# Nível 1
## Lista 1
## 1. Múltiplos de 9
(a) Qual é o menor múltiplo (positivo) de 9 que é escrito apenas com os algarismos 0 e 1 ?
(b) Qual é o menor múltiplo (positivo) de 9 que é escrito apenas com os algarismos 1 e 2 ?
2. A florista - Uma florista colheu $49 \mathrm{~kg}$ de flores do campo que podem ser vendidas imediatamente por $R \$ 1,25$ o quilo. A florista pode também vendêlas desidratadas por 2 reais a mais no quilo. O processo de desidratação faz as flores perderem $5 / 7$ de seu peso. Qual é o tipo de venda mais lucrativo para a florista?
3. Divisores - Seja $N$ o menor número que tem 378 divisores e é da forma $2^{a} \times 3^{b} \times 5^{c} \times 7^{d}$. Quanto vale cada um desses expoentes?
4. O produto dos algarismos - Denotemos por $P(n)$ o produto dos algarismos do número $n$. Por exemplo: $P(58)=5 \times 8=40$ e $P(319)=3 \times 1 \times 9=27$.
(a) Quais os números naturais menores que 1000 cujo produto de seus algarismos é 12 , ou seja: os números naturais $n<1000$ tais que $P(n)=12$ ?
(b) Quantos números naturais menores que 199 satisfazem $P(n)=0$ ? Ou seja: têm o produto de seus algarismos igual a 0 ?
(c) Quais números naturais menores que 200 satisfazem a desigualdade $37<$ $P(n)<45$ ?
(d) Dentre os números de 1 a 250, qual o número cujo produto de seus algarismos é o maior?
5. Suco de laranja - Davi vai a um armazém que vende uma garrafa de suco de laranja por $R \$ 2,80$ e uma caixa com seis dessas garrafas por $R \$ 15,00$. Ele precisa comprar 22 garrafas para seu aniversário. Quanto ele gastará no mínimo?
6. A casa da Rosa - A figura mostra a planta da casa da Rosa. O quarto e o quintal são quadrados. Qual é a área da cozinha?
| | Sala
$24 m^{2}$ |
| :---: | :---: |
| Quintal
$4 m^{2}$ | Cozinha |
7. O passeio do Matias - Matias passeia em volta de 4 quarteirões perto de sua casa. O seu passeio consiste em fazer o maior percurso possível de bicicleta, respeitando as seguintes condições:
ele pode passar várias vezes pelos cruzamentos das ruas, mas ele não pode passar mais do que uma vez pela mesma quadra. Quando ele não pode mais respeitar essas condições, ele tem que saltar da bicicleta e voltar a pé. Ele parte de $P$ e deve voltar a $P$. Os quatro quarteirões são quadrados com 100 metros de lado em cada quadra. Qual o maior percurso que ele pode fazer? A largura das ruas é desprezível.
8. $O$ adesivo dos carros oficiais - O prefeito de uma cidade decidiu colocar um adesivo em todos os carros oficiais. O adesivo terá a forma retangular com 6 quadrados dispostos em $2 \times 3$ e com 3 cores: 1 quadrado azul, 2 quadrados amarelos e 3 quadrados verdes. Dentre quantos tipos diferentes de adesivo o prefeito terá que escolher?
## Soluções da Lista 1
## 1. Múltiplos de 9
(a) Um número é divisível por 9 se a soma dos seus algarismos é um múltiplo de 9. Logo, o número deve ter 9 algarismos iguais a 1. Assim, o menor número é: 111111111.
(b) Devemos usar o maior número possível de algarismos iguais a 2, que devem ficar nas casas mais à direita. Assim, o menor número é: 12222 .
2. A florista - Se a florista vender as flores sem desidratá-las, ela vai apurar $49 \times 1,25=61,25$ reais.
O peso das flores após a desidratação é $\frac{2}{7} \times 49=14 \mathrm{~kg}$. Logo, vendendo as flores desidratadas, ela apura $14 \times 3,25=45,50$. Portanto, a florista ganha mais no processo sem a desidratação.
3. Divisores - Como 2, 3, 5 e 7 são primos, para que $2^{a} \times 3^{b} \times 5^{c} \times 7^{d}$ tenha 378 divisores, devemos ter:
$$
(a+1) \times(b+1) \times(c+1) \times(d+1)=378
$$
Decompondo 378 em fatores primos, encontramos $378=2 \times 3^{3} \times 7$. Logo,
$$
(a+1) \times(b+1) \times(c+1) \times(d+1)=2 \times 3^{3} \times 7
$$
Por outro lado, como $N$ é mínimo então os expoentes estão ordenados do maior
para o menor, isto é, $a \geq b \geq c \geq d$.
