peso de } 6 \text { bolas. }
$$
Daí, concluímos que o peso de 1 saquinho é igual ao peso de 2 bolas.
Esta solução corresponde a explicitar $\mathrm{x}$ em função de y na equação $5 x+4 y=2 x+10 y$, onde $x$ representa o peso de um saquinho e $y$ o de uma bola. Desta equação segue que:
$$
5 x-2 x=10 y-4 y \Rightarrow 3 x=6 y \Rightarrow x=2 y
$$
3. (B) Solução 1 - As figuras mostram que os volumes ocupados pelos líquidos correspondem, aproximadamente a mais da metade no frasco A, a metade no frasco B e menos da metade no frasco C.
O único grupo de frações que corresponde a essas estimativas é: $\frac{2}{3}$ (mais que a metade); $\frac{1}{2}$ (metade); $\frac{1}{4}$ (menos que a metade).
Solução 2 - As figuras mostram que os volumes ocupados pelos líquidos são números decrescentes. As únicas opções possíveis são B e E. Como $\frac{3}{3}=1$ e nenhum frasco está cheio, a resposta é B.
4. (A) Solução 1 - Se num percurso de $25 \mathrm{~km}$ ela gasta 3 litros, então para percorrer $100 \mathrm{~km}$, Maria gastará $4 \times 3=12$ litros. Portanto, para percorrer $600 \mathrm{~km}$ o carro gastará $6 \times 12=72$ litros. Como cada litro custa 0,75 reais, então 72 litros custarão $0,75 \times 72=54$ reais.
Solução 2 - Observe que podemos usar a Regra de Três para calcular quantos litros são gastos em $600 \mathrm{~km}$ :
| 3 litros | | $25 \mathrm{~km}$ |
| :--- | :--- | :--- |
| $x$ litros | | |
| | | $600 \mathrm{~km}$ |
Como esta regra de três é direta temos: $25 x=3 \times 600 \Rightarrow x=3 \times \frac{600}{5}=72$ litros.
Solução 3 - Como $600=25 \times 24$, temos que o carro gastará $24 \times 3=72$ litros.
5. (C) Na figura, vemos: 1 coluna com 3 caixas, 4 colunas com 2 caixas e 3 colunas com uma caixa. Logo, o total de caixas é $1 \times 3+4 \times 2+3 \times 1=14$. Como cada caixa pesa $25 \mathrm{~kg}$, o peso do monte de caixas é $14 \times 25=350 \mathrm{~kg}$.
6. (C) O algarismo 5 aparece nos números 5, 15, 25, 35, 45, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 65, 75, 85 e 95 . Agora, como o livro é numerado de 1 a 100 , a $1^{\text {a }}$ folha contém as páginas 1 e 2 , a $2^{a}$ folha as páginas 3 e 4, a 3a folha as páginas 5 e 6 , e assim sucessivamente. Ou seja, as duas páginas que compõem cada folha têm a seguinte numeração: um número ímpar e o número par consecutivo.
$$
1,2 ; \underbrace{3,4} ; \ldots ; \underbrace{47,48} ; \underbrace{99,50} ; \underbrace{51,52} ; \ldots ; \underbrace{59,60} ; \ldots ; \underbrace{95,96} ; \underbrace{97,98} ; \underbrace{99,100} .
$$
Assim, estão numa mesma folha as seguintes duplas de números: $\underbrace{49,50 ;} \underbrace{51,52 ;} \underbrace{53,54 ;} \underbrace{55,56}$; 57,58; $\underbrace{59,60}$. Logo, neste grupo temos 6 folhas. Por outro lado, de 1 a 48 temos 5 folhas com o algarismo 5, e de 61 a 100, 4 folhas. Portanto, o total de folhas contendo o algarismo 5 em sua numeração é: $6+5+4=15$.
7. (B) As opções A e E; C e D são iguais entre si e distintas de (B).
8. (A) A engrenagem desta questão é formada por dois discos dentados. Quando um deles gira no sentido horário, o outro gira no sentido antihorário.
As 5 opções de resposta mostram a bandeira do disco à esquerda numa posição, que corresponde a uma rotação deste disco no sentido horário de um certo ângulo. Nesse caso, a engrenagem direita girou desse mesmo ângulo no sentido anti-horário, levando a bandeirinha para a posição indicada na primeira alternativa.
9. (C) Solução 1 - Como os quadrados menores têm $1 m^{2}$ de área, cada um deles tem lado igual a $1 \mathrm{~m}$. Da figura concluímos que $B C=2 m$ e $B H=3 m$.
Como $A B C D$ é um quadrado segue que $B C=C D=A D=A B=2 m$. Sendo $C D E F$ também um quadrado, temos $C D=D E=2 m$. Novamente da figura temos: $A H=A B+B H=2+3=5, \quad J E=J A+A D+D E$ e $J A=A H$. Segue que $J E=5+2+2=9$. Como $E G=A H=5$, as dimensões do terreno são $9 m$ de comprimento por $5 m$ de largura. Portanto, a sua área é $9 m \times 5 m=45 m^{2}$.
Solução 2 - Quadriculando o retângulo maior com quadrados de $1 \mathrm{~m}^{2}$ de área, obtemos um retângulo ( $B F G H$ ) formado por 12 quadrados de $1 \mathrm{~m}^{2}$ de área, dois quadrados ( $A B C D$ e $D C F E$ ) formados por 4 quadrados cada um de $1 \mathrm{~m}^{2}$ de área, e um quadrado ( $A H I J$ ) formado por 25 quadrados de $1 \mathrm{~m}^{2}$ de área. Portanto, a área pedida é $12+4+4+25=45 \mathrm{~m}^{2}$.
10. Nesta questão, o número 24 deve ser escrito como uma soma de 3 algarismos. Inicialmente, note que os algarismos $0,1,2,3,4$ e 5 não podem ser usados. Se um deles fosse usado, por exemplo o algarismo 5, então teríamos que encontrar dois algarismos cuja soma é 19 , pois 24-5=19. Sabemos que isso não é possível. O mesmo ocorre com os algarismos 0,1,2,3e 4. Logo, o número da casa de Júlia só pode ser composto pelos algarismos $6,7,8$ e 9 .
a) Se os três algarismos são iguais então o número da casa é 888 .
b) Se os três algarismos são diferentes, temos apenas as seguintes alternativas:
Iniciando com o algarismo 9: $\quad 987$ e 978
Iniciando com o algarismo 8: $\quad 897$ e 879
Iniciando com o algarismo 7: $\quad 798$ e 789
Note que neste item o número da casa não pode iniciar com o algarismo 6 , pois 24-6=18, e a única maneira de escrever 18 como soma de dois algarismos é $9+9$, o que daria um número com dois algarismos iguais.
c) Com apenas dois algarismos iguais temos 3 números: 996, 699 e 969 .
1) O famoso matemático grego Pitágoras chamou de números triangulares os números obtidos pela soma dos primeiros números inteiros maiores que 0 . Por exemplo, 1, 3 , 6 e 10 são números triangulares:
$$
\begin{aligned}
1 & =1 \\
3 & =1+2 \\
6 & =1+2+3 \\
10 & =1+2+3+4
\end{aligned}
$$
A figura ilustra a motivação para o nome números triangulares.
A seqüência de números triangulares continua com $1+2+3+4+5=15, \quad 1+2+3+4+5+6=21$, etc. Quantos são os números triangulares menores do que 100?
2) Uma bibliotecária recebe 130 livros de Matemática e 195 livros de Português. Ela quer arrumá-los em estantes, colocando igual quantidade de livros em cada estante, sem misturar livros de Matemática e de Português na mesma estante. Quantos livros ela deve colocar em cada estante para que o número de estantes utilizadas seja o menor possível?
3) A sexta parte dos alunos de uma classe usam óculos. Dentre os que usam óculos, $\frac{1}{3}$ são meninas; além disso, 4 meninos usam óculos. Quantos são os alunos dessa classe?
| | | $3 / 5$ |
| :--- | :--- | :--- |
| | $1 / 2$ | |
| 0,4 | 0,5 | |
4) Complete as casas em branco da tabela ao lado com frações de modo que a soma dos três números de qualquer linha, qualquer coluna e das duas diagonais seja sempre a mesma.
5) Sejam $A, B$ e $C$ algarismos diferentes de zero tais que $(A B)^{2}=C A B$, isto é, o número de dois algarismos $A B$ elevado ao quadrado dá o número de 3 algarismos $C A B$. Determine o valor de $A+B+C$.
6) Uma faixa quadriculada tem 5 quadradinhos na largura e 250 quadradinhos no comprimento.
## 250 quadradinhos
Alguns quadradinhos serão pintados de cinza, começando da esquerda, conforme o modelo ilustrado na figura, e continuando com este padrão até chegar ao final da faixa à direita. Quantos quadradinhos não serão pintados?
