# Lista 2 

1. O triângulo e o quadrado - Na figura $A B C D$ é um quadrado cujo lado mede $1 \mathrm{~cm}, E$ é o ponto médio da diagonal $B D$ e $F$ o ponto médio do segmento $B E$. Qual é a área do triângulo $\triangle B C F$ ?

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_df4451ddcede6035446dg-1.jpg?height=323&width=328&top_left_y=535&top_left_x=1315)

2. Uma refeição - Um sanduíche e um prato de refeição custam em média $R \$ 5,00$ e $R \$ 7,00$, respectivamente. De quantas maneiras pode-se comprar sanduíches e pratos de refei ção com $R \$ 90,00$, sem deixar troco?
3. Plano Cartesiano - O ponto $P=(a, b)$ está marcado na figura ao lado. Marque os pontos:

(a) $A=(a / 2, b+1)$

(b) $B=(a-1, b / 2)$

(c) $C=(-a,-b)$

(d) $D=(1-a, b-1)$

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_df4451ddcede6035446dg-1.jpg?height=577&width=603&top_left_y=1368&top_left_x=1115)

4. Soma dos terminados em 9 - A soma $S_{n}=9+19+29+39+\cdots+a_{n}$ denota a soma dos primeiros $n$ números naturais terminados em 9. Qual é o menor valor de $n$ para que $S_{n}$ seja maior do que $10^{5}$ ?
5. Três cilindros - Três cilindros têm alturas e raios das bases iguais a $10 \mathrm{~cm}$ $\times 10 \mathrm{~cm}, 10 \mathrm{~cm} \times 5 \mathrm{~cm}$ e $20 \mathrm{~cm} \times 5 \mathrm{~cm}$, e volumes $V_{1}, V_{2}$ e $V_{3}$, respectivamente.
![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_df4451ddcede6035446dg-2.jpg?height=538&width=644&top_left_y=390&top_left_x=817)

(a) Escreva em ordem crescente os volumes $V_{1}, V_{2}$ e $V_{3}$ dos três cilindros.

(b) Dê as dimensões de um cilindro $V_{4}$ cujo volume esteja entre $V_{2}$ e $V_{3}$.

(c) Dê as dimensões de um cilindro $V_{5}$ cujo volume esteja entre $V_{1}$ e $V_{3}$.

6. Percentagem de mortalidade - Se $15 \%$ dos membros de uma população afetados por uma doença $8 \%$ morreram, a percentagem da mortalidade em relação à população inteira é:
(a) $1,2 \%$
(b) $1,8 \%$
(c) $8 \%$
(d) $12 \%$
(e) $23 \%$
7. Agenda de aulas - Eliane quer escolher o seu horário para a natação. Ela quer ir a duas aulas por semana, uma de manhã e a outra de tarde, não sendo no mesmo dia nem em dias seguidos. De manhã, há aulas de natação de segunda-feira a sábado, às $9 h$, às $10 h$ e às $11 h$ e de tarde, de segunda-feira a sexta-feira, às $17 h$ e às $18 h$. De quantas maneiras distintas pode Eliane escolher o seu horário?
8. Jogo de cartas - Um grupo de amigos disputa um jogo que consiste em mover sucessivamente a carta superior de uma pilha e colocá-la sobre uma
outra pilha, até obter 4 novas pilhas que são da forma: na Pilha 1 só tem Áses, na Pilha 2 só tem Valetes, na Pilha 3 só tem Damas e na Pilha 4 só tem Reis. Ganha o jogo quem fizer o menor número de movimentos. Qual é o número de movimentos que será sempre o vencedor?

| Pilha 1 | Pilha 2 | Pilha 3 | Pilha 4 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| Rei de $\odot$ | Dama de $\odot$ | Rei de $\square$ | Valete de |
| Dama de $\square$ | Ás de $\square$ | Valete de $\odot$ | Rei de |
| Valete de $\square$ | Ás de $\odot$ | Dama de | Ás de |
| Ás de | Valete de | Dama de |  |

## Soluções da Lista 2

1. O triângulo e o quadrado - As diagonais do quadrado $A B C D$ dividem o quadrado em 4 triângulos iguais, logo a área do triângulo $\triangle B C E$ é

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_df4451ddcede6035446dg-4.jpg?height=317&width=328&top_left_y=544&top_left_x=1412)

$$
1 \div 4=0,25 \mathrm{~cm}^{2}
$$

Como o comprimento de $B F$ é a metade de $B E$ e a altura relativa aos lados $B F$ e $B E$ é $C E$, então a área do triângulo $\triangle C B F$ é a metade da área do triângulo $\triangle C B E$. Assim, a área de dito triângulo é $0,25 \div 2=0,125 \mathrm{~cm}^{2}$.

