# Lista 4 1. Lucro de uma companhia - Uma companhia tem um lucro de $6 \%$ nos primeiros $R \$ 1000$, 00 reais de venda diária, e $5 \%$ em todas as vendas que excedem $R \$ 1000,00$ reais, nesse mesmo dia. Qual é o lucro dessa companhia num dia que as vendas alcançam $R \$ 6000,00$ reais? (a) $R \$ 250$ (b) $R \$ 300$ (c) $\$ 310$ (d) $R \$ 320$ (e) $R \$ 360$ 2. Seqüência triangular - Qual é o $21^{\varrho}$ termo da seqüência $$ 1 ; 2+3 ; 4+5+6 ; 7+8+9+10 ; 11+12+13+14+15 ; \ldots ? $$ 3. O jardim octogonal - A figura mostra a planta de um jardim de uma cidade, feita num papel quadriculado. O jardim tem a forma de um polígono de oito lados com uma roseira quadrada no centro, cercada de grama. A área total do jardim é de $700 \mathrm{~m}^{2}$. Para colocar uma cerca em volta do jardim e da roseira, o prefeito dispõe de no máximo ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_166d7b619133f9b517e0g-1.jpg?height=500&width=491&top_left_y=1383&top_left_x=1385) $R \$ 650,00$. Qual o maior preço que ele poderá pagar pelo metro de cerca? 4. Número de caracteres - Numa folha de papel cabem 100 caracteres na largura e 100 na altura. Nessa folha são escritos sucessivamente os números $1,2,3, \ldots$ com um espaço entre cada um. Quando no final de uma linha não há espaço para escrever um número este é escrito na linha seguinte. Qual é o ultimo número escrito na folha? 5. A árvore de Emilia - A árvore de Emília cresce de acordo com a seguinte regra: após 2 semanas do aparecimento de um galho, esse mesmo galho produz um novo galho a cada semana, e o galho original continua a crescer. A árvore tem 5 galhos depois de 5 semanas, como mostra a figura. Quantos galhos, incluindo o galho principal a árvore terá no final de 8 semanas? ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_166d7b619133f9b517e0g-2.jpg?height=468&width=394&top_left_y=474&top_left_x=1342) 6. Um teste vocacional - Foi feito um teste vocacional em 1000 estudantes de uma escola. A tabela a seguir apresenta os resultados por área de estudo e sexo. | | Exatas | Humanas | Biológicas | | :---: | :---: | :---: | :---: | | Masculino | 232 | 116 | 207 | | Feminino | 112 | 153 | 180 | Se um aluno é escolhido ao acaso, determine a probabilidade de: (a) Ser da área de exatas. (b) Ser da área de humanas, sendo do sexo masculino. (c) Ser do sexo feminino, dado que é da área biológica. 7. Dois setores circular - A área do círculo da figura ao lado mede $20 \mathrm{~cm}^{2}$. Se $\widehat{A O B}=60^{\circ}$ e $\widehat{C O D}=30^{\circ}$, quanto mede a área da região do círculo que está tracejada? ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_166d7b619133f9b517e0g-2.jpg?height=372&width=409&top_left_y=2184&top_left_x=1326) 8. Compra de televisores - Maria encomendou certo número de televisores a $R \$ 1994,00$ cada um. Ela reparou que no total a pagar, não tem nem 0 , nem 7 , nem 8 e nem 9. Qual foi o menor número de televisores que ela encomendou? ## Soluções da Lista 4 1. Lucro de uma companhia - (c) Nos primeiros $R \$ 1000$ reais a companhia tem lucro de $R \$ 60$ reais, e para os $R \$ 5000$ reais restantes tem lucro de $5000 \times$ $5 \%=250$ reais. Logo o lucro da empresa nesse dia é $R \$ 310$ reais. 