# Lista 5 1. Distância entre números - Considere os números reais $a, b, c$ e $d$ representados em uma reta, conforme mostra a figura. Determine quais das afirmações são verdadeiras ou falsas. ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_643a49fbff97dd33b0d6g-1.jpg?height=100&width=988&top_left_y=772&top_left_x=640) (a) $|a|<4$ (b) $|b|<2$ (c) $|c|<2$ (d) $|a|>|b|$ (e) $|c|<|d|$ (f) $|a|<|d|$ (g) $|a-b|<4$ (h) $|a-b| \geq 3$ (i) $|c-d|<1$ (j) $|b-c|<2$ (1) $|b-c|>3$ (m) $|c-a|>1$ 2. Cartões premiados - Uma loja distribui 9999 cartões entre os seus clientes. Cada um dos cartões possui um número de 4 algarismos, entre 0001 e 9999. Se a soma dos primeiros 2 algarismos for igual à soma dos 2 últimos, o cartão é premiado. Por exemplo, o cartão 0743 é premiado. Prove que a soma dos números de todos os cartões premiados é divisível por 101. 3. O preço da gasolina - Em 1972 encher o tanque de gasolina de um carro pequeno custava $R \$ 29,90$, e em 1992, custava $\$ 149,70$ para encher o mesmo tanque. Qual dos valores abaixo melhor aproxima o percentual de aumento no preço da gasolina nesse período de 20 anos? (a) $20 \%$ (b) $125 \%$ (d) $300 \%$ (d) $400 \%$ (e) $500 \%$ 4. O triângulo de latas - Um menino tentou alinhar 480 latas em forma de um triângulo com uma lata na $1^{\underline{a}}$ linha, 2 latas na $2^{\underline{a}}$ e assim por diante. No fim sobraram 15 latas. Quantas linhas tem esse triângulo? 5. Circunferência e triângulo retângulo - Inscreve-se uma circunferência num triângulo retângulo. $\mathrm{O}$ ponto de tangência divide a hipotenusa em dois segmentos de comprimentos $6 \mathrm{~cm}$ e $7 \mathrm{~cm}$. Calcule a área do triângulo. 6. Soma de razão $\frac{1}{2}-$ Se $S_{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}$, qual é o menor número inteiro positivo $n$ tal que $S_{n}>0,99$ ? ## 7. Soma de raizes quadradas - (a) Se $r=\sqrt{2}+\sqrt{3}$, mostre que $\sqrt{6}=\frac{r^{2}-5}{2}$. (b) Se $s=\sqrt{215}+\sqrt{300}$, mostre que $s^{2}>1015$. 8. Duas rodas - A roda A gira com 1200 voltas por minuto, e a roda B com 1500 voltas por minuto. Calcule os raios das duas rodas. ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_643a49fbff97dd33b0d6g-2.jpg?height=365&width=500&top_left_y=1782&top_left_x=778) ## Soluções da Lista 5 ## 1. Distância entre números - ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_643a49fbff97dd33b0d6g-3.jpg?height=114&width=985&top_left_y=614&top_left_x=638) Como os números $a, b$ e $c$ são negativos e $c$ é positivo, temos que $$ |a|=-a,|b|=-b,|c|=-c,|d|=d $$ Assim, $|a|,|b|$ e $|c|$ são simétricos de $a, b$ e $c$ em relação ao zero. No seguinte gráfico se mostram os pontos $|a|,|b|,|c|$ e $|d|$. ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_643a49fbff97dd33b0d6g-3.jpg?height=114&width=988&top_left_y=1262&top_left_x=640) Note que não podemos afirmar qual entre os dois, $|b|$ e $|d|$, é o maior, as unicas comparações que podemos fazer são: $$ 0<|c|<1<|b|<2<|a|<4 \text { e } 0<|c|<1<|d|<2<|a|<4 $$ Portanto, (a), (b), (c), (d) e (e) são verdadeiros e (f) é falso. Lembre que $|x-y|=$ distância de $x$ a $y$. Como $a$ e $b$ estão entre -4 e -1 , a distância entre eles é menor do que 3 , isto é: $|a-b|<3, \operatorname{logo}(\mathrm{g})$ é verdadeira e (h) é falso. Analogamente, temos: - $1<|c-d|<3 \Longrightarrow$ (i) é falso - $0<|b-c|<2 \Longrightarrow$ (j) é verdadeiro e (l) é falso - $2<|a-c| \Longrightarrow(\mathrm{m})$ é verdadeiro. 