7) João tem, em seu jardim, uma cisterna na qual ele armazena água de chuva e tira água para regar suas flores. À meia-noite do dia 31 de dezembro de 2005 a cisterna continha 156 litros de água. João tem o hábito de anotar em um quadro, todo dia, o número de litros de água gasta para regar as flores e de água recolhida da chuva. Abaixo vemos parte do quadro referente aos primeiros dias de 2006:
| Data | litros de água
gastos para
regar as flores | litros de água
recolhidos da chuva |
| :---: | :---: | :---: |
| $1^{\circ}$ de janeiro | 6 | 2,5 |
| 2 de janeiro | 9 | 0 |
| 3 de janeiro | 0 | 5 |
| 4 de janeiro | 4 | 0 |
| 5 de janeiro | 9 | 3 |
| 6 de janeiro | 0 | 0 |
| 7 de janeiro | 11 | 4,5 |
| 8 de janeiro | 0 | 0 |
Quantos litros de água havia na cisterna do João à meia noite do dia 8 de janeiro de 2006 ?
1. Notamos que o segundo número triangular é obtido a partir do primeiro acrescentando-se $2, o$ terceiro é obtido do segundo acrescentando-se $3 \mathrm{e}$ assim por diante. Essa observação nos mostra como calcular os próximos números triangulares sem fazer muitas contas; por exemplo, já sabemos que o quarto número triangular é 10 , donde o quinto será $10+5=15$, o sexto sendo então $15+6=21$. Podemos assim escrever os números triangulares até passar de 100:
Logo, os números triangulares menores que 100, são: $1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78$ e 91 . Assim, temos 13 números triangulares menores do que 100 .
2. Chamemos de $n$ o número de livros que a bibliotecária vai colocar em cada estante. Então temos: $130 \div n=$ número de estantes para os livros de Matemática e $195 \div n=$ número de estantes para os livros de Português.
Isso mostra que $n$ deve ser um divisor comum de 130 e 195 , pois o número de estantes utilizadas é inteiro. Sabemos que quando aumentamos o denominador de uma fração, esta fração diminui (por exemplo: $\frac{27}{10}$ é menor do que $\frac{27}{8}$ ). Logo, quanto maior for o denominador $n$, menores serão as frações $\frac{130}{n}$ e $\frac{195}{n}$, o que significa que menor será o número de estantes utilizadas. Vemos assim que $n$ deve ser o maior divisor comum (MDC) de 130 e 195. Como $130=2 \times 5 \times 13$ e $195=3 \times 5 \times 13$ segue que o MDC de 130 e 195 é $5 \times 13=65$.
Logo, a bibliotecária vai colocar 65 livros em cada estante. Portanto, o número de estantes para os livros de Matemática é $130 \div 65=2$ e o número de estantes para os de Português é $195 \div 65=3$, o que dá um total de $2+3=5$ estantes.
3. Nosso problema aqui é achar o número de alunos da classe. O enunciado diz que $\frac{1}{6}$ dos alunos usam óculos, e destes $\frac{1}{3}$ são meninas, isto é $\frac{1}{3}$ de $\frac{1}{6}$ são meninas. Como
Como $\frac{1}{6}-\frac{1}{3} \times \frac{1}{6}=\frac{1}{6}-\frac{1}{18}=\frac{3}{18}-\frac{1}{18}=\frac{2}{18}=\frac{1}{9}$, concluímos que $\frac{1}{9}$ da classe consiste de meninos que usam óculos, que são em número de 4 . Temos
$\frac{1}{9}$ da classe $\xrightarrow{\text { corresponde a }} 4$ alunos
$\frac{9}{9}$ da classe $\xrightarrow{\text { corresponde a }} 4 \times 9=36$ alunos
Logo, o número de alunos na classe é 36 .
4. Para facilitar nossas contas, é conveniente reduzir todas as frações que aparecem a um mesmo denominador. Como $0,4=\frac{4}{10}$ e $0,5=\frac{5}{10}$, podemos reescrever a tabela como ao lado, onde indicamos com letras, os números
| $\mathrm{a}$ | $\mathrm{c}$ | $6 / 10$ |
| :---: | :---: | :---: |
| $\mathrm{b}$ | $5 / 10$ | $\mathrm{~d}$ |
| $4 / 10$ | $5 / 10$ | $\mathrm{e}$ |
que devemos calcular.
O problema pede que a soma dos números em qualquer linha ou coluna e nas duas diagonais seja sempre a mesma. Olhando para a diagonal destacada no quadrado ao lado
| $\mathrm{a}$ | $\mathrm{c}$ | $6 / 10$ |
| ---: | ---: | ---: |
| $\mathrm{b}$ | $5 / 10$ | $\mathrm{~d}$ |
| $4 / 10$ | $5 / 10$ | $\mathrm{e}$ |
vemos que esta soma é $\frac{4}{10}+\frac{5}{10}+\frac{6}{10}=\frac{15}{10}$. Da $3^{\text {a linha temos então }}$ $\frac{4}{10}+\frac{5}{10}+e=\frac{15}{10}$, donde $e=\frac{6}{10}$; e da $2^{\mathrm{a}}$ coluna temos $\frac{5}{10}+\frac{5}{10}+c=\frac{15}{10}$, donde $c=\frac{5}{10}$. Colocando estes valores de $c$ e $e$ no quadrado, obtemos
A 1a linha nos dá então $a+\frac{5}{10}+\frac{6}{10}=\frac{15}{10}$, donde $a=\frac{4}{10} ;$ e da $3^{\mathrm{a}}$ coluna temos $\frac{6}{10}+d+\frac{6}{10}=\frac{15}{10}$, donde $d=\frac{3}{10}$. O quadrado então fica:
Do mesmo modo achamos $b=\frac{7}{10}$ e o quadrado está completo:
| $4 / 10$ | $5 / 10$ | $6 / 10$ |
| :--- | :--- | :--- |
| $7 / 10$ | $5 / 10$ | $3 / 10$ |
| $4 / 10$ | $5 / 10$ | $6 / 10$ |
5. De acordo com a igualdade $(A B)^{2}=C A B, B$ é o último algarismo (o algarismo das unidades) $\operatorname{de}(A B)^{2}$ e também o último algarismo de $B^{2}$. Logo $B$ é um número entre 1 e 9 cujo quadrado também tem $B$ como seu último algarismo. Logo, os valores possíveis para $B$ são 1,5 e 6 , pois esses são os únicos algarismos (diferentes de zero) tais que cada um deles e seu respectivo quadrado têm o mesmo algarismo das unidades:
$$
1^{2}=1,5^{2}=25 \text { e } 6^{2}=36
$$
$C A B$ é um número de 3 algarismos, logo é menor que 1000 . Por isso, $A$ não pode ser maior que 3, porque qualquer número da forma $(4 B)^{2}$ já é maior do que 1000 . De fato, se $A$ fosse maior que 3então $A$ seria no mínimo 4 ; então $A B$ seria no mínimo 41 , o que não pode acontecer pois $41^{2}=1681$ já é maior que 1000 . Logo, os valores possíveis para $A$ são 1,2 e 3 .
Vamos analisar cada caso separadamente.
10 caso: $B=1$.
- se $A=1$ temos $11^{2}=121$, o que implica $C A 1=121$, donde $A=2$;
- se $A=2$ temos $21^{2}=441$, o que implica $C A 1=441$, donde $A=4$,
- se $A=3$ temos $31^{2}=961$, o que implica $C A 1=961$, donde $A=6$.
Em qualquer caso chegamos a uma contradição, logo o caso $B=1$ está excluído.
2o caso: $B=5$
Nesse caso, $(\mathrm{AB})^{2}$ termina em 25; isto é $(A B)^{2}=(A 5)^{2}=C 25$. Temos então $C A 5=C 25$, donde $A=2$. Como $25^{2}=625$, concluímos que $C=6$.
3o caso: $B=6$
Aqui, $(A B)^{2}$ acaba em 36, isto é $(A B)^{2}=(A 6)^{2}=C 36$. Logo,$C A 6=C 36$ donde $A=3$ e segue que $A B=36$. Como $36^{2}=1296$ é um número com quatro algarismos, chegamos a uma outra contradição. Logo excluímos a possibilidade $B=6$.
Desse modo, a única possibilidade é $A=2, B=5$ e $C=6$, onde temos $A+B+C=13$.
6. Para pintar a faixa conforme o modelo, o retângulo padrão (aquele que se repete por toda a faixa) é o retângulo de 5 linhas e 4 colunas mostrado na figura ao lado; nele temos 7 quadradinhos pintados e 13 não pintados. Precisamos saber quantos retângulos padrão cabem na faixa. A faixa tem 250 colunas e cada retângulo padrão tem 4 colunas. Da divisão de 250 por 4 temos que $250=4 \times 62+2$, e concluímos que na faixa cabem 62 retângulos padrão, sobrando ainda duas colunas.
Nos 62 retângulos padrão temos $62 \times 13=806$ quadradinhos não pintados. Falta agora verificar quais os quadradinhos não pintados nas duas colunas finais. A figura mostra como são as duas colunas de acordo com o modelo. Nessas colunas temos 6 quadradinhos não pintados. Finalmente, o número de quadradinhos não pintados em toda a faixa é $806+6=812$.
7. O dia $1^{\circ}$ de janeiro começa com 156 litros de água na cisterna, e a partir daí a cisterna recebe água da chuva e perde água para a rega das flores. Como no dia 8 não houve alteração na quantidade de água na cisterna, então o número de litros de água na cisterna no dia 8 é
$156+$ litros de água de chuva do dia 1 ao dia 7 -litros de água para regar do dia 1 ao dia 7
O enunciado diz que a segunda parcela da expressão acima é a soma dos números da 3a coluna, que é $2,5+0+5+0+3+0+4,5=15$, e a terceira parcela é a soma dos números da $2^{a}$ coluna da tabela, que é $6+9+0+4+9+0+11=39$. Logo, o número de litros na cisterna à meia noite do dia 8 é $156+15-39=132$.