Afirmamos que $d>0$, pois se $d=0$ então $a+1, b+1$ ou $c+1$ tem dois fatores maiores do que 1 . Se $a+1=m n$ com $m \geq n>1$ temos que
$$
2^{a}=2^{m n-1}=2^{m-1} 2^{m n-m}=2^{m-1}\left(2^{m}\right)^{n-1} \geq 2^{m-1} 8^{n-1}>2^{m-1} 7^{n-1}
$$
onde na penúltima desigualdade usamos o fato que $m \geq 3$. Assim, temos que $2^{a} 3^{b} 5^{c} 7^{d}>2^{m-1} 3^{b} 5^{c} 7^{n-1}$, logo encontramos um número com a mesma quantidade de divisores, mas menor. A prova é igual no caso em que $b+1$ tem dois fatores ou $c+1$ tem dois fatores. Assim, $d \geq 1$ e temos unicamente as seguintes possibilidades
| $a$ | $b$ | $c$ | $d$ | $(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)=378$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 20 | 2 | 2 | 1 | $21 \times 3 \times 3 \times 2$ |
| 13 | 2 | 2 | 2 | $14 \times 3 \times 3 \times 3$ |
| 8 | 6 | 2 | 1 | $9 \times 7 \times 3 \times 2$ |
| 6 | 5 | 2 | 2 | $7 \times 6 \times 3 \times 3$ |
Por último, como
$$
\begin{aligned}
& \frac{2^{20} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2} \cdot 7^{1}}{2^{13} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2} \cdot 7^{2}}=\frac{2^{7}}{7}>1 \\
& \frac{2^{13} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2} \cdot 7^{2}}{2^{8} \cdot 3^{6} \cdot 5^{1} \cdot 7^{1}}=\frac{2^{5} \cdot 7}{3^{4}}>1
\end{aligned}
$$
e
$$
\frac{2^{8} \cdot 3^{6} \cdot 5^{2} \cdot 7^{1}}{2^{6} \cdot 3^{5} \cdot 5^{2} \cdot 7^{2}}=\frac{2^{2} \cdot 3}{7}>1
$$
temos que o valor de $N$ é $2^{6} \cdot 3^{5} \cdot 5^{2} \cdot 7^{2}$. Portanto, $a=6, b=5, c=2$ e $d=2$.
## 4. O produto dos algarismos
(a) Como $12=2 \times 6=4 \times 3=2 \times 2 \times 3$, devemos utilizar os algarismos $1,2,3,4$ e 6 cujos produtos sejam 12. Assim temos:
- números com 2 algarismos: 26, 62, 34, 43
- números com 3 algarismos:
- com os algarismos 1, 2 e 6: 126, 162, 216, 261, 612, 621
- com os algarismos 1, 3 e 4: 134, 143, 314, 341, 413, 431
- com os algarismos 2, 2 e 3: 223, 232, 322 .
(b) Se $P(n)=0$, então o produto de seus algarismos é igual a zero, logo pelo menos um dos algarismos do número $n$ é zero. Temos 19 números com zero só nas unidades, 9 números com zero só nas dezenas e ainda o número 100, totalizando 29 números:
(c) Queremos encontrar os números menores do que 200, cujo produto de seus algarismos seja maior do que 37 e menor do que 45. Por exemplo, 58 é um desses números porque $5 \times 8=40$.
Em primeiro lugar, note que não existem números cujo produto de seus algarismos sejam 38, 39, 41, 43 e 44 porque esses números não podem ser escritos como produto de dois ou três algarismos. Restam, então: 40 e 42 . Vejamos as possibilidades:
- números menores do que 200 cujo produto dos algarismos é 40: 58, 85, 158 e 185
- números menores do que 200 cujo produto dos algarismos é 42: 67,76 , 167 e 176
(d) O número é $249=2 \times 4 \times 9=72$.
5. Suco de laranja - Se Davi comprar 6 garrafas individualmente, ele vai gastar $6 \times 2,80=16,80$ reais, que é mais caro do que comprar uma caixa com seis. Portanto, ele deve comprar a maior quantidade possível de caixas. Para ter pelo menos 22 garrafas, ele pode comprar 4 caixas e gastará 60 reais, ou
comprar 3 caixas e 4 garrafas individualmente, caso em que gastará $3 \times 15+$ $4 \times 2,80=56,20$ reais, que é o mínimo possível.
6. A casa da Rosa - Como o quarto é quadrado e tem $16 m^{2}$ de área, então suas dimensões são $4 m$ por $4 m$. Da mesma forma, as dimensões do quintal são $2 m$ por $2 m$. Agora, a sala tem $24 m^{2}$ e uma das dimensões é a mesma que a dimensão do quarto, isto é $4 m$, logo a outra dimensão da sala é $6 m$. Assim, as dimensões totais da casa são $10 \mathrm{~m}$ por $6 m$ e a área total da casa é 60 metros quadrados. Logo, a área da cozinha é
| | | |
| :---: | :---: | :---: |
| Quintal | 2 | Cozinha |
$60-16-24-4=16 m^{2}$.
7. Passeio do Matias - Primeiro observamos que temos 12 quadras de 100 metros entre os 4 quarteirões. Além disso, entre os quatro quarteirões temos 4 esquinas nas quais chegam 3 quadras e que estão marcadas com $\star$ no desenho. Assim, no momento em que chegamos a uma das ditas esquinas temos que sair, logo usamos 2 das quadras em cada passada e, no momento que chegamos de novo, temos que parar.
Portanto, dentre as ditas 4 esquinas, em todo caminho que tracemos tem pelo menos duas esquinas em que não usamos todas as quadras que chegam à esquina mencionada. Assim, o caminho de comprimento máximo usa no máximo 10 quadras. Na figura desenhamos um dos trajetos máximos.
8. O adesivo oficial - Como o quadrado pintado da cor azul pode estar em qualquer lugar, então temos 6 possíveis formas de escolher a posição desse quadrado. Entre os 5 quadrados restantes precisamos pintar dois de amarelo, o que podemos fazer de 10 formas, assim os três quadrados restantes são pintados de verde. Portanto, o prefeito tem $6 \times 10=60$ formas diferentes de escolher o adesivo.