# Lista 4 

1. Uma expressão - A expressão $\frac{a^{-2}}{a^{5}} \times \frac{4 a}{\left(2^{-1} a\right)^{-3}}$ onde $a \neq 0$, é igual a:
(a) $\frac{a^{3}}{2}$
(b) $\frac{2}{a^{3}}$
(c) $\frac{1}{2 a^{3}}$
(d) $\frac{a^{5}}{2}$
(e) $\frac{2}{a^{5}}$
2. Uma igualdade - Os números $a$ e $b$ são inteiros positivos e satisfazem $96 a^{2}=b^{3}$. Qual é o menor valor de $a$ ?
3. O retângulo do Luís - Luís desenhou um retângulo de $6 \mathrm{~cm}$ por $10 \mathrm{~cm}$, e quer dividí-lo em quatro partes. Cada parte deve ter de área, respectivamente, $8 \mathrm{~cm}^{2}, 12 \mathrm{~cm}^{2}, 16 \mathrm{~cm}^{2}, 24 \mathrm{~cm}^{2}$. Desenhe como ele pode fazer essa divisão.
4. Somas de 3 em 3 - Encontre quatro números inteiros que somados de três em três dão $6,7,8$ e 9 .
5. Uma fábrica de blusas - Uma fábrica produz blusas a um custo de $R \$ 2,00$ por unidade além de uma parte fixa de $R \$ 500,00$. Se cada unidade produzida é comercializada a $R \$ 2,50$, a partir de quantas unidades produzidas a fábrica obtém lucro?
(a) 250
(b) 500
(c) 1000
(d) 1200
(e) 1500
6. Existência de triângulos - Qual dos seguintes triângulos não pode existir?

(a) triângulo agudo isósceles

(b) triângulo retângulo isósceles
(c) triângulo retângulo obtusângulo

(d) triângulo retângulo escaleno

(e) triângulo escaleno obtusângulo

7. Os doze pontos - Doze pontos estão marcados numa folha de papel quadriculada, conforme mostra a figura. Qual o número máximo de quadrados que podem ser formados unindo quatro desses pontos?

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8935ac0233b397f8e8f1g-2.jpg?height=320&width=326&top_left_y=768&top_left_x=1393)

8. O colar - Um colar é composto de pérolas grandes e pérolas pequenas, num total de menos do que 500 pérolas.

i - Se substituirmos $70 \%$ das pérolas grandes por pequenas, o peso do colar diminui de $60 \%$.

ii - Se substituirmos $60 \%$ das pérolas pequenas por grandes, o peso do colar aumenta de $70 \%$.

Quantas pérolas tem o colar?

## Soluções da Lista 4

1. Uma expressão - Temos:

$$
\begin{aligned}
\frac{a^{-2}}{a^{5}} \times \frac{4 a}{\left(2^{-1} a\right)^{-3}} & =a^{-2-5} \times \frac{2^{2} a}{2^{3} a^{-3}} \\
& =a^{-7} \times \frac{a^{1-(-3)}}{2} \\
& =a^{-7} \times \frac{a^{4}}{2} \\
& =\frac{a^{-7+4}}{2}=\frac{a^{-3}}{2}=\frac{1}{2 a^{3}}
\end{aligned}
$$

A opção correta é (c)

2. Uma igualdade - Fatorando 96 temos: $2^{5} \times 3 \times a^{2}=b^{3}$. Para que $2^{5} \times 3 \times a^{2}$ seja um cubo, o numero $a$ deve ser da forma: $a=2^{n} \times 3^{m}$. Assim,

$$
2^{5} \times 3 \times a^{2}=2^{5} \times 3 \times\left(2^{n} \times 3^{m}\right)^{2}=2^{5+2 n} \times 3^{1+2 m}=b^{3}
$$

Logo, $5+2 n$ e $1+2 m$ são múltiplos de 3 . Os menores valores de $n$ e $m$ são: $n=2$ e $m=1$. Portanto, $a=2^{2} \times 3=12$.

3. O retângulo do Luis - Como $24=4 \times 6$, então ele construiu o primeiro retângulo, tirando $4 \mathrm{~cm}$ do lado de $10 \mathrm{~cm}$, sobrando um quadrado de lado $6 \mathrm{~cm}$. Sendo $16=4 \times 4$, ele construiu um quadrado de lado $4 \mathrm{~cm}$ sobrando dois retângulos de áreas $(6-4) \times 4=8 \mathrm{~cm}^{2}$ e $(6-4) \times 6=12 \mathrm{~cm}^{2}$, como, por exemplo, a divisão mostrada na figura ao lado.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8935ac0233b397f8e8f1g-3.jpg?height=298&width=473&top_left_y=2121&top_left_x=1343)

6

A seguinte configuração também é uma solução para o problema.

| 4 | 2 | 4 |
| :---: | :---: | :---: |
| 24 | 12 | 16 |
|  |  | 8 |

4. Somas de 3 em 3 - Sejam $a, b, c$ e $d$ os números procurados. São dados os números

$$
a+b+c, a+b+d, a+c+d \quad \text { e } \quad b+c+d
$$

$\log o$

$6+7+8+9=(a+b+c)+(a+b+d)+(a+c+d)+(b+c+d)=3(a+b+c+d)$.