1) Da igualdade $9174532 \times 13=119268916$ pode-se concluir que um dos números abaixo é divisível por 13. Qual é este número?
A) 119268903
B) 119268907
C) 119268911
D) 119268913
E) 119268923
2) Arnaldo disse que um bilhão é o mesmo que um milhão de milhões. O Professor Piraldo o corrigiu e disse, corretamente, que um bilhão é o mesmo que mil milhões. Qual é a diferença entre o valor correto de um bilhão e a resposta de Arnaldo?
A) 1000
B) 999000
C) 1000000
D) 999000000
E) 999000000000
3) Com a energia fornecida por um litro de mel, uma abelha consegue voar 7.000 quilômetros. Quantas abelhas conseguiriam voar 1 quilômetro, cada uma, com a energia fornecida por 10 litros de mel?
A) 7000
B) 70000
C) 700000
D) 7000000
E) 70000000
4) Um agricultor esperava receber cerca de $R \$ 100.000,00$ pela venda de sua safra. Entretanto, a falta de chuva provocou uma perda da safra avaliada entre $\frac{1}{5} \mathrm{e} \frac{1}{4}$ do total previsto. Qual dos valores a seguir pode representar a perda do agricultor?
A) $\mathrm{R} \$ 21.987,53$
B) $\mathrm{R} \$ 34.900,00$
C) $\mathrm{R} \$ 44.999,99$
D) $\mathrm{R} \$ 51.987,53$
E) $\mathrm{R} \$ 60.000,00$
5) Uma placa decorativa consiste num quadrado branco de 4 metros de lado, pintado de forma simétrica com, partes em cinza, conforme desenho ao lado. Qual é a fração da área da placa que foi pintada?
A) $\frac{1}{2}$
B) $\frac{1}{3}$
C) $\frac{3}{8}$
D) $\frac{6}{13}$
E) $\frac{7}{11}$
6) Diamantino colocou em um recipiente três litros de água e um litro de refresco. $\mathrm{O}$ refresco é composto de $20 \%$ de suco de laranja e $80 \%$ de água. Depois de misturar tudo, que porcentagem do volume final representa o suco de laranja?
A) $5 \%$
B) $7 \%$
C) $8 \%$
D) $20 \%$
E) $60 \%$
7) Nove amigos compraram 3 bolos, cada um deles cortado em oito fatias. Todos comeram bolo e não sobrou nenhum pedaço. Sabendo que cada um só comeu fatias inteiras do bolo, podemos ter certeza de que:
A) Alguém comeu quatro fatias.
B) Um deles comeu somente uma fatia.
C) Todos comeram duas fatias pelo menos.
D) Uns comeram duas fatias e os demais comeram três fatias.
E) Um deles comeu, no mínimo, três fatias.
8) Uma seqüência de mosaicos quadrados é construída com azulejos quadrados pretos e brancos, todos do mesmo tamanho, como se segue: o primeiro é formado por um azulejo branco cercado por azulejos pretos, o segundo de quatro azulejos brancos cercados por azulejos pretos; e assim sucessivamente, como indica a figura. Se numa seqüência de mosaicos formada de acordo com esta regra forem usados 80 azulejos pretos, quantos serão os azulejos brancos utilizados?
A) 55
B) 65
C) 75
D) 85
E) 100
9) No último campeonato de futebol da escola do Marcelo participaram 6 equipes. Cada equipe disputou com cada uma das outras exatamente uma partida. Abaixo, a tabela de classificação do campeonato, onde:
| Equipe | $\mathbf{V}$ | $\mathbf{E}$ | $\mathbf{D}$ | $\mathbf{G P}$ | $\mathbf{G C}$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $\boldsymbol{A}$ | 4 | 1 | 0 | 6 | 2 |
| $\boldsymbol{B}$ | 2 | 1 | 2 | 6 | 6 |
| $\boldsymbol{C}$ | 0 | 3 | 2 | 2 | 6 |
| $\boldsymbol{D}$ | 1 | 1 | $\boldsymbol{y}$ | 3 | 6 |
| $\boldsymbol{E}$ | 0 | 1 | 4 | 1 | 5 |
| $\boldsymbol{F}$ | $\boldsymbol{x}$ | 1 | 0 | $\boldsymbol{z}$ | 3 |
- V é o número de vitórias de uma equipe
- E é o número de empates
- D é o número de derrotas
- GP é o número de gols feitos por um time
- GC é o número de gols sofridos
a) Quantas partidas foram disputadas?
b) Determine a quantidade de vitórias da equipe $F$, a quantidade de derrotas da equipe $D$ e a quantidade de gols feitos pela equipe $F$, representados por $x, y$ e $z$ na tabela.
10) Um bloco retangular de madeira tem $320 \mathrm{~cm}$ de comprimento, $60 \mathrm{~cm}$ de largura e $75 \mathrm{~cm}$ de altura. O bloco é cortado várias vezes, com cortes paralelos às suas faces, de modo a subdividi-lo em blocos também retangulares de $80 \mathrm{~cm}$ de comprimento por $30 \mathrm{~cm}$ de largura por $15 \mathrm{~cm}$ de altura.
a) Quantas peças foram obtidas?
b) Um metro cúbico dessa madeira pesa aproximadamente 900 quilogramas. Qual é o peso de cada uma dessas peças?
1. (A) Como 119268916 é divisível por 13, já que $9174532 \times 13=119268916$,podemos concluir que os números divisíveis por 13 são aqueles obtidos somando-se ou subtraindo-se múltiplos de 13 ao número 119 268916. Dentre os números apresentados, o número 119 268916-13=119268903 é o único divisível por 13 .
2. (E) Arnaldo disse que 1 bilhão $=1000000 \times 1000000=1000000000000=10^{12}$. O Professor Piraldo corrigiu-o, dizendo que 1 bilhão $=1000 \times 1000000=1000000000=10^{9}$. A diferença é: $10^{12}-10^{9}=10^{9}\left(10^{3}-1\right)=999 \times 10^{9}=999000000000$
3. (B) A energia gasta por uma abelha para voar 7.000 quilômetros é a mesma que 7.000 abelhas gastam para voar 1 quilômetro cada. Como o número de litros de mel foi multiplicado por 10, temos energia suficiente para que 10 vezes este número de abelhas voem 1 quilômetro cada, ou seja, 70.000 abelhas. Note que poderíamos ter também 7.000 abelhas voando 10 quilômetros cada, entre outras alternativas.
4. (A) Como $\frac{1}{5}$ de $100000=\frac{100000}{5}=20000$ e $\frac{1}{4}$ de $100000=\frac{100000}{4}=25000$, concluímos que a perda da safra está avaliada entre $R \$ 20.000,00$ e $R \$ 25.000,00$. Logo, um possível valor para a perda é $R \$ 21.987,53$.
5. (C) Traçando paralelas aos lados, podemos dividir a placa em quadrados de 1 metro de lado, conforme indicado na figura. Então, a área pintada é igual a 12 metades desses quadrados, ou, equivalentemente, 6 desses quadrados. Como a placa total tem 16 desses quadrados, concluímos que a fração da área pintada em relação à área da placa é $\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$.
6. (A) O refresco é composto de $20 \%$ de um litro $=0,2$ litros de
suco e $80 \%$ de um litro $=0,8$ litros de água. Logo, a mistura final tem 0,2 litros de suco e $3+0,8=3,8$ litros de água. A porcentagem de suco em relação ao volume da mistura é então $\frac{\text { volume de suco }}{\text { volume total }}=\frac{0,2}{4}=\frac{2}{40}=0,05=5 \%$.
7. (E) Temos um total de $8 \times 3=24$ fatias de bolo que foram comidas. Como todos comeram bolo, inicialmente cada um dos 9 amigos comeu uma fatia. Sobraram ainda $24-9=15$ fatias para serem comidas por 9 pessoas. Nesta situação, obrigatoriamente uma certa pessoa $X$ deve ter comido pelo menos 2 dessas 15 fatias. Caso contrário, isto é, se todas as 9 pessoas tivessem comido menos do que 2 fatias significaria que poderíamos escrever o número 15 como uma soma de 9 parcelas cada uma delas sendo 0 (os que não comeram das 15 fatias) ou 1 (os que comeram 1 fatia das 15 ), o que claramente não é possível. Como esta pessoa $X$ já havia comido inicialmente 1 fatia, concluímos que ela comeu no mínimo 3 fatias.
8. (A) No primeiro mosaico, temos $3+3+1+1=8$ azulejos pretos; no segundo, temos $4+4+2+2=12$; no terceiro, temos $5+5+3+3=16$; não é difícil perceber (e verificar) que os próximos mosaicos têm 20 e 24 azulejos pretos. Como $8+12+16+20+24=80$, é possível construir exatamente 5 mosaicos. Finalmente, o número total de azulejos brancos nesta seqüência de cinco mosaicos é: $1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}=1+4+9+16+25=55$.