2. Uma refeição - Se $S$ corresponde ao n úmero de sanduíches e $P$ o número de pratos de refeição, então $5 S+7 P=90$. Precisamos encontrar soluções inteiras $P$ e $Q$ para essa equação. Temos:

$$
5 S+7 P=90 \Longrightarrow P=\frac{90-5 S}{7}=5 \times \frac{18-S}{7}
$$

Como $P$ é um número natural temos que 7 tem que dividir $18-S$, assim $S=4$, 11 ou 18 , e em cada um destes casos $P$ é igual a 10, 5 e 0 , respectivamente. Portanto, temos somente três formas de fazer a compra.

3. Plano Cartesiano - As coordenadas do ponto $P$ satisfazem:

$$
0<a<1
$$

e

$$
1<b<2
$$

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Lembremos três propriedades de desigualdades:
(i) Uma desigualdade não se altera se somarmos (ou subtrairmos) um mesmo número a ambos os seus membros: $x<y \Longrightarrow x+z<y+z$.

(ii) Uma desigualdade não se altera se multiplicarmos por um número positivo ambos os seus membros: $x<y \Longrightarrow x z<y z, \quad z>0$.

(iii) Uma desigualdade inverte o seu sentido se multiplicarmos por um número negativo ambos os seus membros: $x<y \Longrightarrow x z>y z, \quad z<0$.

Assim temos:

(a) $0<a / 2<1 / 2$ e $1+1<b+1<2+1$;

(b) $-1<a-1<0$ e $1 / 2<b / 2<1$;

(c) $-1<-a<0$ e $-2<-b<-1$;

(d) $0<1-a<1$ e $0<b-1<1$.

A figura mostra os pontos no Plano Cartesiano.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_df4451ddcede6035446dg-5.jpg?height=580&width=620&top_left_y=1600&top_left_x=775)

4. Soma dos terminados em 9 - Note que $S_{n}$ é a soma dos $n$ primeiros termos de uma progressão aritmética cujo primeiro termo é $a_{1}=9$ e a razão
é $r=10$. Substituindo esses dados na fórmula $a_{n}=a_{1}+(n-1) r$ obtemos $a_{n}=9+10(n-1)$. Por outro lado, note que:

$$
\begin{aligned}
& 9=9+0 \cdot 10 \\
& 19=9+1 \cdot 10 \\
& 29=9+2 \cdot 10 \\
& 39=9+3 \cdot 10 \\
& \ldots \\
& a_{n}=9+(n-1) \cdot 10
\end{aligned}
$$

Então temos:

$$
\begin{aligned}
S_{n} & =9+19+29+\cdots+a_{n} \\
& =(9+0)+(9+10)+(9+2 \cdot 10)+\cdots+[9+(n-1) \cdot 10] \\
& =9 n+[1 \cdot 10+2 \cdot 10+3 \cdot 10+\cdots+(n-1) \cdot 10] \\
& =9 n+[1+2+3+\cdots+(n-1)] \cdot 10 \\
& =9 n+\frac{n(n-1)}{2} \cdot 10 \\
& =9 n+5 \cdot n(n-1) \\
& =5 n^{2}+4 n
\end{aligned}
$$

Como queremos que $S_{n} \geq 10^{5}$ então precisamos encontrar o menor valor inteiro positivo $n$ tal que $5 n^{2}+4 n \geq 10^{5}$, ou equivalentemente, $5 n^{2}+4 n-10^{5} \geq 0$. Resolvendo a equação $5 x^{2}+4 x-10^{5}=0$ temos que

$$
x=\frac{-4 \pm \sqrt{16+20 \cdot 10^{5}}}{10}
$$

A raiz positiva é $x_{1}=\frac{-4+\sqrt{16+20 \cdot 10^{5}}}{10} \simeq 141,02$.