2. Cartões premiados - Observe que se o cartão $a b c d$ é premiado então o cartão $c d a b$ também é premiado, por exemplo: 2341 e 4123 são ambos premiados. Assim sempre que $a b \neq c d$ temos dois cartões premiados cuja soma é $$ a b c d+c d a b=(a b \times 100+c d)+(c d \times 100+a b)=101(a b+c d) $$ assim a soma desse dois cartões é divisível por 101. No caso que o cartão ser da forma $$ a b a b=a b \times 100+a b=101 \times a b $$ o número do cartão é divisível por 101. Assim a soma de todos os cartões é divisível por 101 já que a soma pode ser feita agrupando cartões do tipo $a b c d$ com $c d a b$. 3. O preço da gasolina - O aumento do valor foi $$ 149,70-29,90=119,80 \text { reais } $$ que corresponde a: $$ \frac{119,80}{29,90} \times 100 \%=400,66 \% $$ A opção correta é (d). 4. O triângulo de latas - Suponhamos que o triângulo está composto por $n$ linhas, logo foram usadas $1+2+3+\cdots+n$ latas, assim $$ 480-15=1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2} \Longrightarrow n^{2}+n-930=0 $$ Resolvendo a equação $n^{2}+n-930=0$, obtemos: $$ n=\frac{-1 \pm \sqrt{1+4 \times 930}}{2}=\frac{-1 \pm 61}{2} $$ Assim, $n=30$ que é única solução positiva desta equação. Logo o triângulo tem 30 linhas. 5. Circunferência e triângulo retângulo - Seja $r$ o raio da circunferência inscrita. Usando o teorema de Pitágoras temos que $(6+7)^{2}=(r+6)^{2}+(r+7)^{2}=r^{2}+12 r+36+r^{2}+14 r+49=2\left(r^{2}+13 r\right)+85$, assim temos que $r^{2}+13 r=\frac{169-85}{2}=42$. Por outro lado, a área do triângulo é $\frac{(r+6)(r+7)}{2}=\frac{r^{2}+13 r+42}{2}=\frac{42+42}{2}=42$. ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_643a49fbff97dd33b0d6g-5.jpg?height=323&width=440&top_left_y=1055&top_left_x=1393) 6. Soma de razão $\frac{1}{2}$ - Como $$ S_{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots+\frac{1}{2^{n}} $$ segue que $$ \frac{1}{2} S_{n}=\frac{1}{2} \times\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}\right)=\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots+\frac{1}{2^{n+1}} $$ Logo, $$ \frac{1}{2} S_{n}=S_{n}-\frac{1}{2} S_{n}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{n+1}} $$ Assim $$ S_{n}=1-\frac{1}{2^{n}} $$ Como queremos $S_{n}>0,99$, isto é equivalente a encontrar o menor $n$ tal que $$ 1-\frac{1}{2^{n}}>0,99 $$ e assim $$ 2^{n}>100 $$ Logo, devemos ter $n \geq 7$ porque $128=2^{7}>100>2^{6}=64$. Observação: Outro modo de calcular $S_{n}$, é notar que é a soma de uma progressão geométrica com $a_{1}=1 / 2$ e razão $q=1 / 2$. Aplicando a fórmula, temos: $$ S_{n}=\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{n}} \frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2^{n}} $$ ## 7. Soma de raizes quadradas - (a) Como $$ r^{2}=(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2}=(\sqrt{2})^{2}+2(\sqrt{2})(\sqrt{3})+(\sqrt{3})^{2}=2+2 \sqrt{6}+3=5+2 \sqrt{6} $$ portanto $r^{2}-5=2 \sqrt{6} \Longrightarrow \sqrt{6}=\frac{r^{2}-5}{2}$. (b) Pelo mesmo argumento temos que $$ \begin{aligned} s^{2} & =(\sqrt{215}+\sqrt{300})^{2}=215+2 \sqrt{215 \cdot 300}+300 \\ & =515+10 \sqrt{43 \cdot 60}=515+10 \sqrt{2580}> \\ & >515+10 \sqrt{2500}=515+500=1015 \end{aligned} $$ 8. Duas rodas - Dos dados do problema podemos dizer que quando a roda $A$ dá 12 voltas a roda $B$ dá 15 voltas, ou equivalentemente, quando a roda $A$ dá 4 voltas a roda $B$ dá 5 voltas. Denotemos por $R$ o raio da roda $A$ e por $r$ o raio da roda $B$. ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_643a49fbff97dd33b0d6g-6.jpg?height=355&width=471&top_left_y=2084&top_left_x=1272) O comprimento da roda $\mathrm{A}$ é $2 \pi R$ e o da roda $\mathrm{B}$ é $2 \pi r$. Logo, o comprimento de 4 voltas da roda $A$ é $4 \times(2 \pi R)$ e o comprimento de 5 voltas da roda $B$ é $5 \times(2 \pi r)$. Como esses dois comprimentos são iguais então temos que $4 R=5 r$. Por outro lado, da figura temos que $2(r+R)=9$, assim $$ 2 r+2\left(\frac{5}{4} r\right)=\left(2+\frac{5}{2}\right) r=\frac{9}{2} r=9 $$ portanto $r=2$ e $R=\frac{5}{2}$.