2. Seqüência triangular - Observe que o $21^{\circ}$ termo é a soma de 21 números consecutivos. Tomando a primeira parcela de cada termo, isto é, 1,2,4,7,11, $16, \ldots$, temos que $$ \begin{aligned} 2 & =1+1 \\ 4 & =2+1+1 \\ 7 & =3+2+1+1 \\ 11 & =4+3+2+1+1 \\ 16 & =5+4+3+2+1+1 \end{aligned} $$ Assim, a primeira parcela do $21^{\circ}$ termo é $$ 20+19+\cdots+3+2+1+1=\frac{20 \times 21}{2}+1=211 $$ e o $21^{\circ}$ termo é $$ 211+212+\cdots+230+231=\frac{(211+231) \times 21}{2}=221 \times 21=4641 $$ 3. O jardim octogonal - Observemos que a área do jardim pode ser medida contando o número de quadradinhos na folha. De fato, se contarmos o número de quadrados obtemos em total ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_166d7b619133f9b517e0g-4.jpg?height=416&width=422&top_left_y=2142&top_left_x=1294) 24 quadradinhos +8 meios quadradinhos $=28$ quadradinhos Como a área total é $700 \mathrm{~m}^{2}$, a área de cada quadradinho corresponde a $$ 700 \div 28=25 \mathrm{~m}^{2} $$ Assim, o lado de cada quadradinho corresponde a $5 \mathrm{~m}$. Pelo Teorema de Pitágoras, a diagonal $d$ de cada quadradinho corresponde a $d=\sqrt{5^{2}+5^{2}}=$ $5 \sqrt{2} m$. O contorno da roseira é formado por 4 diagonais e do jardim por 8 diagonais e 8 lados, logo temos: $$ \text { perímetro da roseira }=4 \times d=4 \times 5 \sqrt{2}=20 \sqrt{2} \mathrm{~m} $$ $$ \text { perímetro do jardim }=8 \times 5+8 \times d=40+40 \sqrt{2} $$ Logo, o comprimento total de cerca que será necessário é $$ 20 \sqrt{2}+40+40 \sqrt{2}=40+60 \sqrt{2} m $$ Agora temos: $$ \frac{650}{40+60 \sqrt{2}}=\frac{65}{4+6 \sqrt{2}} \approx \frac{65}{4+6 \times 1,414}=\frac{65}{12,484} \approx 5,21 $$ Assim, o preço máximo que o prefeito poderá pagar é $R \$ 5,21$. 4. Número de caracteres - Na $1^{\underline{a}}$ linha escrevemos os números de 1 a 9 , cada um seguido de um espaço, ocupando 18 espaços, e sobram 82 espaços. Cada número de 2 algarismos mais um espaço ocupa 3 lugares na linha. Como $82=27 \times 3+1$, completamos a $1 \underline{\underline{a}}$ linha com 27 números de dois algarismos a partir do 10. Logo o último número da primeira linha é 36. Representando cada espaço por um traço, a $1 \underline{\underline{a}}$ linha fica como $$ \underbrace{1-2-3-4-5-6-7-8-9}_{18} \underbrace{10-\cdots-36-}_{82} $$ Como $100=33 \times 3+1$, em cada linha podemos colocar 33 números de 2 algarismos, cada um seguido de um espaço, e no final da linha ainda sobra um espaço: $$ 2^{\underline{a}} \operatorname{linha}: \underbrace{37-38-\cdots-69-}_{99}- $$ Na $3^{\underline{a}}$ linha, colocamos de 70 a 99 , ocupando $30 \times 3=90$ espaços. Os 10 espaços restantes ocupamos com dois números de 3 algarismos: ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_166d7b619133f9b517e0g-6.jpg?height=114&width=799&top_left_y=1442&top_left_x=640) Agora, em cada linha podemos colocar $100 \div 4=25$ números de 3 algarismos com seus respectivos espaços. De 102 a 999 inclusive temos $999-102+1=198$ números. Como $198=25 \times 