Mas, $5 x^{2}+4 x-10^{5}$ é positiva fora das raízes. Como estamos procurando o menor número positivo e inteiro tal que $5 x^{2}+4 x-10^{5} \geq 0$, então $n=142$.

## 5. Três cilindros -

(a) Dado que o volume de um cilindro de raio $R$ e altura $h$ é $\pi R^{2} h$ temos que os volumes $V_{1}, V_{2}$ e $V_{3}$ são:

$V_{1}=\pi \times 10^{3}=1000 \pi, V_{2}=\pi \times 5^{2} \times 10=250 \pi, \quad V_{3}=\pi \times 5^{2} \times 20=500 \pi$

Assim, temos então que $V_{1}>V_{3}>V_{2}$.

(b) Como os dois cilindros têm o mesmo raio, basta manter o raio do cilindro com $5 \mathrm{~cm}$ e a altura entre $10 \mathrm{~cm}$ e $20 \mathrm{~cm}$, por exemplo: $h=15 \mathrm{~cm}$. Neste caso, o volume $V_{4}$ é: $\pi \times 5^{2} \times 15=375 \pi \mathrm{cm}^{3}$.

(c) Para construir um cilindro de volume $V_{5}$ entre $V_{1}$ e $V_{3}$, podemos diminuir o raio do cilindro de volume $V_{5}$ para $8 \mathrm{~cm}$ e tomar como altura $10 \mathrm{~cm}$, a menor das duas alturas, obtendo um cilindro de volume $\pi \times 8^{2} \times 10=640 \pi \mathrm{cm}^{3}$.

6. Percentagem de mortalidade - A proporção de população que fica doente pela enfermidade é $\frac{15}{100}$ e dos que ficam doentes, a proporção que morre é $\frac{8}{100}$. Logo, a proporção de população que morre pela doença é $\frac{15}{100} \times \frac{8}{100}$, que corresponde a

$$
\frac{15 \times 8}{100^{2}}=\frac{120}{10000}=\frac{12}{1000}=\frac{1,2}{100}=1,2 \%
$$

A opção correta é (a).

7. Agenda de aulas - Se a aula da manhã é segunda ou sexta (em qualquer dos três horários), então o dia da aula de tarde pode ser escolhida de 3 formas diferentes (em qualquer dos dois horários), assim temos $2 \times 3 \times 3 \times 2=36$ formas diferentes de escolher o horário. No caso em que a aula de manhã seja sábado então o dia da aula da tarde pode ser qualquer dia de segunda a quinta, assim temos $3 \times 4 \times 2=24$ possíveis formas. Por último, se a aula da manhã
é terça, quarta ou quinta, então a aula da tarde só pode ser escolhida de duas formas, assim temos $3 \times 3 \times 2 \times 2=36$ formas. Logo a Eliana pode escolher seu horário de $36+24+36=96$ formas distintas.
8. Jogo de Cartas - A estratégia abaixo permite realizar o jogo com 17 movimentos.

O primeiro número indica a pilha sobre a qual a carta é tomada e o segundo a pilha onde a carta é colocada, por exemplo: Movimento $1=$ pegar a carta superior na Pilha 4 e colocar na Pilha 2.

| $(1) 4$ sobre 2 | $(2) 4$ sobre 3 | $(3) 4$ sobre 2 | $(4) 3$ sobre 4 | $(5) 3$ sobre 4 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $(6) 1$ sobre 4 | $(7) 3$ sobre 4 | $(8) 1$ sobre 3 | $(9) 1$ sobre 4 | $(10) 2$ sobre 1 |
| $(11) 2$ sobre 4 | $(12) 2$ sobre 3 | $(13) 2$ sobre 1 | $(14) 2$ sobre 1 | $(15) 4$ sobre 2 |
| $(16) 4$ sobre 2 | $(17) 4$ sobre 2 |  |  |  |

O movimento 2 poderia ser também 4 sobre 1, o movimento 4 poderia ser 1 sobre 4 , o movimento 5 poderia ser 1 sobre 4 , o movimento 6 poderia ser 3 sobre 4. Os movimentos 4, 5 e 6 poderiam ser permutados em qualquer ordem. Teríamos assim, pelo menos, seis maneiras de se realizar o jogo com 17 movimentos.

Esse jogo pode ser realizado com um número menor de movimentos?