9. a) Podemos contar, por listagem, quantas foram as partidas: $A^{\prime} B, A^{\prime} C, A^{\prime} D, A^{\prime} E, A^{\prime} F, B^{\prime} C, B^{\prime} D$, $B^{\prime} E, A^{\prime} F, C^{\prime} D, C^{\prime} E, C^{\prime} F, D^{\prime} E, D^{\prime} F$ e $E^{\prime} F$, num total de 15 partidas.
Por outro lado, podemos contar de um modo mais geral, como se segue. Como cada equipe jogou com todas as outras, segue que cada equipe jogou 5 partidas. Parece então que o número total de partidas foi de 5 partidas por equipe $\times 6$ equipes $=30$ partidas . No entanto, nesta contagem cada partida foi contada duas vezes; por exemplo, o jogo entre os times $A$ e $B$ foi contado como $A \times B$ e como $B \times A$. Logo, o número correto de partidas jogadas é $\frac{30}{2}=15$.
b) Como vimos no item (a), cada time jogou 5 partidas. Desse modo, a soma do número de vitórias, empates e derrotas de um mesmo time deve ser igual a 5; por exemplo, para o time $A$, observamos na tabela 4 vitórias +1 empate +0 derrotas $=5$ partidas. Aplicando este raciocínio ao time $F$, temos $x+1+0=5$, donde $x=4$. Do mesmo modo, para a equipe $D$ temos $1+1+y=5$, donde $y=3$. Notamos agora que em um campeonato de futebol o número de gols feitos é igual ao número de gols sofridos. Logo $\underbrace{6+6+2+3+1+z}_{\text {Gols feitos }}=\underbrace{2+6+6+6+5+3}_{\text {Gols sofridos }}$, donde $18+z=28$, ou seja, $z=10$.
10. a) As dimensões do bloco maior são $320 \times 60 \times 75$ e as dos blocos menores $80 \times 30 \times 15$. Logo, no bloco maior o comprimento foi dividido por $320 \div 80=4$, a largura foi dividida $60 \div 30=2$ e a altura foi dividida por $75 \div 15=5$. Portanto teremos um total de $4 \times 2 \times 5=40$ peças distribuídas em cinco camadas de oito peças cada, conforme ilustrado no desenho ao lado.
b) O volume de um bloco retangular é dado por comprimento $\times$ largura $\times$ altura. Logo, o volume de cada um dos blocos menores é $80 \times 30 \times 15=36000 \mathrm{~cm}^{3}$. O enunciado do problema nos dá o peso de um metro cúbico de madeira; para saber o peso de um dos blocos pequenos devemos primeiro saber seu volume em metros cúbicos, ou seja, fazer a conversão de $36000 \mathrm{~cm}^{3}$ para $\mathrm{m}^{3}$.Como $1 \mathrm{~cm}^{3}=10^{-6} \mathrm{~m}^{3}=0,000001 \mathrm{~m}^{3}$, para fazer esta conversão basta deslocar a vírgula 6 casas para a esquerda; obtemos então $36000 \mathrm{~cm}^{3}=0,036 \mathrm{~m}^{3}$. Logo o peso de um bloco pequeno é $0,036 \times 900=32,4$ quilogramas.
1) Uma turma da escola fez uma eleição para eleger seu representante. Três candidatos concorreram à eleição: João, Rosa e Marcos. João teve $\frac{2}{7}$ dos votos, Rosa teve $\frac{3}{5}$ dos votos. Quem ganhou a eleição?
2) Qual é o valor de $2^{6}+2^{6}+2^{6}+2^{6}-4^{4}$ ?
A) 0
B) 2
C) 4
D) $4^{2}$
E) $4^{4}$
3) Com seis retângulos idênticos formamos um retângulo maior com um dos lados medindo $21 \mathrm{~cm}$, como na figura. Qual é a área do retângulo maior?
A) $210 \mathrm{~cm}^{2}$
B) $280 \mathrm{~cm}^{2}$
C) $430 \mathrm{~cm}^{2}$
D) $504 \mathrm{~cm}^{2}$
E) $588 \mathrm{~cm}^{2}$
4) Três anos atrás, a população de Pirajussaraí era igual à população que Tucupira tem hoje. De lá para cá, a população de Pirajussaraí não mudou, mas a população de Tucupira cresceu $50 \%$. Hoje a soma das populações das duas cidades é de 9000 habitantes. Há três anos, qual era a soma destas duas populações?
A) 3600
B) 4500
C) 5000
D) 7200
E) 7500
5) As balanças (1) e (2) da figura abaixo estão em equilíbrio. Sabe-se que todos os triângulos têm o mesmo peso; todos os quadrados também têm o mesmo peso, assim como os círculos. Quantos quadrados devem ser colocados no prato direito da balança (3) para que ela também fique em equilíbrio?
(1)
(2)
(3)
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 12
6) Em um ano, no máximo quantos meses têm cinco domingos?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
7) Uma calculadora possui duas teclas especiais:
- a tecla A que duplica o número que aparece no visor
- a tecla $B$ que acrescenta uma unidade ao número que aparece no visor.
Por exemplo, se o número 45 estiver inicialmente no visor e a tecla $\mathrm{B}$ for apertada, o visor mostrará o número 46 . Se, em seguida, apertarmos a tecla $\mathrm{A}$, o visor mostrará $\mathrm{o}$ número 92 . Nesse exemplo, apertamos ao todo 2 vezes as teclas $\mathrm{A}$ e B: uma vez a tecla B, e depois uma vez a tecla A, para, a partir de 45 , chegarmos ao 92 .
Suponha que o número no visor seja 1.
a) Indique uma maneira de obter o número 10 apertando um total de 4 vezes as teclas $\mathrm{A}$ e B.
b) Indique uma maneira de obter o número 15 apertando um total de 6 vezes as teclas A e B.
c) Indique uma maneira de obter o número 100 apertando um total de 8 vezes as teclas A e B.
1. João recebeu: $\frac{2}{7}$ do total de votos; Rosa recebeu: $\frac{3}{5}$ do total de votos e Marcos recebeu: $1-\left(\frac{2}{7}+\frac{3}{5}\right)=1-\frac{31}{35}=\frac{4}{35}$ do total de votos. O vencedor foi aquele que obteve a maior fração dos votos. Para comparar essas frações igualamos seus denominadores: $\frac{2}{7}=\frac{10}{35}$ e $\frac{3}{5}=\frac{21}{35}$. Daí segue que $\underbrace{\frac{4}{35}}_{\text {Marcos }}<\underbrace{\frac{2}{7}}_{\text {João }}<\underbrace{\frac{3}{5}}_{\text {Rosa }}$, e portanto, Rosa venceu a eleição. Comentário: É muito interessante notar que a resposta não depende do número de alunos da turma.
2. (A) Solução 1: Temos: $2^{6}+2^{6}+2^{6}+2^{6}-4^{4}=4 \times 2^{6}-4^{4}=4 \times\left(2^{2}\right)^{3}-4^{4}=4 \times 4^{3}-4^{4}=4^{4}-4^{4}=0$
Solução 2: Temos: $2^{6}+2^{6}+2^{6}+2^{6}-4^{4}=4 \times 2^{6}-4^{4}=4(2^{6}-\underbrace{4^{3}})=4\left[2^{6}-2^{6}\right]=0$
$$
\left(2^{2}\right)^{3}=2^{6}
$$
Solução 3: Temos: $2^{6}+2^{6}+2^{6}+2^{6}-4^{4}=4 \times 2^{6}-4^{4}=2^{2} \times 2^{6}-\left(2^{2}\right)^{4}=2^{8}-2^{8}=0$
3. (E) A partir da figura, vemos que o comprimento $a$ dos retângulos menores é o dobro da sua largura $b$, isto é, $a=2 b$. Temos então $a+b=2 b+b=3 b=21$, ou seja, $b=7 \mathrm{~cm}$ e $a=14 \mathrm{~cm}$. Portanto, o comprimento do retângulo maior é $4 b=28$ e sua área é $21 \times 28=588 \mathrm{~cm}^{2}$.
4. (D) Solução 1: Seja $p$ a população de Tucupira há três anos. Como esta população cresceu de $50 \%$, atualmente Tucupira tem $p+50 \%$ de $p$ habitantes, ou seja $p+\frac{50}{100} p=p+0,5 p=1,5 p$ habitantes. Como a população de Pirajussaraí não cresceu nesses 3 anos e há 3 anos era igual à de Tucupira, podemos concluir que a população atual de Pirajussaraí é $p$. Hoje, a soma das populações das duas cidades é $9000 ; \log$, $p+1,5 p=9000$, donde $p=\frac{9000}{2,5}=3600$. Portanto, a soma das duas populações, há 3 anos, era de $3600 \times 2=7200$ habitantes.
Solução 2: De 2003 a 2006 a população de Tucupira cresceu 50\%, logo em 2006 esta população corresponde a $150 \%$ da população em 2003. Já a população de Pirajussaraí não cresceu nesses 3 anos e em 2003 era igual à de Tucupira. Temos então:
$$
\underbrace{\text { Populacão de Tucupira em } 2006}_{\begin{array}{c}
\text { corresponde a 150\% da } \\
\text { populaçao de Tucupira em } 2003
\end{array}}+\underbrace{\text { População de Pirajussaraí em } 2006}_{\begin{array}{c}
\text { corresponde a 100\% da } \\
\text { populaçao de Tucupira em } 2003
\end{array}}=9000
$$
Logo, podemos concluir que em 2006 a soma das populações das duas cidades corresponde a $250 \%$ da população de Tucupira em 2003, como essa soma é 9000 temos:
Portanto, a soma das duas populações há 3 anos era de $3600 \times 2=7200$ habitantes.
