# Lista 2 

1. Adição de números - Qual é o algarismo $a \mathrm{em}$

$$
a 000+a 998+a 999=22997 ?
$$

2. Cubo perfeito e divisibilidade - Quais os cubos perfeitos que dividem $9^{4}$ ?
3. Localizando pontos - Qual é o ponto indicado no diagrama?

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_cc51a5be9c4a524107d6g-1.jpg?height=117&width=917&top_left_y=1221&top_left_x=701)

4. Calculando porcentagem - Num teste com 84 questões se você acerta 58/84 das questões, então qual é o seu percentual de acertos?
5. Comparando algarismos - Um número se chama ascendente se cada um de seus algarismos é maior do que o algarismo que está à sua esquerda. Por exemplo, 2568 é ascendente e 175 não. Quantos números ascendentes existem entre 400 e 600 ?
6. Muro colorido - O muro da figura é construído com 14 tijolos nas cores amarelo, azul e vermelho e tal que dois tijolos que se tocam são de cores diferentes. Os preços dos tijolos são dados na tabela. Qual o menor preço que se gastará na compra dos tijolos para construir esse muro?

| tijolo | $R \$$ |
| :--- | :---: |
| amarelo | 6 |
| azul | 7 |
| vermelho | 8 |

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_cc51a5be9c4a524107d6g-2.jpg?height=229&width=499&top_left_y=431&top_left_x=984)

7. Divisores e fatoração - Decompor 96 em dois fatores cuja soma dos quadrados seja 208.
8. Brincando com áreas - Luís desenhou um retângulo de $6 \mathrm{~cm}$ por $10 \mathrm{~cm}$ e quer dividi-lo em quatro partes. Cada parte deve ter de área, respectivamente, $8 \mathrm{~cm}^{2}, 12 \mathrm{~cm}^{2}, 16 \mathrm{~cm}^{2}, 24 \mathrm{~cm}^{2}$. Desenhe como ele pode fazer essa divisão.

## Soluções da Lista 2

1. Adição de números - Efetuando a adição

$$
\begin{array}{r}
a \\
a \\
a 998 \\
+\quad a 999 \\
\hline \square 997
\end{array}
$$

encontramos $\square 997=22997$, onde $\square=a+a+a+1$.

Logo, $22=a+a+a+1$. Assim, $a=7$.

2. Cubo perfeito e divisibilidade - Um cubo perfeito é um número da forma $a^{3}$, onde $a$ é um natural. Como $9^{4}=\left(3^{2}\right)^{4}=3^{8}$, os cubos perfeitos que dividem $3^{8}$ são: $3^{3}$ e $\left(3^{2}\right)^{3}=3^{6}$.
3. Localizando pontos - O ponto indicado está 4 marcas à direita de 19. Entre 18 e 19 e entre 19 e 20 são feitas subdivisões em 10 partes iguais, logo cada marca equivale a 0,1 nessa escala. Assim, o ponto indicado é 19,4 .

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_cc51a5be9c4a524107d6g-3.jpg?height=120&width=917&top_left_y=1890&top_left_x=701)

4. Calculando porcentagem - Temos 58 acertos em 84 questões, logo a razão de acertos é $\frac{58}{84}$. Dividindo 58 por 84 encontramos 0,69047 com aproximação. Logo, o percentual é aproximadamente $69,047 \%$.
5. Comparando algarismos - Os números que estamos procurando são maiores do que 400 e menores do que 600, logo o algarismo das centenas é 4 ou 5 . Como são números ascendentes, o algarismo das dezenas tem que ser menor do que o algarismo das unidades. Vejamos como escolher os algarismos das dezenas e das centenas.

$$
4\left\{\begin{array}{l}
56 \\
57 \\
58 \\
59
\end{array} \quad ; \quad 4\left\{\begin{array}{l}
67 \\
68 \\
69
\end{array} \quad ; \quad 4\left\{\begin{array}{l}
78 \\
79
\end{array} \quad ; 4\{89\right.\right.\right.
$$

$$
5\left\{\begin{array}{l}
67 \\
68 \\
69
\end{array} \quad ; \quad 5\left\{\begin{array}{l}
78 \\
79
\end{array} \quad ; \quad 5\{89\right.\right.
$$

Logo, temos 10 números ascendentes com 4 como algarismo das centenas e 6 números ascendentes com 5 como algarismo das centenas; no total temos 16 números ascendentes.

6. Muro colorido - Observamos que no momento que fixamos a cor de dois tijolos vizinhos, então a cor de todos os tijolos fica fixa. Assim, os tijolos

| $\bar{E}$ |  | $\bar{A}$ |  | $\bar{C}$ |  |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $A$ | $\dot{C}$ | 1 | $B$ |  | $\bar{A}$ |
| $\vec{B}$ |  | $A$ |  | $\bar{C}$ |  |
| $A$ | $C$ |  | $B$ |  | $A$ |

marcados por $A, B$ ou $C$ na figura têm que ter a mesma cor.

Como a maior quantidade de tijolos está marcada $\operatorname{com} A, 6$ no total, então tais tijolos são amarelos. Por outro lado, temos a mesma quantidade de tijolos
$B$ e $C, 4$ de cada tipo, logo temos que pintar 4 tijolos de azul e 4 de vermelho. Assim, o menor preço na compra dos tijolos é

$$
6 \times 6+4 \times 7+4 \times 8=96 \text { reais. }
$$

7. Divisores e fatoração - Como o produto dos dois números é 96, eles são divisores de 96. Decompondo 96 em fatores primos, encontramos $96=2^{5} \times 3$, logo seus divisores são:

$$
1,2,3,4,6,8,12,16,24,32,48,96
$$

Os divisores 96, 48, 32, 24 e 16 não servem pois seus quadrados já são maiores do que 208. Sobram

$$
1,2,3,4,6,8,12
$$

cujos quadrados são:

$$
1,4,9,16,36,64,144
$$

Agora vemos que a única possibilidade é $64+144=208$. Como $8 \times 12=96$, os números são 8 e 12.

8. Brincando com áreas - Faremos a divisão com retângulos. Observamos que $24=6 \times 4$ e $12=6 \times 2$, logo ele pode fazer um primeiro corte a $4 \mathrm{~cm}$ no lado de $10 \mathrm{~cm}$ e outro corte a $2 \mathrm{~cm}$ do corte anterior. Depois de tais cortes, ficamos uma cartolina de tamanho $6 \times 4$. Por último, como $16=4 \times 4$, basta fazer um último corte a $4 \mathrm{~cm}$ no lado de $6 \mathrm{~cm}$. Os cortes estão ilustrados na seguinte figura.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_cc51a5be9c4a524107d6g-5.jpg?height=357&width=560&top_left_y=2180&top_left_x=859)