# Nível 3 

## Lista 1

1. Equação cúbica - Sobre a equação $2007 x^{3}+2006 x^{2}+2005 x=0$ é certo afirmar:
(a) Não possui raízes
(b) Tem 3 raízes reais distintas
(c) Tem 2 raízes iguais
(d) Tem apenas uma raiz real
(e) Tem 3 raízes positivas
2. O perfume de Rosa - Rosa ganhou um vidro de perfume no formato de um cilindro de $7 \mathrm{~cm}$ de raio da base e $10 \mathrm{~cm}$ de altura. Depois de duas semanas usando o perfume restou $0,45 l$ no vidro. Qual a fração que representa o volume que Rosa já usou?
3. Igualdade com inteiros - Quais números naturais $m$ e $n$ satisfazem a $2^{n}+1=m^{2}$ ?
4. O caminho da pulga - Para percorrer um caminho reto de 10 metros de comprimento, uma pulga usa a seguinte estratégia: a cada dia ela percorre a metade do caminho que faltava no dia anterior. Portanto, no primeiro dia ela percorre 5 metros, no segundo 2,5 metros e assim por diante (o tamanho da pulga é desprezível).

(a) Quantos metros ela terá percorrido ao final do sétimo dia? E do décimo?

(b) A partir de qual dia a pulga estará a menos de $0,001 \mathrm{~m}$ do final do caminho?

5. Uma soma alternada - Se $S_{n}=1-2+3-4+5-6+\ldots+(-1)^{n+1} n$, onde $n$ é um inteiro positivo, então $S_{1992}+S_{1993}$ é:
(a) -2
(b) -1
(c) 0
(d) 1
(e) 2
6. O raio da circunferência - Um arco de circunferência mede $300^{\circ}$ e o seu comprimento é $2 \mathrm{~km}$. Qual o número inteiro mais próximo da medida do raio em metros?
(a) 157
(b) 284
(c) 382
(d) 628
(e) 764
7. Quatro passageiros - Em um táxi podem se sentar um passageiro na frente e três atrás. De quantas maneiras podem se sentar os quatro passageiros se um deles quer ficar na janela?
8. Os cinco círculos - Cinco discos de mesmo raio estão dispostos como mostra a figura. Quatro centros são os vértices de um quadrado e três estão alinhados. Trace uma reta que divida a figura formada pelos 5 discos em duas partes de mesma área.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8c8106cb3e7af661a7e3g-2.jpg?height=474&width=691&top_left_y=1673&top_left_x=1048)

## Soluções da Lista 1

1. Equação cúbica - Observemos que $x=0$ é uma solução, logo as possibilidades (a) e (e) ficam descartadas. Agora só precisamos estudar as soluções de $2007 x^{2}+2006 x+2005=0$, que é uma equação do $2^{o}$ grau com discriminante

$$
\begin{aligned}
\Delta & =2006^{2}-4 \times 2007 \times 2005=2006^{2}-4(2006+1)(2006-1) \\
& =2006^{2}-4\left(2006^{2}-1\right)=-3 \times 2006^{2}+4<0
\end{aligned}
$$

logo não possui raízes reais. Portanto, a equação inicial tem uma única raiz real, e a opção correta é (d).

Observação: Uma outra maneira (e mais simples) de mostrar que $\Delta<0$ é: como $2006<2007$ e $2006<4 \times 2005$, então

$$
2006 \times 2006<4 \times 2005 \times 2007 \Longrightarrow 2006^{2}-4 \times 2005 \times 2007<0
$$

2. O perfume de Rosa - O volume de um cilindro é o produto da área da base pela altura. Como o raio da base é $7 \mathrm{~cm}$, a área da base é: $\pi \times 7^{2}$, e então o volume do vidro é

$$
\pi \times 7^{2} \times 10 \mathrm{~cm}^{3}=490 \pi \mathrm{cm}^{3}=\frac{490 \pi}{1000} \mathrm{dm}^{3}=0,49 \pi \text { litros }
$$

lembrando que $1000 \mathrm{~cm}^{3}=1 \mathrm{dm}^{3}=1$ litro.

Depois de duas semanas, restaram 0,45 litros de perfume, então ela gastou $(0,49 \pi-0,45)$ litros. Portanto, a fração que representa o volume gasto é:

$$
\frac{\text { volume gasto }}{\text { volume total }}=\frac{0,49 \pi-0,45}{0,49 \pi}=\frac{49 \pi-45}{49 \pi}
$$

## 3. Igualdade com inteiros - Como

$$
2^{n}=m^{2}-1=(m+1)(m-1)
$$

temos que $m-1$ e $m+1$ são potências de 2 cuja diferença é 2 . Logo, a única solução possível é $m-1=2$ e $m+1=2^{2}$, donde $m=3$. Segue que $2^{n}+1=3^{2}$, e obtemos $n=3$.

4. O caminho da pulga - No $1^{\varrho}$ pulo a pulga percorre $10 \times \frac{1}{2}$, no $2^{\underline{o}}, 10 \times \frac{1}{2^{2}}$, e assim por diante.