5. (D) Na primeira balança temos $3 \boldsymbol{\bullet}+1 \bullet=6 \square$; na segunda temos $2 \boldsymbol{\Delta}+4 \bullet=8 \square$, o que é equivalente a $1 \boldsymbol{\bullet}+2 \bullet=4 \boldsymbol{\bullet}$. Logo $(3 \boldsymbol{\bullet}+1 \bullet)+(1 \boldsymbol{\bullet}+2 \bullet)=6 \boldsymbol{\bullet}+4 \boldsymbol{\bullet}$, ou seja, $4 \boldsymbol{\bullet}+3 \bullet=10 \boldsymbol{\bullet}$. Logo será necessário colocar 10 quadrados no prato direito da balança (3) para que ela fique em equilíbrio.
6. (C) Um ano normal tem 365 dias e o ano bissexto 366 . Da divisão de 365 por 7 , obtemos $365=52 \times 7+1$ e da divisão de 366 por 7 obtemos $366=52 \times 7+2$. Logo:
$$
\begin{aligned}
\text { ano normal } & =52 \text { semanas }+1 \mathrm{dia} \\
\text { ano bissexto } & =52 \text { semanas }+2 \mathrm{dias}
\end{aligned}
$$
Portanto, um ano normal ou bissexto tem no mínimo 52 domingos e no máximo 53 domingos ( 1 domingo para cada uma das 52 semanas e talvez outro domingo para os 1 ou 2 dias que completam o ano).
Cada um dos doze meses do ano tem no mínimo 4 domingos. Logo, cada ano tem no mínimo $12 \times 4=48$ domingos.
(i) Num ano de 52 domingos, como cada mês tem no mínimo 4 domingos, sobram ainda $52-48=4$ domingos. Cada um desses ficará num mês diferente, porque nenhum mês tem 6 domingos. Temos então 4 meses com 5 domingos.
(ii) Analogamente, num ano com 53 domingos restaram 5 domingos, que ficarão um em cada mês diferente. Portanto teremos 5 meses com 5 domingos
7. Com o número 1 no visor devemos aplicar sucessivamente as operações das teclas A e B para obter o número desejado.
$\begin{array}{llllllll}\text { A A B } & \text { B } & \text { B } & \text { A } & \text { B } & \text { A }\end{array}$
(a) $1 \rightarrow 2 \rightarrow 4 \rightarrow 5 \rightarrow 10$ ou $1 \rightarrow 2 \rightarrow 4 \rightarrow 5 \rightarrow 10$
$\begin{array}{lllllllllllllll}\text { A } & \text { B A } & \text { A } & \text { A } & \text { B } & \text { A } & \text { A } & \text { B } & \text { B } & \text { A } & \text { A } & \text { A } & \text { B } & \text { A } & \text { A }\end{array}$
(c) $1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 6 \rightarrow 12 \rightarrow 24 \rightarrow 25 \rightarrow 50 \rightarrow 100$ ou $\quad 1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 6 \rightarrow 12 \rightarrow 24 \rightarrow 25 \rightarrow 50 \rightarrow 100$
1) A metade do número $2^{12}+3 \times 2^{10}$ é:
A) $2^{6}+3 \times 2^{5}$
B) $2^{6}+3 \times 2^{10}$
C) $2^{11}+3 \times 2^{5}$
D) $2^{11} \times 7$
E) $2^{9} \times 7$
2) Neste momento são 6 horas e 27 minutos da tarde. Qual era o horário 2880717 minutos mais cedo?
A) $6 \mathrm{he} 22 \mathrm{~min}$
B) $6 \mathrm{he} 24 \mathrm{~min}$
C) $6 \mathrm{he} 27 \mathrm{~min}$
D) $6 \mathrm{he} 30 \mathrm{~min}$
E) $6 \mathrm{he} 32 \mathrm{~min}$
3) Os alunos de uma escola participaram de uma excursão, para a qual dois ônibus foram contratados. Quando os ônibus chegaram, 57 alunos entraram no primeiro ônibus e apenas 31, no segundo. Quantos alunos devem passar do primeiro para o segundo ônibus para que a mesma quantidade de alunos seja transportada nos dois ônibus?
A) 8
B) 13
C) 16
D) 26
E) 31
4) Em qual das alternativas abaixo aparecem dois pedaços de papelão com os quais podese construir um cubo, dobrando pelas linhas tracejadas e colando pelas linhas contínuas?
B)
C)
D)
E)
5) O algarismo das unidades do número $1 \times 3 \times 5 \times \ldots \times 97 \times 99$ é:
A) 1
B) 3
C) 5
D) 7
E) 9
6) A figura mostra um retângulo formado por 18 quadrados iguais com algumas partes sombreadas. Qual fração da área do retângulo é sombreada?
A) $\frac{7}{18}$
B) $\frac{4}{9}$
C) $\frac{1}{3}$
D) $\frac{5}{9}$
E) $\frac{1}{2}$
7) O desenho ao lado mostra o mapa de um país (imaginário) constituído por cinco estados. Deseja-se colorir esse mapa com as cores verde, azul e amarela, de modo que dois estados vizinhos não possuam a mesma cor. De quantas maneiras diferentes o mapa pode ser pintado?
A) 12
B) 6
C) 10
D) 24
E) 120
8) As nove casas de um tabuleiro $3 \times 3$ devem ser pintadas de forma que em cada coluna, cada linha e cada uma das duas diagonais não hajam duas casas de mesma cor. Qual é o menor número de cores necessárias para isso?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
9) Considere um número escrito na forma $X, Y$, onde $X$ e $Y$ são algarismos diferentes de 0 . Determine esse número sabendo que ele é igual a $\frac{3}{10}(X+Y)$.
10) Em um mesmo lado de uma rua serão construídas 6 casas vizinhas. As casas podem ser de tijolo ou de madeira, mas como medida de segurança contra incêndio, duas casas de madeira não podem ser vizinhas. De quantas maneiras se pode planejar a construção dessas casas?
1. (E) Antes de dividir a expressão por 2, colocamos $2^{10} \mathrm{em}$ evidência: $2^{12}+3 \times 2^{10}=2^{10}\left(2^{2}+3 \times 1\right)=2^{10} \times 7$. Logo: $\frac{2^{12}+3 \times 2^{10}}{2}=\frac{2^{10} \times 7}{2}=2^{9} \times 7$.
2. (D) Dividindo 2880717 por 60 , obtemos $2880717=48011 \times 60+57$. Isso significa que $2880717 \mathrm{~min}=48011 \mathrm{~h}+57 \mathrm{~min}$. Dividindo 48011 por 24 , obtemos $48011=2000 \times 24+11$. Podemos então escrever:
$$
2880717 \mathrm{~min}=\underbrace{48000 \mathrm{~h}}_{2000 \mathrm{dias}}+11 \mathrm{~h}+57 \mathrm{~min}
$$
Os 2000 dias não interferem no horário que estamos procurando. Como 6 horas e 27 minutos da tarde são exatamente 18 horas e 27 minutos, a resposta é $18 \mathrm{~h} 27 \mathrm{~min}-11 \mathrm{~h} 57 \mathrm{~min}=17 \mathrm{~h} 87 \mathrm{~min}-11 \mathrm{~h} 57 \mathrm{~min}=6 \mathrm{~h} 30 \mathrm{~min}$.
3. (B) $\mathrm{O}$ número total de alunos nos dois ônibus é $57+31=88 \mathrm{e} \frac{88}{2}=44$. Para que cada ônibus tenha o mesmo número de alunos, devem então passar $57-44=13$ alunos do primeiro para o segundo ônibus.
4. (E) Com as peças abaixo.
5. (C) O último algarismo de um múltiplo de 5 é 0 ou 5 ; os que terminam em 0 são pares e os que terminam em 5 são ímpares. Como $1 \times 3 \times 5 \times \ldots \times 97 \times 99$ é múltiplo de $5 \mathrm{e}$, sendo um produto de números ímpares, também é ímpar; segue que o seu algarismo das unidades é 5 .
6. (B) A parte sombreada consiste de 10 metades de quadrados mais 3 quadrados inteiros, o que equivale a $\frac{10}{2}+3=5+3=8$ quadrados inteiros. Logo, a fração que representa a parte sombreada é $\frac{\text { área sombreada }}{\text { área total }}=\frac{\text { área de } 8 \text { quadrados }}{\text { área de } 18 \text { quadrados }}=\frac{8}{18}=\frac{4}{9}$
7. (B) O estado A pode ser pintado de 3 formas: verde, azul ou amarelo. Para qualquer estado vizinho, por exemplo, o estado $\mathrm{B}$, temos duas possibilidades e os demais estados têm suas cores determinadas ( 1 possibilidade). Logo, podemos colorir o mapa de $3 \times 2=6$ formas. Abaixo ilustramos duas destas maneiras de pintar o mapa; em ambas o estado A tem a mesma cor.
