# Lista 3 

1. Quatro números inteiros - Se quatro inteiros positivos distintos $m, n, p$ e $q$ satisfazem a equação

$$
(7-m)(7-n)(7-p)(7-q)=4
$$

então a soma $m+n+p+q$ é igual a:
(a) 10
(b) 21
(c) 24
(d) 26
(e) 28

2. As páginas do dicionário - Para numerar as páginas de um dicionário, imprimiu-se 1988 vezes o algarismo 1. Quantas páginas tem esse dicionário?
3. Soma de potências de 2 - Determine um valor de $n$ para o qual o numero $2^{8}+2^{11}+2^{n}$ seja um quadrado perfeito.
4. Reverso de um número - O reverso de um número inteiro de dois algarismos é o número que se obtém invertendo a ordem de seus algarismos. Por exemplo, 34 é o reverso de 43. Quantos números existem que somados ao seu reverso dão um quadrado perfeito?
5. Ângulos externos de um triângulo - Dados os ângulos de $150^{\circ}$ e $160^{\circ}$, indicados na figura, calcule os valores dos ângulos $x, y$ e $z$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_295f60edfddf0933da33g-1.jpg?height=540&width=665&top_left_y=1829&top_left_x=1138)

6. Uma brincadeira - É feita uma brincadeira com quatro números inteiros da seguinte maneira: some três desses números, divida essa soma por 3 e o
resultado some com o quarto número. Existem quatro formas de fazer esta brincadeira, obtendo os seguintes resultados: 17, 21, 23 e 29. Qual é o maior dos quatro números?
7. Ovos e maçãs - Num armazém, uma dúzia de ovos e 10 maçãs tinham o mesmo preço. Depois de uma semana, o preço dos ovos caiu $2 \%$ e o da maçã subiu 10\%. Quanto se gastará a mais na compra de uma dúzia de ovos e 10 maças?
(a) $2 \%$
(b) $4 \%$
(c) $10 \%$
(d) $12 \%$
(e) $12,2 \%$
8. Dividir um cubo - Se dividirmos um cubo de $1 \mathrm{~m}$ de aresta em cubinhos de $1 \mathrm{~mm}$ de aresta, que altura terá uma coluna formada por todos os cubinhos, dispostos sucessivamente um em cima do outro?
(a) $1 \mathrm{~m}$
(b) $1 \mathrm{~km}$
(c) $10 \mathrm{~km}$
(d) $100 \mathrm{~km}$
(e) $1000 \mathrm{~km}$

## Soluções da Lista 3

1. Quatro números inteiros - Como $m, n, p$ e $q$ são inteiros, então $7-m$, $7-n, 7-p$ e $7-q$ também são inteiros. Agora,

$$
4=(-1) \times(-2) \times 1 \times 2
$$

é a única decomposição de 4 em um produto de números inteiros distintos. Segue que

$$
(7-m)+(7-n)+(7-p)+(7-q)=(-1)+(-2)+1+2
$$

e daí obtemos $m+n+p+q=28$. A opção correta é (e).

## 2. As páginas do dicionário - Observemos que:

- a cada 10 números imprime-se 1 vez o 1 nas unidades,
- a cada 100 números imprime-se 10 vezes o 1 nas dezenas,
- a cada 1000 números imprime-se 100 vezes o 1 nas centenas.

Assim, de 1 até 999 imprime-se o número 1:

100 vezes nas unidades +100 nas dezenas +100 nas centenas $=300$.

De 1000 até 1999, imprime-se o numero 1 outras 300 vezes entre as unidades, dezenas e centenas, e 1000 vezes na posição dos milhares, portanto entre 1 e 1999 o numero de vezes que imprime-se o 1 é: $300+300+1000=1600$.

Agora entre 2000 e 2999 imprime-se o 1 mais 300 vezes, completando $1600+$ $300=1900$.

De 3000 a 3099 temos 20 algarismos 1, de 3100 a 3119, temos 40 algarismos 1 e de 3120 a 3139 temos 22 algarismos, portanto até 3139 o numero de vezes que imprime-se o 1 é: $1900+20+40+22=1982$ vezes. Como faltam 6 algarismos 1, o número de páginas do livro é 3144.

3. Soma de potências de 2 - Observe que

$$
2^{8}+2^{11}+2^{n}=\left(2^{4}\right)^{2}+2 \times 2^{4} \times 2^{6}+\left(2^{\frac{n}{2}}\right)^{2}
$$

Logo, se $n=12$, temos

$$
2^{8}+2^{11}+2^{12}=\left(2^{4}+2^{6}\right)^{2}
$$

Logo $n=12$ é uma solução.