Os pulos da pulga

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8c8106cb3e7af661a7e3g-4.jpg?height=257&width=719&top_left_y=1028&top_left_x=680)

Depois de 7 dias a pulga terá percorrido

$$
\begin{aligned}
& 10\left(\frac{1}{2}\right)+10\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+10\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+10\left(\frac{1}{2}\right)^{4}+10\left(\frac{1}{2}\right)^{5}+10\left(\frac{1}{2}\right)^{6}+10\left(\frac{1}{2}\right)^{7}= \\
& 10\left[\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+\left(\frac{1}{2}\right)^{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{5}+\left(\frac{1}{2}\right)^{6}+\left(\frac{1}{2}\right)^{7}\right]= \\
& 10 \times \frac{2^{6}+2^{5}+2^{4}+2^{3}+2^{2}+2+1}{2^{7}}=10 \times \frac{127}{128} \approx 9,9
\end{aligned}
$$

Logo em 7 dias ela percorreu, aproximadamente $9,9 \mathrm{~m}$. Em geral, depois de $n$ dias a pulga terá percorrido

$$
10\left(\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}\right)
$$

Para calcular a soma acima, note que $\left(\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}\right)$ é a soma dos $n$ termos de uma progressão geométrica cujo primeiro termo é $a_{1}=1 / 2$ e a razão é $q=1 / 2$. A fórmula para essa soma é:

$$
S_{n}=\frac{a_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}=\frac{1 / 2\left(1-1 / 2^{n}\right)}{1-1 / 2}=1-\frac{1}{2^{n}}
$$

Logo, $10\left(\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}\right)=10\left(1-\frac{1}{2^{n}}\right)$.

Portanto, ao final do décimo dia a pulga terá percorrido $10\left(1-\frac{1}{2^{10}}\right) m$.

A pulga estará a menos de $0,001 \mathrm{~m}$ do final do caminho, quando ela já tiver percorrido pelo menos $10-0,001=9,999$, ou seja quando

$$
10\left(1-\frac{1}{2^{n}}\right) \geq 9,999
$$

Vamos determinar o menor valor de $n$ que satisfaz a desigualdade acima.

$$
\begin{aligned}
& 10\left(1-\frac{1}{2^{n}}\right) \geq 9,999 \quad \Longrightarrow 10-\frac{10}{2^{n}} \geq 9,999 \quad \Longrightarrow \quad 10-9,999 \geq \frac{10}{2^{n}} \\
& \Longrightarrow 0,001 \geq \frac{10}{2^{n}} \quad \Longrightarrow 2^{n} \geq \frac{10}{0,001} \quad \Longrightarrow 2^{n} \geq 10000
\end{aligned}
$$

Agora,

$$
2^{10}=2^{5} \times 2^{5}=32 \times 32=1024
$$

segue que

$$
2^{13}=2^{10} \times 2^{3}=1024 \times 8=8192
$$

Logo, devemos ter $n=14$.

## 5. Uma soma alternada -

Solução 1: Lembre que

$(-1)^{n+1}= \begin{cases}1 & \text { se } n \text { é ímpar } \\ -1 & \text { se } n \text { é par }\end{cases}$

Observemos que associando duas a duas parcelas consecutivas,

$$
(1-2)+(3-4)+(5-6)+\cdots
$$

obtemos uma soma de $n$ parcelas todas iguais a -1 . Logo,
$S_{1992}=\underbrace{(1-2)+(3-4)+(5-6)+\cdots+(1991-1992)}_{1992 \div 2=996 \text { parcelas }}=(-1) \times 996=-996$.

$S_{1993}=(1-2)+(3-4)+(5-6)+\cdots+(1991-1992)+1993=-996+1993=997$.

Assim, $S_{1992}+S_{1193}=-996+997=1$. A opção correta é (d).

Solução 2: Note que

$$
S_{2 n}=\underbrace{(1-2)+(3-4)+(5-6)+\cdots+[2 n-(2 n+1)]}_{n \text { parcelas iguais a }-1}
$$

Obtemos que $S_{2 n}=-n$ e $S_{2 n+1}=S_{2 n}+(2 n+1)=-n+2 n+1=n+1$. Logo, $S_{2 n}+S_{2 n+1}=1$.

## 6. O raio da circunferência -

Solução 1: Se o raio é $r$ então o comprimento de um arco de $\theta$ graus é $2 \pi \frac{\theta}{360} r$. Assim, no problema dado, temos que

$$
2 \pi \frac{300}{360} r=2000 m \Longrightarrow r=2000 \times \frac{3}{5 \pi} \simeq 382,17 m
$$

Logo, a opção correta é (c).

Solução 2: Como a circunferência tem $360^{\circ}$, um arco de $300^{\circ}$ representa $\frac{5}{6}$ da circunferência, logo, seu comprimento é $\frac{5}{6}$ do comprimento da circunferência, isto é:

$$
\frac{5}{6} \times 2 \pi r=2000 m \Longrightarrow r=\frac{2000 \times 6}{10 \pi}=\frac{1200}{\pi} \approx 382,17 \mathrm{~m}
$$

7. Quatro passageiros - O passageiro que quer ficar na janela tem 3 possíveis lugares para se sentar, o seguinte pode-se sentar em qualquer lugar livre, logo tem 3 possíveis lugares, o seguinte dois possíveis lugares, e o último não tem escolha. Concluímos que o número de formas de se sentar é $3 \times 3 \times 2=18$.
8. Os cinco círculos - Observemos que qualquer linha que passe por $O$, o centro do quadrado $A B C D$, divide a área formada pelos círculos $\mathcal{C}_{1}, \mathcal{C}_{2}, \mathcal{C}_{3} \mathrm{e}$ $\mathcal{C}_{4}$ na metade. Por outro lado, qualquer linha reta que passe por $F$ divide a área do circulo $\mathcal{C}_{5}$ na metade. Assim, a reta procurada é a reta $F O$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8c8106cb3e7af661a7e3g-7.jpg?height=523&width=785&top_left_y=1126&top_left_x=744)