8. (C) Para satisfazer as condições do problema, as cinco casas marcadas com ${ }^{*}$ devem ter cores diferentes.
Por isso, precisaremos, no mínimo, de 5 cores distintas. Chamemos de $1,2,3,4$ e 5 as cinco cores distintas que usaremos para colorir essas 5 casas, e vamos determinar como podemos escolher as cores para as 4 casas restantes para satisfazer as condições pedidas.
| 1 | | 4 |
| :--- | :--- | :--- |
| | 3 | |
| 2 | | 5 |$\rightarrow$| 1 | 2 | 4 |
| :--- | :--- | :--- |
| 4 | 3 | 1 |
| 2 | 4 | 5 |
Logo, podemos colorir as 4 casas restantes sem utilizar mais cores. Assim, bastam 5 cores. Outros exemplos de colorações são:
| 2 | | 3 |
| :--- | :--- | :--- |
| | 1 | |
| 5 | | 4 |
| 2 | 4 | 3 |
| :--- | :--- | :--- |
| 4 | 1 | 2 |
| 5 | 2 | 4 |
| 1 | | 2 |
| :--- | :--- | :--- |
| | 4 | |
| 3 | | 5 |$\rightarrow$| 1 | 3 | 2 |
| :--- | :--- | :--- |
| 2 | 4 | 1 |
| 3 | 2 | 5 |
| 1 | | 5 |
| :--- | :--- | :--- |
| | 2 | |
| 4 | | 3 |$\rightarrow$| 1 | 3 | 5 |
| :--- | :--- | :--- |
| 3 | 2 | 4 |
| 4 | 1 | 2 |
9. Temos $X, Y=X+\frac{Y}{10}=\frac{10 X+Y}{10}$, o enunciado nos diz que $\frac{10 X+Y}{10}=\frac{3}{10}(X+Y)$. Logo $10 X+Y=3 X+3 Y$, ou seja, $7 X=2 Y$. Concluímos que $2 Y$ é múltiplo de 7 , e como $Y$ é um número inteiro entre 1 e 9 , só temos a possibilidade $Y=7$, donde $X=2$. Assim, $o$ número é 2,7 .
1) $9^{20}+9^{20}+9^{20}$ é igual a:
(A) $9^{20}$
(B) $3^{66}$
(C) $9^{23}$
(D) $3^{41}$
(E) $3^{23}$
2) Miguel escolheu um número de 3 algarismos e outro de 2 algarismos. Qual é a soma desses números se a sua diferença é 989 ?
(A) 1000
(B) 1001
(C) 1009
(D) 1010
(E) 2005
3) Qual é o menor número natural $n$ para o qual $10^{n}-1$ é múltiplo de 37 ?
(A) 6
(B) 5
(C) 4
(D) 3
(E) 2
4) Num certo país com 14 milhões de habitantes, $0,15 \%$ da população contraiu uma certa gripe. Quantos habitantes não contraíram a gripe?
(A) 13979000
(B) 1397900
(C) 139790
(D) 13979
(E) 139790000
5) O Código Secreto. O código secreto de um grupo de alunos é um número de 3 algarismos distintos diferentes de 0 . Descubra o código com as seguintes informações:
123 Nenhum algarismo correto
$4 \quad 5 \quad 6$ Um só algarismo correto na posição certa
612 Um só algarismo correto, mas na posição errada
$\begin{array}{llll}5 & 4 & 7 & \text { Um só algarismo correto, mas na posição errada }\end{array}$
$8 \quad 4 \quad 3$ Um só algarismo correto na posição certa
(A) 137
(B) 876
(C) 768
(D) 678
(E) 576
1. (D) $9^{20}+9^{20}+9^{20}=3 \times 9^{20}=3 \times\left(3^{2}\right)^{20}=3 \times 3^{40}=3^{41}$.
2. (C) Como a diferença é 989 e o menor número tem 2 algarismos (logo, é maior do que 9), o número de 3 algarismos tem que ser maior do que $989+9=998$, logo a única opção é 999.
Logo, o número de 2 algarismos é 10 , e a soma dos dois é $999+10=1009$.
3. (D) Observe que $10^{n}-1$ é um número que tem todos os seus algarismos iguais a 9. Os menores múltiplos de 37 terminados em 9 são:
$37 \times 7=259,37 \times 17=629,37 \times 27=999$. Como $999=10^{3}-1$, segue que $n=3$.
4. (A) Os que não contraíram a gripe representam $100 \%-0,15 \%=99,85 \%$ da população. Temos: $99,85 \%$ de 14 milhões $=\frac{99,85}{100} \times 14000000=\frac{9985}{10000} \times 14000000=9985 \times 1400=13979000$
5. (B) O código pode ser formado com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 .
Da 1a informação temos que 1,2 e 3 não fazem parte do código. Da 3a informação, concluímos que 6 faz parte do código, e sua posição é _ 6 _ ou _- 6 .
| 1 | 2 | 3 |
| :--- | :--- | :--- |
| 4 | 5 | 6 |
| 6 | 1 | 2 |
| 5 | 4 | 7 |
| 8 | 4 | 3 |
Da $2^{\text {a }}$ informação segue que $4 \mathrm{e} 5$ não fazem parte do código e a posição do 6 no código é _- 6 . Da última informação tem só que o código é da forma $8 \_6$. Com a $4^{\text {a }}$ informação completamos o código:876.
| 1 | 2 | 3 |
| :--- | :--- | :--- |
| 4 | 5 | 6 |
| 6 | 1 | 2 |
| 5 | 4 | 7 |
| 8 | 4 | 3 |
1) $2-2\{2-2[2-2(4-2)]\}$ é igual a:
(A) 0
(B) 2
(C) -2
(D) 4
(E) -10
2) Escrevendo as frações em ordem crescente $\frac{4}{3}, \frac{4}{5}, \frac{4}{6}, \frac{3}{5}, \frac{6}{5}$, $\frac{2}{5}$, encontramos:
(A) $\frac{2}{5}<\frac{3}{5}<\frac{4}{6}<\frac{4}{5}<\frac{6}{5}<\frac{4}{3}$
(B) $\frac{4}{3}<\frac{4}{6}<\frac{2}{5}<\frac{3}{5}<\frac{4}{5}<\frac{6}{5}$
(C) $\frac{2}{5}<\frac{3}{5}<\frac{4}{5}<\frac{4}{6}<\frac{4}{3}<\frac{6}{5}$
(D) $\frac{2}{5}<\frac{3}{5}<\frac{4}{5}<\frac{4}{6}<\frac{6}{5}<\frac{4}{3}$
(E) $\frac{2}{5}<\frac{3}{5}<\frac{4}{5}<\frac{4}{3}<\frac{4}{6}<\frac{6}{5}$
3) Quantos números maiores que 200 podem ser escritos, usando-se apenas os algarismos 1,3 e 5 ?
(A) 10
(B) 12
(C) 14
(D) 15
(E) 18
4) Uma maratona de $52 \mathrm{~km}$ começou às $11: 30$ horas e o vencedor terminou às $12: 45$ horas do mesmo dia. Qual foi a velocidade média do vencedor em $\mathrm{km} / \mathrm{hora}$ ?
(A) 35
(B) 38
(C) 39,5
(D) 41,6
(E) 52
5) Cinco alunas escreveram cada uma um número num papel, os números só podiam ser 1 ou 2 ou 4 . Qual pode ser o produto dos cinco números escritos?
(A) 100
(B) 120
(C) 256
(D) 768
(E) 2048
1. (E) As ordens de prioridade para resolver uma expressão são:
$\underbrace{\text { parênteses }}_{1^{\circ}} \rightarrow \underbrace{\text { colchete }}_{2^{\circ}} \rightarrow \underbrace{\text { chaves }}_{3^{\circ}}$ e $\underbrace{\text { multiplicações e divisões }}_{1^{\circ}} \rightarrow \underbrace{\text { somas e subtrações }}_{2^{\circ}}$
Temos:
$$
\begin{aligned}
& 2-2\{2-2[2-2(\underbrace{4-2}_{2})]\}=2-2\{2-2[2-\underbrace{2 \times 2}_{4}]\}=2-2\{2-2[\underbrace{2-4}_{-2}]\}= \\
& =2-2\{2-\underbrace{2 \times(-2)}_{-4}\}=2-2\{2-(-4)\}=2-2\{\underbrace{2+4}_{6}\}=2-\underbrace{2 \times 6}_{12}=2-12=-10
\end{aligned}
$$
2. (A) Solução 1: Temos: $\frac{4}{6}<\frac{4}{5}<\frac{4}{3}$ (frações de mesmo numerador, a menor é a que tem o maior denominador) e $\frac{2}{5}<\frac{3}{5}<\frac{4}{5}<\frac{6}{5}$ (frações de mesmo denominador, a menor é a que tem o menor numerador). As duas maiores são $\frac{4}{3}$ e $\frac{6}{5}$ por serem as únicas maiores do que 1 (numerador maior do que denominador). Temos $\frac{4}{3}=\frac{20}{15}$ e $\frac{6}{5}=\frac{18}{15} \Rightarrow \frac{6}{5}<\frac{4}{3}$ e logo: $\frac{2}{5}<\frac{3}{5}<\frac{4}{5}<\frac{6}{5}<\frac{4}{3}$. Falta apenas "encaixar" $4 / 6=2 / 3$. Note que $\frac{2}{5}<\frac{2}{3}=\frac{4}{6}$ e $\frac{4}{6}<\frac{4}{5}$. Como, $\frac{3}{5}=\frac{9}{15}$ e $\frac{2}{3}=\frac{10}{15}$, segue que $\frac{3}{5}<\frac{4}{6}$ Finalmente, temos: $\frac{2}{5}<\frac{3}{5}<\frac{4}{6}<\frac{4}{5}<\frac{6}{5}<\frac{4}{3}$.
