# Nível 2 

## Lista 1

1. Potências de 10 - O valor de $\frac{0,00001 \times(0,01)^{2} \times 1000}{0,001}$ é:
(a) $10^{-1}$
(b) $10^{-2}$
(c) $10^{-3}$
(d) $10^{-4}$
(e) 1
2. Diferença de quadrados - Se $(x+y)^{2}-(x-y)^{2}=20$, então $x y$ é igual a:
(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 5
(e) 10
3. Um quadrilátero - O quadrilátero $A B C D$ da figura é um paralelogramo?

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_9ca8b777b16e5f5c5786g-1.jpg?height=451&width=414&top_left_y=1462&top_left_x=929)

4. Sexta-feira 13 - Qual o número máximo de sexta-feiras 13 que podem ocorrer num ano não bissexto? Neste caso, qual é o $10^{\circ}$ dia do ano?
5. Triângulos com lados inteiros - Quantos triângulos existem cujos lados são números inteiros e o perímetro é 12 ?
(a) 1
(b) 3
(c) 5
(d) 7
(e) 9
6. Festa de aniversário - Para comemorar seu aniversário, Ana vai preparar tortas de pera e tortas de maçã. No mercado, uma maçã pesa $300 \mathrm{~g}$ e uma pera $200 \mathrm{~g}$. A sacola de Ana aguenta um peso máximo de $7 k$. Qual é o numero máximo de frutas que ela pode comprar para poder fazer tortas das duas frutas?
7. Os dois quadrados - As medidas em centímetros dos lados de cada um dos dois quadrados são números inteiros. Se o menor quadrado tivesse $2001 \mathrm{~cm}^{2}$ a mais de área, os dois quadrados seriam iguais. Quanto pode medir o lado do maior quadrado?

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_9ca8b777b16e5f5c5786g-2.jpg?height=394&width=377&top_left_y=974&top_left_x=1342)

8. A multiplicação - Júlio faz multiplicações usando apenas os quadrados dos números. Ele tem que calcular o produto $85 \times 135$. Para isso, ele desenha um retângulo de $85 \mathrm{~mm}$ por $135 \mathrm{~mm}$ e traça nesse retângulo o maior quadrado possível; faz o mesmo no quadrado restante e assim sucessivamente. Dessa maneira ele obtém oito quadrados. Desenhe a figura feita por Júlio e escreva $85 \times 135$ como a soma de oito quadrados: $85 \times 135=85^{2}+\ldots$

## Soluções da Lista 1

1. Potências de 10 - Temos:

$$
\begin{aligned}
\frac{0,00001 \times(0,01)^{2} \times 1000}{0,001} & =\frac{10^{-5} \times\left(10^{-2}\right)^{2} \times 10^{3}}{10^{-3}}=\frac{10^{-5} \times 10^{-4} \times 10^{3}}{10^{-3}}= \\
& =\frac{10^{-5+(-4)+3}}{10^{-3}}=\frac{10^{-6}}{10^{-3}}=10^{-6-(-3)}=10^{-3}
\end{aligned}
$$

A opção correta é (c).

2. Diferença de quadrados - Como $(x+y)^{2}=x^{2}+2 x y+y^{2}$ e $(x-y)^{2}=$ $x^{2}-2 x y+y^{2}$, temos:

$$
(x+y)^{2}-(x-y)^{2}=x^{2}+2 x y+y^{2}-x^{2}+2 x y-y^{2}=4 x y=20
$$

segue-se que $x y=5$. A opção correta é (d).

3. Um quadrilátero - Para que $A B C D$ seja um paralelogramo, seus lados devem ser dois a dois paralelos, isto é: $A B / / C D$ e $A D / / B C$.

Como

$$
\widehat{D A B}+\widehat{A B C}=180^{\circ}
$$

então as retas $A D$ e $B C$ são paralelas. Além disso, temos dois ângulos alternos internos de $45^{\circ}$ entre as retas $A B$ e $D C$, segue-se que elas são paralelas. Logo $A B C D$ é um paralelogramo.

4. Sexta-feira 13 - Dado que os dias da semana se repetem a cada 7 dias, então a diferença entre os dias da semana é dada pelo resto ao dividir por 7 o número de dias transcorridos.

$\mathrm{Na}$ tabela seguinte temos:

- na primeira linha o número de dias entre o dia 13 de um mês e o dia 13 do mês seguinte;
- na segunda linha o resto quando dividimos esse numero por 7;
- na terceira linha o resto quando dividimos por 7 o número de dias entre o 13 de janeiro e o 13 do mês correspondente, ou seja, é obtida somando os resultados obtidos na linha anterior desde janeiro até o mês correspondente e depois calculando o resto ao dividir por 7 .

| J-F | F-M | M-A | A-M | M-J | J-J | J-A | A-S | S-O | O-N | N-D |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 31 | 28 | 31 | 30 | 31 | 30 | 31 | 31 | 30 | 31 | 30 |
| 3 | 0 | 3 | 2 | 3 | 2 | 3 | 3 | 2 | 3 | 2 |
| 3 | 3 | 6 | 1 | 4 | 6 | 2 | 5 | 0 | 3 | 5 |

Os valores iguais na última linha, significam que nestes meses o dia 13 caiu no mesmo dia da semana. Em particular esta última linha nos diz que 13 de fevereiro, 13 de março e 13 de novembro correspondem ao mesmo dia da semana. Logo, temos no máximo três sexta-feiras treze.