Assim,

$$
a+b+c+d=\frac{30}{3}=10
$$

Note que cada numero é igual à diferença entre a soma dos quatro números e a soma dos outros três. Por exemplo: $c=(a+b+c+d)-(a+b+d)$. Logo, os números procurados são

$$
10-6=4 \quad, \quad 10-7=3 \quad, \quad 10-8=2 \quad \text { e } \quad 10-9=1
$$

5. Uma fábrica de blusas - Denotemos por $x$ o número de unidades produzidas. Assim o custo de produção é $500+2 x$ reais. Pela venda o fabricante está recebendo $2,5 x$. Assim, ele terá lucro quando

$$
2,5 x>500+2 x
$$

isto é, $0,5 x>500$. Portanto $x>1000$. Logo, a opção correta é (c).

6. Existência de triângulos - A soma dos três ângulos internos de um triângulo é $180^{\circ}$. Logo, se um deles mede $90^{\circ}$, a soma dos outros dois é $90^{\circ}$, e por isso não podem ser maiores do que $90^{\circ}$. Portanto, não existem triângulos retângulos obtusângulos. Os seguintes exemplos de comprimentos de lados mostram que os outros casos podem ocorrer:
(a) $2,3,3 \quad$;
(b) $1,1, \sqrt{2}$;
(d) $3,4,5, \quad$;
(e) $3,4,6$.
7. Os doze pontos - No total, temos 11 possíveis quadrados como mostrado a seguir.
![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8935ac0233b397f8e8f1g-5.jpg?height=346&width=1398&top_left_y=1209&top_left_x=430)
8. $O$ colar - Sejam $n$ o número de pérolas grandes, $p$ o número de pérolas pequenas, $a$ o peso de uma pérola grande e $b$ o de uma pérola pequena. Com essa notação temos:

- número total de pérolas no colar $=p+n$. Logo: $n+p<500$
- peso das pérolas grandes $=n \times a$
- peso das pérolas pequenas $=p \times b$
- peso total do colar $=p b+n a$

Para equacionar o problema, vamos equacionar antes as duas hipóteses:

i - Ao substituirmos $70 \%$ das pérolas grandes pelas pequenas, o colar fica composto como

$$
\underbrace{30 \% \times n}_{\text {grandes }}+\underbrace{p+70 \% \times n}_{\text {pequenas }}=0,3 n+(p+0,7 n)
$$

e seu peso fica sendo

$$
\underbrace{0,3 n \times a}_{\text {peso das grandes }}+\underbrace{(p+0,7 n) \times b}_{\text {peso das pequenas }}=\underbrace{0,4(n a+p b)}_{40 \% \text { do peso inicial }}
$$

ii - Analogamente, temos que ao substituirmos $60 \%$ das pérolas pequenas pelas grandes, o colar fica composto como

$$
\underbrace{n+60 \% \times p}_{\text {grandes }}+\underbrace{40 \% \times p}_{\text {pequenas }}=(n+0,6 p)+0,4 p
$$

e seu peso fica sendo

$$
\underbrace{(n+0,6 p) \times a}_{\text {peso das grandes }}+\underbrace{0,4 p \times b}_{\text {peso das pequenas }}=\underbrace{1,7(n a+p b)}_{170 \% \text { do peso inicial }}
$$

Temos, então, o sistema:

$$
\left\{\begin{array}{l}
0,3 n a+0,7 n b+p b=0,4(n a+p b) \\
n a+0,6 p a+0,4 p b=1,7(n a+p b)
\end{array}\right.
$$

Para resolvê-lo, começamos eliminando as incógnitas $a$ e $b$, escrevendo o sistema na seguinte forma:

$$
\left\{\begin{aligned}
\frac{7 n+6 p}{n} & =\frac{a}{b} \\
\frac{-13 p}{7 n-6 p} & =\frac{a}{b}
\end{aligned}\right.
$$

Segue que

$$
\frac{7 n+6 p}{n}=\frac{-13 p}{7 n-6 p} \Longrightarrow 36 p^{2}-13 p n-49 n^{2}=0
$$

Para fatorar essa expressão, escrevemos

$$
-13 p n=36 p n-49 p n
$$

e temos:

$$
\begin{aligned}
36 p^{2}-13 p n-49 n^{2} & =36 p^{2}+36 p n-49 p n-49 n^{2} \\
& =p(36 p-49 n)+n(36 p-49 n) \\
& =(36 p-49 n)(p+n)
\end{aligned}
$$

Finalmente:

$$
(36 p-49 n)(p+n)=0
$$

Obtemos $36 p=49 n$, e como $p$ e $n$ são inteiros positivos, segue que $n$ é múltiplo de 36 e $p$ de 49. Assim temos: $n=36 k$ e $p=49 k^{\prime}$, onde $k$ e $k^{\prime}$ são inteiros maiores do que 1. Logo,

$$
36 \times 49 k^{\prime}=49 \times 36 k \Longrightarrow k=k^{\prime}
$$

Portanto, $n=36 k$ e $p=49 k$. Deduzimos que $n+p=85 k$. Como $n+p<500$, o colar só pode ter: $85,170,255,340$ ou 425 pérolas.