# Lista 4 1. Divisão de números decimais - Sabendo que $144 \times 177=25488$ podemos concluir que $254,88 \div 0,177$ é igual a (a) 1440 (b) 14,4 (c) 1,44 (d) 0,144 (e) 144 2. Cálculo de porcentagem - Num teste com 84 questões se você acerta 58/84 das questões, então qual é o seu percentual de acertos? 3. Almoço dos amigos - Júlio e Denise almoçaram num restaurante que oferece três tipos de prato e três tipos de vitamina, cujos preços estão na tabela ao lado. Cada um escolheu um prato e uma vitamina. Júlio gastou 6 reais a mais do que Denise. Quanto Denise gastou? | | $R \$$ | | :--- | :---: | | prato simples | 7 | | prato com carne | 11 | | prato com peixe | 14 | | vitamina de leite | 6 | | vitamina de frutas | 7 | | vitamina especial | 9 | 4. Adição de inteiros positivos - Encontre quatro números inteiros distintos e maiores do que 0 tais que somados de três em três dão $6,7,8$ e 9 . 5. O passeio do Jorge - Jorge passeia por um caminho em forma de retângulo, onde estão dispostas doze árvores com $5 \mathrm{~m}$ de distância entre duas consecutivas. Jorge brinca de tocar cada árvore durante seu passeio. ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_31838da74537f7019fc7g-1.jpg?height=280&width=460&top_left_y=2027&top_left_x=1278) Primeiro ele toca a árvore do canto, assinalada com $\mathrm{P}$ na figura, e percorre 32 metros num mesmo sentido; aí ele volta 18 metros e depois torna a andar para frente mais 22 metros. Em quantas árvores ele tocou? 6. A descoberta do algarismo - Os quadrados dos números naturais de 1 a 99 foram escritos um após o outro, formando o número 14916253649 ... Qual é o algarismo que ocupa a $100^{a}$ posição? (As posições são contadas da esquerda para a direita: a $1^{\underline{a}}$ posição é o 1 , a $2^{\underline{a}}$ é o 4 , etc.) 7. $\boldsymbol{O B M E P}$ - Cada um dos 7 discos $\mathrm{X}, \mathrm{Z}, \mathrm{O}, \mathrm{B}, \mathrm{M}, \mathrm{E}, \mathrm{P}$ tem um peso diferente, de $1 g$ a $7 g$. Nas interseções dos discos indicamos a soma dos pesos desses dois discos. Qual é a soma dos pesos dos cinco discos O, B, M, E, P ? ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_31838da74537f7019fc7g-2.jpg?height=375&width=603&top_left_y=1206&top_left_x=858) 8. Prédio misterioso - As figuras mostram as plantas do $1^{\varrho}$ e $2^{o}$ andares de um prédio que guarda segredos muito perigosos. Os 9 elevadores estão representados por letras e em cada letra podemos pegar o elevador ou continuar. Qual o caminho mais curto da entrada até a saída? ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_31838da74537f7019fc7g-2.jpg?height=382&width=1050&top_left_y=2104&top_left_x=593) ## Soluções da Lista 4 1. Divisão de números decimais - Efetuando a divisão temos: $$ \frac{254,88}{0,177}=\frac{254880}{177}=\frac{144 \times 177 \times 10}{177}=1440 $$ 2. Cálculo de porcentagem - A divisão de 58 por 84 é: $58 \div 84=0,69047 \ldots$ Multiplicando por 100 temos que o percentual de acertos é $0,69047 \times 100=$ $69,047 \%$, que é aproximadamente $69 \%$. 