Solução 2: Escrevendo as frações na forma decimal, obtemos:
$$
\frac{4}{3}=1,333 \ldots ; \frac{4}{5}=0,8 ; \frac{4}{6}=0,666 \ldots ; \frac{3}{5}=0,6 ; \frac{6}{5}=1,2 ; \frac{2}{5}=0,4
$$
Logo: $\underbrace{0,4}_{\frac{2}{5}}<\underbrace{0,6}_{\frac{3}{5}}<\underbrace{0,666 \ldots}_{\frac{4}{6}}<\underbrace{0,8}_{\frac{4}{5}}<\underbrace{1,2}_{\frac{6}{5}}<\underbrace{1,333 \ldots}_{\frac{4}{3}}$
Solução 3: Escrevendo as frações com o mesmo denominador comum, temos: $\frac{4}{3}=\frac{40}{30} ; \frac{4}{5}=\frac{24}{30} ; \frac{4}{6}=\frac{20}{30} ; \frac{3}{5}=\frac{18}{30} ; \frac{6}{5}=\frac{36}{30} ; \frac{2}{5}=\frac{12}{30}$. Assim, $\frac{2}{5}<\frac{3}{5}<\frac{4}{6}<\frac{4}{5}<\frac{6}{5}<\frac{4}{3}$. (frações de mesmo denominador, a menor é a que tem o menor numerador).
3. (E) Por serem maiores que 200 , o algarimo das centenas só pode ser 3 ou 5 . Os números são:
- Começando com 3: $\left\{\begin{array}{l}\text { sem repetir algarismos: } 315 \text { e } 351 \\ \text { repetindo algarismos: 311, 313, 331, 335, 353, 333, } 355 .\end{array}\right.$
Nesse caso, temos 9 números.
- Começando com 5: basta trocar o 3 com o 5 nos números acima. Logo, teremos 9 números.
Assim, temos 18 números que satisfazem as condições do problema.
4. (D) O tempo que o vencedor gastou foi: $12 \mathrm{~h} 45 \mathrm{~min}-11 \mathrm{~h} 30 \mathrm{mim}=1 \mathrm{~h} 15 \mathrm{~min}=11 / 4 \mathrm{~h}=5 / 4 \mathrm{~h}$. Logo, a velocidade média em $\mathrm{km} /$ hora é:
$$
\frac{\text { espaço percorrido em } \mathrm{km}}{\text { tempo gasto em horas }}=\frac{52}{\frac{5}{4}}=52 \times \frac{4}{5}=41,6 \mathrm{~km} / \mathrm{h}
$$
5. (C) Se todos as alunas escreveram o número 1 , o produto seria 1 que não está entre as opções. Logo, 2 ou 4 são fatores do produto, por isso o produto tem que ser uma potência de 2 . O maior produto possível é obtido no caso em que todas as 5 alunas escreveram o número 4 , e o produto seria $4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4=4^{5}=2^{10}=1024$. Logo, podemos eliminar 2048. Agora temos:
$\cdot$100e 120 são divisíveis por 5 , logo não são potências de 2;
- 768 é divisível por $3(7+6+8=21)$, logo não é potência de 2 .
A única resposta possível é $256=2^{8}$. Seria, por exemplo o caso em que duas alunas escreveram o número 2 e três escreveram o número $4: 256=2 \times 2 \times 4 \times 4 \times 4$.
1) O produto $\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{5}\right)$ é :
(A) $\frac{119}{120}$
(B) $\frac{5}{7}$
(C) $2 \frac{43}{60}$
(D) $\frac{1}{5}$
(E) $\frac{1}{120}$
2) A soma de dois números naturais é 11. Qual o maior produto possível que se pode obter com esses números?
(A) 30
(B) 22
(C) 66
(D) 24
(E) 28
3) Se $m$ é um número natural, tal que $3^{m}=81$, então $m^{3}$ é igual a:
(A) $81^{3}$
(B) $3^{81}$
(C) 64
(D) 24
(E) 48
4) Se $a-1=b+2=c-3=d+4$, então qual o maior dentre os números $a, b, c$ e $d$ ?
(A) $a$
(B) $b$
(C) $c$
(D) $d$
(E)todos são iguais.
5) Quatro formigas atravessam uma sala coberta de lajotas retangulares todas iguais. $\mathrm{O}$ trajeto de cada formiga é mostrado na figura em negrito. Qual o comprimento do trajeto percorrido por Biloca?
(A) $30 \mathrm{dm}$
(B) $35 \mathrm{dm}$
(C) $43 \mathrm{dm}$
(D) $55 \mathrm{dm}$
(E) $48 d m$
6) Célia quer trocar com Guilherme figurinhas de um álbum sobre animais brasileiros. Celina quer trocar 4 figurinhas de borboleta, 5 de tubarão, 3 de cobra, 6 de periquito e 6 de macaco. Todas as figurinhas de Guilherme são de aranha. Eles sabem que:
(a) 1 figurinha de borboleta vale 3 figurinhas de tubarão
(b) 1 figurinha de cobra vale 3 figurinhas de periquito
(c) 1 figurinha de macaco vale 4 figurinhas de aranha
(d) 1 figurinha de periquito vale 3 figurinhas de aranha
(e) 1 figurinha de tubarão vale 2 figurinhas de periquito
Quantas figurinhas Célia receberá se ela trocar todas que quiser?
1. (D) $\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{5}\right)=\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{4}{5}=\frac{1}{5}$.
2. (A) Examinemos os produtos dos números naturais cuja soma é 11 :
$$
\begin{array}{lll}
11=1+10 & \text { e } & 1 \times 10=10 \\
11=2+9 & \text { e } & 2 \times 9=18 \\
11=3+8 & \text { e } & 3 \times 8=24 \\
11=4+7 & \text { e } & 4 \times 7=28 \\
11=5+6 & \text { e } & 5 \times 6=30
\end{array}
$$
3. (C) Temos $3^{m}=81=3^{4}$; donde $m=4$. Logo, $m^{3}=4^{3}=4 \times 4 \times 4=64$.
4. (C) Somando 3 a todos os membros obtemos: $a-1+3=b+2+3=c-3+3=d+4+3 \Rightarrow a+2=b+5=c=d+7$, o que mostra que $c$ é o maior.
5. (B) O trajeto de Biloca é: 3 diagonais +4 larguras +2 comprimentos.
Pipoca percorre 5 diagonais, logo o comprimento de 1 diagonal é $25 \div 5=5 \mathrm{dm}$.
4 larguras $=37-25=12 \mathrm{dm}$.
Cotinha percorre 5 comprimentos $+\underbrace{4 \text { larguras }}_{12}=32 \Rightarrow 1$ comprimento $=20 \div 5=4 \mathrm{dm}$.
Finalmente, Biloca percorre:
3 diagonais +4 larguras +2 comprimentos $=15+12+8=35 \mathrm{dm}$. Observe que o comprimento de 1 $\underbrace{3 x_{12}}_{3 \times 5} \underbrace{4}_{2 \times 4}$
largura é $12 \div 4=3 \mathrm{dm}$.
6. A "moeda de troca" de Guilherme são figurinhas de aranha, logo vamos calcular o "valor-aranha" de cada tipo de figurinha usando as informaç̃oes (a), (b), (c), (d) e (e).
5 tubarão $\underset{(\mathrm{e})}{=} \underset{5 \times 2}{10}$ periquito $\underset{(\mathrm{d})}{=} \underbrace{30}_{10 \times 3}$ aranha
6 macaco $\underset{(\mathrm{c})}{\underset{6 \times 4}{24}}$ aranha $\quad$ Logo, ela receberá $72+30+27+18+24=171$ figurinhas de aranha.
1) O valor de $\frac{10+20+30+40}{10}+\frac{10}{10+20+30+40}$ é:
(A) 1
(B) 20
(C) 30
(D) 10,1
(E) 1,01
2) A figura ao lado é formada por um triângulo e um retângulo usando-se 60 palitos iguais. Para cada lado do triângulo são necessários 6 palitos. Se cada palito tem $5 \mathrm{~cm}$ de comprimento, qual é a área do retângulo da figura?
(A) $120 \mathrm{~cm}^{2}$
(B) $540 \mathrm{~cm}^{2}$
(C) $1350 \mathrm{~cm}^{2}$
(D) $2700 \mathrm{~cm}^{2}$
(E) $5400 \mathrm{~cm}^{2}$
3) $O$ incêndio e o bombeiro - Uma casa pega fogo. Um bombeiro se mantém no degrau do meio de uma escada jogando água sobre o incêndio. As chamas diminuem e ele sobe 5 degraus. O vento sopra e o bombeiro desce 7 degraus. Um pouco depois ele sobe 8 degraus e fica lá até que o incêndio acabe. Em seguida, ele sobe os últimos 7 degraus e entra na casa. Quantos degraus tem a escada do bombeiro?