7+23$, ocupamos da $4^{\underline{a}}$ a $10^{\underline{a}}$ linha com os números de 3 algarismos e ainda sobram 23 espaços na 10 $\underline{\underline{a}}$ linha, que podemos ocupar com $23 \div 5=4$ números de 4 algarismos: $10^{a}$ linha : $\underbrace{--\cdots-999-}_{67} \underbrace{1000-1001-1002-}_{23}---$ Em cada linha podemos colocar $100 \div 5=20$ números de 4 algarismos e seus respectivos espaços. Portanto, nas 90 linhas restantes podemos colocar $90 \times 20=1800$ números de 4 algarismos. Começando com 1003 chegaremos até o número 2802. 5. A árvore de Emília - Denotemos por $f_{n}$ o número de galhos da árvore depois de $n$ semanas. Como depois de duas semanas aparece um galho então $f_{2}=1$, $\mathrm{Na}$ seguinte semana este galho produz um novo galho, $\log f_{3}=2$. Pela regra, o número de galhos na $n+1$-ésima semana é igual ao número de galhos que existiam na $n$-ésima semana, mais os galhos novos. Mas, os galhos novos nascem dos galhos que têm pelo menos duas semanas, isto é, nasce um galho novo por ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_166d7b619133f9b517e0g-7.jpg?height=511&width=405&top_left_y=550&top_left_x=1431) cada galho que existia na semana $n-1$. Assim, temos que $f_{n+1}=f_{n}+f_{n-1}$. Logo: $$ \begin{aligned} & f_{4}=2+1=3 \\ & f_{5}=3+2=5 \\ & f_{6}=5+3=8 \\ & f_{7}=8+5=13 \\ & f_{8}=13+8=21 \end{aligned} $$ ## 6. Um teste vocacional - (a) De exatas temos $232+112=344$ estudantes, $\log$ o probabilidade de escolher ao acaso um aluno de exatas é $\frac{344}{1000}=0,344$. (b) Como o número de estudantes do sexo masculino é 555, temos que a probabilidade de ser da área de humanas é $\frac{116}{555}=0,209$. (c) O número de estudantes da área biológica é 387. Assim, a probabilidade de escolher um do sexo feminino é $\frac{180}{387}=0,465$. 7. Dois setores circular - Como $$ 60^{\circ}+30^{\circ}=90^{\circ} $$ segue que área tracejada representa um quarto da área total del círculo. Como a área do circulo é $20 \mathrm{~cm}^{2}$ então a área tracejada é $5 \mathrm{~cm}^{2}$. ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_166d7b619133f9b517e0g-8.jpg?height=372&width=397&top_left_y=425&top_left_x=1338) 8. Compra de televisores - Se Maria comprou $n$ televisores, então ela gastou 1994n, que é um múltiplo de 1994 onde não aparecem os algarismos $0,7,8$ e 9. Vamos tentar limitar o valor de $n$. Primeiro observe que $$ 1994 n=2000 n-6 n $$ e também que se $$ 6 n<300 $$ então o número $2000 n-6 n$ tem 7 ou 8 ou 9 no algarismos das centenas (faça alguns exemplos, lembre-se que $2000 n$ termina com 3 zeros e depois convençase). Assim devemos ter $$ 6 n \geq 300, \quad \text { isto é } n \geq 50 $$ Observemos que 50 não pode ser porque o valor terminaria em 0 , $\log n \geq 51$. Dado que $1994 \times 51=101694$ temos que $n$ não pode ser 51 e portanto $n=$ $51+m$ com $m$ positivo. Agora como precisamos que o número não tenha 0 , assim $1994 m$ tem que eliminar o 0 de 101694, portanto $m \geq 4$, mas $m=4$ não é solução porque $1994 \times 55$ termina em 0 . Se testamos $n=56$ temos que $$ 1994 \times 56=111664 $$ é o número procurado.