# Lista 5 

1. Soma de frações - Qual é o valor de $\frac{1}{10}-\frac{1}{100}+\frac{1}{1000}-\frac{1}{10000}$ ?
2. Biblioteca - A biblioteca de uma escola comprou 140 novos livros, ficando com $\frac{27}{25}$ de livros. O número de livros antes da compra, é:
(a) 1750
(b) 2500
(c) 2780
(d) 2140
(e) 1140
3. Comparação de frações - Quantas frações menores do que 1 existem, tais que o numerador e denominador são números naturais de um algarismo?
4. Divisão com resto - Quantos são os números que ao dividir 2007 deixam resto 5 ?
5. Panelas - Uma panela pesa $645 \mathrm{~g}$ e outra $237 \mathrm{~g}$. José divide $1 \mathrm{~kg}$ de carne entre as duas panelas, de modo que as duas com seus conteúdos ficam com o mesmo peso. Quanto ele colocou de carne em cada panela?
6. Dominós - Juliana representou uma multiplicação com 5 dominós. Seu irmão Bruno trocou dois dominós de posição e agora a multiplicação ficou errada. Troque a posição de dois dominós para que a multiplicação fique correta novamente.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a3a17589e5750f8ed4c1g-2.jpg?height=454&width=962&top_left_y=410&top_left_x=658)

7. Código secreto - Antônio tem que descobrir um código de 3 algarismos diferentes $A B C$. Ele sabe que $B$ é maior que $A$, que $A$ é menor do que $C$ e ainda:

$$
\begin{aligned}
& \begin{array}{|l|l|}
\hline B & B \\
\hline A & A \\
\hline A
\end{array}+\begin{array}{|l|l|l|}
\hline C & C \\
\hline
\end{array}=\begin{array}{|l|l|l|}
\hline 2 & 4 & 2 \\
\hline
\end{array}
\end{aligned}
$$

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a3a17589e5750f8ed4c1g-2.jpg?height=48&width=479&top_left_y=1415&top_left_x=797)

Qual é o código que Antônio procura?

8. Os doze pontos - Doze pontos estão marcados numa folha de papel quadriculada, conforme mostra a figura.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a3a17589e5750f8ed4c1g-2.jpg?height=254&width=271&top_left_y=1980&top_left_x=1007)

Qual o número máximo de quadrados que podem ser formados unindo quatro desses pontos?

## Soluções da Lista 5

## 1. Soma de frações -

Solução 1: Transformando as frações em números decimais temos:

$$
\frac{1}{10}-\frac{1}{100}+\frac{1}{1000}-\frac{1}{10000}=0,1-0,01+0,001-0,00001=0,0909=\frac{909}{10000}
$$

Solução 2: Efetuando temos:

$$
\frac{1}{10}-\frac{1}{100}+\frac{1}{1000}-\frac{1}{10000}=\frac{1000-100+10-1}{10000}=\frac{909}{10000}
$$

2. Biblioteca - Ao comprar 140 livros a biblioteca ficou com $\frac{27}{25}$ do número de livros, logo 140 corresponde a $\frac{2}{25}$ dos livros da biblioteca. Logo, temos:

$$
\begin{aligned}
& \frac{2}{25} \longrightarrow 140 \\
& \frac{1}{25} \longrightarrow 140 \div 2=70 \\
& \frac{25}{25} \longrightarrow 70 \times 25=1750
\end{aligned}
$$

A opção correta é (a).

3. Comparação de frações - Para que uma fração seja menor do que 1 , o numerador tem que ser menor do que o denominador. As frações são:

- com denominador 2: $\frac{1}{2}$
- com denominador 3: $\frac{1}{3}$ e $\frac{2}{3}$
- com denominador 4: $\frac{1}{4}, \underbrace{\frac{2}{4}}_{1 / 2}$ e $\frac{3}{4}$
- com denominador $5: \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}$
- com denominador 6: $\frac{1}{6}, \underbrace{\frac{2}{6}}_{1 / 3}, \underbrace{\frac{3}{6}}_{1 / 2}, \underbrace{\frac{4}{6}}_{2 / 3}, \frac{5}{6}$
- com denominador 7 : $\frac{1}{7}, \frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{4}{7}, \frac{5}{7}, \frac{6}{7}$
- com denominador 8: $\frac{1}{8}, \underbrace{\frac{2}{8}}_{1 / 4}, \frac{3}{8}, \underbrace{\frac{4}{8}}_{1 / 2}, \frac{5}{8}, \underbrace{\frac{6}{8}}_{3 / 4}, \frac{7}{8}$
- com denominador 9: $\frac{1}{9}, \frac{2}{9}, \underbrace{\frac{3}{9}}_{1 / 3}, \frac{4}{9}, \frac{5}{9}, \underbrace{\frac{6}{9}}_{2 / 3}, \frac{7}{9}, \frac{8}{9}$

Temos então 27 frações.

4. Divisão com resto - Se um número ao dividir 2007 deixa resto 5, então esse número é um divisor de $2007-5=2002$. Logo, temos que calcular os divisores de 2002:

$$
\begin{array}{r|l|l}
2002 & 2 & 2 \\
1001 & 7 & 7,14 \\
143 & 11 & 11,22,77,154 \\
13 & 13 & 13,26,91,182,143,286,1001,2002 \\
1 & &
\end{array}
$$

Logo, os números que ao dividirem 2007 deixam resto 5 são:

$$
1,2,7,11,13,14,22,26,77,91,143,154,182,286,1001,2002
$$

5. Panelas - Convertendo quilo para gramas temos que $1 \mathrm{~kg}=1000 \mathrm{~g}$. As duas panelas mais a carne pesam juntas

$$
645+237+1000=1882 g
$$

Logo, cada panela mais o seu conteúdo de carne deve pesar $1882 \div 2=941 \mathrm{~g}$. Logo, José colocou em cada panela, respectivamente,

$$
941-645=296 g \text { e } 941-237=704 g
$$

6. Dominós - Dado que $2 \times 3=6$, suporemos por enquanto que os dominós $\cdot \cdot \cdot$ e $[\cdot \because \because$ estão na posição certa. Caso isso seja verdade, dado que $1 \times 3=3$ temos que o algarismo na dezena do resultado é três, logo temos que trocar o dominó $\quad . \cdot \bullet$ pelo dominó $\quad \because \because \because$, de tal forma que o 3 fique na dezena. Dado que temos um 2 na centena do resultado, então na centena do primeiro número tem que ter um 4. Assim, o produto certo fica da forma

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a3a17589e5750f8ed4c1g-5.jpg?height=514&width=1083&top_left_y=1373&top_left_x=498)

7. Código secreto - A única maneira de obter 360 como produto de três números de um algarismos cada um é

$$
360=9 \times 8 \times 5
$$

Logo, a soma $A A+B B+C C$ é igual a $55+88+99$. Como $A$ é menor do que $B$ e do que $C$, temos que $A=5$. Logo, temos duas possibilidades para o código: 589 ou 598.

8. Os doze pontos - No total, temos 11 possíveis quadrados como mostrado a seguir.
![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a3a17589e5750f8ed4c1g-6.jpg?height=320&width=626&top_left_y=682&top_left_x=652)

2 quadrados

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a3a17589e5750f8ed4c1g-6.jpg?height=266&width=271&top_left_y=735&top_left_x=1372)