(A) 25
(B) 26
(C) 27
(D) 28
(E) 29
4) A figura mostra a árvore geneológica de uma família. Cada flexa vai do pai em direção ao seu filho. Quem é o irmão do pai do irmão do pai de Evaristo?
5) Uma colcha quadrada em branco e cinza é feita com quadrados e triângulos retângulos isósceles. A parte em cinza representa que percentagem da colcha?
(A) $36 \%$
(B) $40 \%$
(C) $45 \%$
(D) $50 \%$
(E) $60 \%$
1. (D) Solução: $\frac{10+20+30+40}{10}+\frac{10}{10+20+30+40}=\frac{100}{10}+\frac{10}{100}=10+0,1=10,1$.
2. (D) Para o triângulo foram usados $6 \times 3=18$ palitos, sobrando então $60-18=42$ palitos para formar os 3 lados do retângulo. Da figura, temos que a largura do retângulo é formada por 6 palitos, logo o comprimento é formado por $\frac{42-6}{2}=18$ palitos. Como cada palito tem $5 \mathrm{~cm}$ de comprimento, a área do retângulo é dada por $\underbrace{6 \times 5}_{\text {largura }} \times \underbrace{18 \times 5}_{\text {comprimento }}=30 \times 90=2700 \mathrm{~cm}^{2}$
3. (C) O sobe-desce do bombeiro a partir do degrau do meio até chegar ao último degrau é o seguinte:
sobe sobe sobe
$+5 \underset{\text { desce }}{-7}+8+7$, logo o bombeiro sobe $8+5=13$ degraus acima do degrau do meio, chegando assim, ao último degrau da escada. Logo, a escada tem 13 degraus acima do degrau do meio, e portanto, 13 degraus abaixo do degrau do meio. Portanto, a escada tem $13+1+13=27$ degraus. Veja um esquema da movimentação do bombeiro.
(2) sobe 7
(4) sobe 7
4. (C) Na figura vemos que o pai de Evaristo é José. O irmão de José é Jean. O pai de Jean é Luís. O irmão de Luís é André.
irmão do pai de Evaristo = irmão de José $=$ Jean
José
pai do irmão do pai de Evaristo = pai de Jean = Luís
$\underbrace{\text { José }}_{\text {Jean }}$
irmão do pai do irmão do pai de Evaristo = irmão de Luís=André
$\underbrace{\underbrace{\text { José }}_{\text {Jean }}}_{\text {Luís }}$
5. (B) A colcha é formada de $5 \times 5=25$ quadradinhos. Os quadradinhos são todos iguais. Já os triângulos, temos de dois tipos: tipo I que corresponde a meio quadrado e tipo II que corresponde a $1 / 4$ de um quadradinho. A parte em cinza é composta de 8 triângulos do tipo I, 8 triângulos do tipo II e 4 quadrados, ou seja:
8 triângulos tipo I +8 triângulos tipo II +4 quadrados $=10$ quadrados.
4 quadrados 2 quadrados
Logo, a fração correspondente a parte cinza é $\frac{10}{25}=\frac{40}{100}=40 \%$.
1) Qual das igualdades está correta?
(i) $3 \times 10^{6}+5 \times 10^{2}=8 \times 10^{8}$
(ii) $2^{3}+2^{-3}=2^{0}$
(iii) $5 \times 8+7=75$
(iv) $5+5 \div 5=2$
(A) (i)
(B)(ii)
(C) (iii)
(D)(iv)
(E) nenhuma
2) Se $a, b$ e $c$ são números naturais tais que $3 a=4 b=7 c$, então o menor valor de $a+b+c$ é:
(A) 84
(B) 36
(C) 61
(D) 56
(E) 42
3) Um número é um quadrado perfeito se é igual a um número inteiro elevado ao quadrado. Por exemplo, são quadrados perfeitos:. $25=5^{2}, 49=7^{2}$ e $125=25^{2}$. Qual o menor número que devemos multiplicar 120 para obter um quadrado perfeito?
(A) 10
(B) 15
(C) 20
(D) 30
(E) 35
4) A máquina que registra o número de visitantes de um Museu marca 1879564. Note que esse número tem todos os algarismos distintos. Qual o menor número de visitantes que são necessários para que a máquina registre um número que também tenha todos os seus algarismos distintos?
(A) 35
(B) 36
(C) 38
(D) 47
(E) 52
5) Os números de 0 a 2000 foram ligados por flexas como mostra a figura:
e assim por diante.
Qual é a sucessão de flexas que liga o número1997 ao número 2000?
(A)
(C)
(D)
(E)
(B)
1. (E) Nenhuma igualdade está correta.
(i) Errada: $3 \times 10^{6}+5 \times 10^{2}=3000000+500=30000500 \neq 8 \times 10^{8}$
(ii) Errada: $2^{3}+2^{-3}=2^{3}+\frac{1}{2^{3}}=8+\frac{1}{8} \neq 1=2^{0}$ (iii) Errada: $\underbrace{5 \times 8+7}_{\text {multiplicação }}=40+7=47 \neq 75$
soma
(iv) Errada: $\underbrace{5+5 \div 5}_{\substack{\text { division } \\ \text { antes da } \\ \text { soma }}}=5+1=6 \neq 2$
2. (C) Como $a, b$ e $c$ são números naturais, segue que $3 a$ é múltiplo de $3,4 b$ múltiplo de 4 e $7 c$ múltiplo de 7 . Como 3,4 e 7 são primos entre si (pois possuem 1 como divisor comum), o menor múltiplo comum de 3,4 e 7 é $3 \times 4 \times 7=84$. Portanto:
$3 a=84 \Rightarrow a=28 \quad ; \quad 4 b=84 \Rightarrow b=21 \quad ; \quad 7 c=84 \Rightarrow c=12$. Logo, o menor valor para $a+b+c$ é $28+21+12=61$.
3. (D) Fatorando 120, obtemos: $120=2^{3} \times 3 \times 5$. Para obter um quadrado perfeito todos os expoentes dessa decomposição devem ser pares, $\operatorname{logo}$ basta multiplicar 120 por $2 \times 3 \times 5=30$. De fato, temos:
$120 \times 30=2^{3} \times 3 \times 5 \times 2 \times 3 \times 5=2^{4} \times 3^{2} \times 5^{2}=\left(2^{2} \times 3 \times 5\right)^{2}=60^{2}$
4. (C) Observe que os únicos algarismos que não aparecem no número 1879564 são 0,2 e 3 . O próximo número com todos os algarismos distintos ocorrerá quando mudar o algarismo das centenas, e tivermos 18796 _. . Logo, o menor número será 1879602 , e faltam ainda 1879602-1879564=38 visitantes.
5. (E) O caminho-padrão é aquele que se repete, no caso é:
Esse caminho é formado de 6 flexas e começa sempre nos múltiplos de $6: 0,6,12$, etc. Vamos averiguar qual a posição de 1997 em relação ao múltiplo de 6 mais próximo. Dividindo 1997 por 6 , obtemos $1997=\underbrace{6 \times 332}_{\begin{array}{c}\text { corresponde a 332 } \\ \text { caminhos-padrão }\end{array}}+\underbrace{5}_{\text {resto }}$. Portanto, 1998 é o múltiplo de 6 mais próximo de 1997.
Logo, 1998 ocupa a 1 1a posição no caminho-padrão, então, a situação é a seguinte:
10. Como as casas são vizinhas, podemos pensar nelas como uma fila de casas com 6 posições.Vamos dividir a contagem em casos, de acordo com o número de casas de madeira que podem ser construídas.
a) Nenhuma casa de madeira: aqui há apenas uma maneira de construir as casas, ou seja, todas de tijolo.
b) Uma casa de madeira: aqui temos 6 maneiras de construir as casas, pois a casa de madeira pode ser qualquer uma delas, sendo as outras de tijolo.
c) Duas casas de madeira: as casas de madeira podem ocupar as seguintes posições: $1^{\underline{a}}$ e $3^{\underline{a}}$, $1^{\underline{a}}$ e $4^{a}$, $1^{\underline{a}}$ e $5^{a}$, $1^{\underline{a}}$ e $6^{\underline{a}}$, $2^{\underline{a}}$ e $4^{a}$, $2^{\underline{a}}$ e $5^{a}$, $2^{\underline{a}}$ e $6^{\underline{a}}$, $3^{\underline{a}}$ e $5^{a}, 3^{a}$ e $6^{\underline{a}}$ ou $4^{a}$ e $6^{a}$. Temos aqui 10 maneiras.
d) 3 casas de madeira: as casas de madeira podem ocupar as seguintes posições: $1^{a}$, $3^{a}$ e $5^{a} ; 1^{a}$, $3^{a}$ e $6^{a} ; 1^{a}, 4^{a}$ e $6^{a} ; 2^{a}, 4^{a}$ e $6^{a}$. Temos aqui 4 maneiras nototal.
e) 4 ou mais casas de madeira: impossível, pois é fácil ver neste caso que sempre teremos duas casas de madeira juntas.
Dessa forma, há $1+6+10+4=21$ maneiras de se planejar a construção.