Nesse caso temos que 13 de janeiro ocorreu 3 dias antes de sexta-feira, isto é terça-feira e o dia 10 de janeiro aconteceu 3 dias antes, isto é, no sábado.

Observação: Note que a $6^{a}$-feira 13 ocorre apenas quando o $1^{o}$ dia do mês é um domingo. Assim, uma outra maneira, talvez mais simples, de resolver o problema é determinar o número máximo de vezes em que o $1^{\circ}$ dia do mês é um domingo num ano não bissexto.

5. Triângulos com lados inteiros - Para que três números $a, b, c$ sejam os comprimentos dos lados do triângulo, cada um deles deve ser maior que a diferença e menor que a soma dos outros dois.

Sejam $a \leq b \leq c$ os comprimentos dos lados do triângulo. Assim, $c<a+b$.

Agora, somando $c$ a ambos os membros temos que: $2 c<a+b+c=12$, ou seja, $2 c<12$, $\log c<6$.

Além disso, como $3 c \geq a+b+c=12$ temos que: $c \geq 4$. Logo, $4 \leq c<6$.

No caso de $c=5$, temos que $a+b=7$. Os possíveis valores de $a$ e $b$ são: $a=2$ e $b=5$ ou $a=3$ e $b=4$

No caso de $c=4$, temos que $a+b=8$, e portanto temos somente a solução $a=b=4$.

assim temos 3 possíveis triângulos. A opção correta é (b).

6. Festa de aniversário - Denotemos por $m$ o número de maças e $p$ o número de peras que Ana comprou, assim o peso que ela leva na sacola é $300 m+200 p$ gramas. Como a sacola aguenta no máximo 7000 gramas, temos que

$$
300 m+200 p \leq 7000, \text { que é equivalente a } 3 m+2 p \leq 70
$$

Como as peras pesam menos, Ana tem que levar a máxima quantidade de peras, e portanto, a mínima quantidade de maçãs. Assim, se ela levar 1 maçã, temos:

$$
2 p \leq 70-3=67 \Longrightarrow p \leq 33,5
$$

Logo, levando 1 maçã, ela pode levar 33 peras. Então, o numero máximo de frutas é 34 .

Na tabela abaixo vemos que Ana pode também levar 2 maçãs e 32 peras.

| $p$ | $m$ | $300 m+200 p$ | $p+m$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 34 | 0 | 6800 | 34 |
| 33 | 1 | 6900 | 34 |
| 32 | 2 | 7000 | 34 |
| 31 | 2 | 6800 | 33 |

7. Os dois quadrados - Se $a$ é a medida do lado do quadrado maior e $b$ a medida do lado do quadrado menor, então pelo enunciado temos

$$
a^{2}=b^{2}+2001
$$

Log:

$$
2001=a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)
$$

Como $a$ e $b$ são números inteiros, temos que $a+b$ e $a-b$ são divisores de 2001 . Mas, $2001=3 \times 23 \times 29$, segue que

$$
(a+b)(a-b)=2001 \times 1=667 \times 3=87 \times 23=69 \times 29
$$

Consequentemente, temos 4 possíveis formas de fatorar 2001 em dois fatores:

- se $a+b=2001$ e $a-b=1 \Longrightarrow a=\frac{(a+b)+(a-b)}{2}=1001$;
- se $a+b=667$ e $a-b=3 \Longrightarrow a=\frac{667+3}{2}=335$;
- se $a+b=87$ e $a-b=23 \Longrightarrow a=\frac{87+23}{2}=55$;
- se $a+b=69$ e $a-b=29 \Longrightarrow a=\frac{69+29}{2}=49$.

Assim as possibilidades para o lado maior são: $1001,335,55$ e 49.

8. A multiplicação - O maior quadrado no retângulo de $85 \times 135$ é aquele de $85 \times 85$. Sobra então um retângulo de $50 \times 85$, onde o maior quadrado é de $50 \times 50$. Continuando assim, obtemos:

$$
85 \times 135=85^{2}+50^{2}+35^{2}+15^{2}+15^{2}+5^{2}+5^{2}+5^{2}
$$

|  |  |  | $5^{2} 5^{2} 5^{2}$ |  |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
|  | $35^{2}$ | $15^{2}$ |  |  |
|  |  |  | $15^{2}$ |  |
|  |  |  |  |  |
|  |  |  |  |  |
|  |  | $50^{2}$ |  |  |
|  |  |  |  |  |
|  |  |  |  |  |