Solução Geral: $\operatorname{Se} 2^{8}+2^{11}+2^{n}=k^{2}$, então:

$$
\begin{aligned}
2^{8}+2^{3} \times 2^{8}+2^{n} & =k^{2} \\
9 \times 2^{8}+2^{n} & =k^{2} \\
2^{n} & =k^{2}-\left(3 \times 2^{4}\right)^{2} \\
2^{n} & =\left(k-3 \times 2^{4}\right)\left(k+3 \times 2^{4}\right)
\end{aligned}
$$

Logo, $\left(k-3 \times 2^{4}\right)$ e $\left(k+3 \times 2^{4}\right)$ são potências de 2 , ou seja:

$$
k+3 \times 2^{4}=2^{a}, k-3 \times 2^{4}=2^{b} \text { e } a+b=n
$$

Temos:

$$
2^{a}-2^{b}=\left(k+3 \times 2^{4}\right)-\left(k-3 \times 2^{4}\right)=3 \times 2^{5}=96
$$

Examinemos a lista das potências de 2:

$$
1,4,8,16,32,64,128,256, \cdots
$$

Constatamos que $128-32=96$. Logo, $a=7, b=5$ e $n=12$.

4. Reverso de um número - Denotemos por $a b \mathrm{e}$ ba o número e seu reverso. Temos que

$$
a b+b a=10 a+b+10 b+a=11(a+b)
$$

Por outro lado, $a \leq 9$ e $b \leq 9$, logo, $a+b \leq 18$. Como 11 é um número primo e $a+b \leq 18$, para que $11(a+b)$ seja um quadrado perfeito, só podemos ter $a+b=11$.

Assim, temos 8 números satisfazendo a condição do

Lembrete: números de dois algarismos onde $a$ é o algarismos das dezenas e $b$ o das unidades são da forma

$10 \times a+b$.

Ex: $47=4 \times 10+7$

problema: 29, 38, 47, 56, 65, 74, 83 e 92.

5. Ângulos externos de um triângulo - Observemos que os ângulos $y, 150^{\circ}$ e $160^{\circ}$ são ângulos externos de um triângulo, logo

$$
y+150^{\circ}+160^{\circ}=360^{\circ}
$$

Assim $y=50^{\circ}$. Pela mesma razão concluímos que $z=50^{\circ}$. Como $x, y$ e $z$ são ângulos internos de um triângulo então $x+y+z=180^{\circ}$, portanto $x=80^{\circ}$.

6. Uma brincadeira - Sejam $a, b, c$ e $d$ os números procurados. São dados os números

$$
\frac{a+b+c}{3}+d, \frac{a+b+d}{3}+c, \frac{a+c+d}{3}+b \mathrm{e} \frac{b+c+d}{3}+a
$$

mas não sabemos a ordem deles. Como

$$
\begin{aligned}
\frac{a+b+c}{3}+d+\frac{a+b+d}{3}+c+\frac{a+c+d}{3}+b+\frac{b+c+d}{3}+a & =2(a+b+c+d) \\
& =17+21+23+29
\end{aligned}
$$

Logo,

$$
2(a+b+c+d)=90 \Longrightarrow a+b+c+d=45
$$

Agora, seja $d$ o maior dentre os números $a . b, c$ e $d$. Assim,

$$
d=29-\frac{a+b+c}{3}=29-\frac{45-d}{3} \Longrightarrow d=21
$$

7. Ovos e maçãs - Podemos supor que o preço inicial de uma dúzia de ovos é $R \$ 1,00$, assim 10 maças também custa $R \$ 1,00$. Como o preço do ovo caiu $2 \%$, então o novo valor de uma dúzia de ovos é $R \$ 0,98$. O preço das maças subiu $10 \%$, logo o novo preço das 10 maças é $R \$ 1,10$. Assim antes gastava-se $R \$ 2,00$ na compra dos ovos e das maças e agora gasta-se $0,98+1,10=2,08$ reais. Logo, o aumento foi de $R \$ 0,08$, que corresponde a $\frac{0,08}{2} \times 100 \%=4 \%$. A opção correta é (b).
8. Dividir um cubo - Convertendo metros em milímetros temos: $1 \mathrm{~m}=$ $1000 \mathrm{~mm}$. Assim, o cubo ficou dividido em $1000 \times 1000=10^{6}$ cubinhos de lado $1 \mathrm{~mm}$ cada um. Colocando-se lado a lado os $10^{6}$ cubinhos, teremos uma coluna de comprimento

$$
1000 \times 1000=10^{6} \mathrm{~mm}=10^{6} \times 10^{-3} \mathrm{~m}=10^{3} \mathrm{~m}=1 \mathrm{~km}
$$