3. Almoço dos amigos - Os preços de um prato mais uma vitamina são: ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_31838da74537f7019fc7g-3.jpg?height=109&width=891&top_left_y=1393&top_left_x=591) Dentre esses, os que diferem de 6 são: 14 e 20 ou 17 e 23. Logo, temos duas soluções: Denise pode gastar $7+7=14$ e Júlio $14+6=11+9=20$ ou Denise gasta $11+6=17$ e Júlio $14+9=23$. ## 4. Adição de inteiros positivos - Solução 1 - Inicialmente observe que se a maior soma de três desses números é 9 , então todos os números têm que ser menores do que 7 , ou seja: $$ 1,2,3,4,5,6 $$ Por outro lado, se a menor soma é 6 , então eles têm que ser menores do que 5 , logo restam: $$ 1,2,3,4 $$ Verificamos que esses são os números: $$ 1+2+3=6,1+2+4=7,1+3+4=8,2+3+4=9 $$ Solução 2 - Somando de três em três quatro números $a, b, c$ e $d$ temos os números $a+b+c, a+b+d, a+c+d$ e $b+c+d$. Logo, $6+7+8+9=(a+b+c)+(a+b+d)+(a+c+d)+(b+c+d)=3(a+b+c+d)$. Donde, $a+b+c+d=\frac{30}{3}=10$. Portanto, os números procurados são $$ 10-6=4 \quad ; \quad 10-7=3 \quad ; \quad 10-8=2 \quad ; \quad 10-9=1 $$ 5. O passeio do Jorge - As figuras ilustram o percurso que Jorge fez: - caminhando $32 m$ no início, ele toca em 7 árvores e pára a $2 m$ da última que tocou; - voltando $18 m$, ele toca em 4 árvores e pára a $1 m$ da última que tocou; - ao retornar os $22 m$ ele toca em 5 árvores e pára a $1 m$ da última que tocou. ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_31838da74537f7019fc7g-4.jpg?height=224&width=1374&top_left_y=1712&top_left_x=454) Assim, ele tocou em $7+4+5=16$ árvores. 6. A descoberta do algarismo - Separando os números cujos quadrados têm 1,2 e 3 algarismos temos: 1 algarismo: $1,2,3$ 2 algarismos: $4,5,6,7,8,9$ 3 algarismos: $10,11,12, \ldots, 31$ Até $31^{2}$ a seqüência tem $3+12+66=81$ algarismos. $$ \underbrace{1^{2}, 2^{2}, 3^{2}}_{1 \times 3 \text { algs }}, \underbrace{4^{2}, \ldots, 9^{2}}_{2 \times 6=12 \text { algs }}, \underbrace{10^{2}, \ldots, 31^{2}}_{3 \times 22=66 \text { algs }} $$ Assim, faltam $100-81=19$ algarismos para o $100^{\varrho}$. Como $19=4 \times 4+3$, teremos mais 4 números de 4 algarismos cada um, que são $32^{2}, 33^{2}, 34^{2}$ e $35^{2}$, e mais os 3 algarismos (milhar, centena, dezena) do número: $36^{2}=1296$. $$ \underbrace{1^{2}, 2^{2}, 3^{2}}_{1 \times 3 \text { algs }}, \underbrace{4^{2}, \ldots, 9^{2}}_{2 \times 6=12 \text { algs }}, \underbrace{10^{2}, \ldots, 31^{2}}_{3 \times 22=66 \text { algs }}, \underbrace{32^{2}, 33^{2}, 34^{2}, 35^{2}}_{4 \times 4=16 \text { algs }}, 12 \underbrace{9}_{100^{2} \text { alg }} 6 $$ Logo, o número é 9 . ## 7. $O B M E P$ - Como peso de $X+$ peso de $O=13$ e peso de $Z+$ peso de $O=9$, segue que $$ \text { peso de } X=\text { peso de } Z+4 $$ Logo, as opções para os pesos de $Z$ e de $X$ são: $$ 1 \text { e } 5, \quad 2 \text { e } 6, \quad 3 \text { e } 7 $$ Por outro lado, temos: $$ \text { peso de } M+\text { peso de } P=6 \quad \text { e peso de } B+\text { peso de } E=6 $$ Logo, os pesos de $M, P, B$ e $E$ são todos menores do que 6 , ou seja: $$ 1,2,3,4,5 $$ Além disso, nenhum deles pode ter peso $3 g$. Concluímos que os pesos de $Z$ e de $X$ são 3 e 7 , o que nos dá o peso de $O$ igual a 6. Assim, temos: peso de $O+$ peso de $B+$ peso de $E+$ peso de $M+$ peso de $P=6+6+6=18$. 8. Prédio misterioso - Primeiro observamos que os elevadores $A, C, D, E$, $F$ e $H$ conduzem a quartos fechados em algum dos dois andares e, portanto, não levam à saída. Assim, desconsiderando os elevadores mencionados, nosso desenho de elevadores úteis é o seguinte ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_31838da74537f7019fc7g-6.jpg?height=392&width=1080&top_left_y=728&top_left_x=583) Assim, o caminho adequado fica evidente: primeiro pegar o elevador $B$, depois o $J$ e por último o $G$.