# Lista 6 1. Relógio - O grande relógio de parede da escola marca a data (dia, mês e ano) e as horas (horas e minutos) como na figura. Que dia, mês e ano esses mesmos 10 algarismos da figura voltarão a aparecer juntos no relógio pela primeira vez? ## 280594 2. Lápis - Em 13 caixas foram embalados 74 lápis. Se a capacidade máxima de cada caixa é de 6 lápis, qual é o número mínimo de lápis que pode haver em uma caixa? (a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4 (e) 6 3. Contagem - Se o algarismo 1 aparece 171 vezes na numeração das páginas de um livro, quantas páginas tem o livro? 4. Viagem a Recife - Em meu vôo para Recife, quando fui receber a medalha de ouro que conquistei na OBMEP, as seguintes informações apareceram na tela da cabine de passageiros: Velocidade média: $864 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ Distância do local de partida: $1222 \mathrm{~km}$ Tempo de chegada a Recife: 1 h $20 \mathrm{~min}$ Se o avião manteve a mesma velocidade, então qual é, aproximadamente, a distância de Recife à cidade onde tomei esse vôo? (a) $2300 \mathrm{~km}$ (b) $2400 \mathrm{~km}$ (c) $2500 \mathrm{~km}$ (d) $2600 \mathrm{~km}$ (e) $2700 \mathrm{~km}$ 5. Praça - Maria e João dão uma volta completa na praça juntos, contando as casas que ficam em volta da praça. Eles começaram a contar as casas em pontos diferentes. A quinta casa da Maria é a décima segunda do João e a quinta casa do João é a trigésima da Maria. Quantas casas tem em volta da praça? 6. Seqüência de figuras - As figuras $\triangle, \boldsymbol{\Lambda}, \diamond, \uparrow, \odot, \square$ são repetidas na sequiência $$ \triangle, \boldsymbol{\phi}, \diamond, \boldsymbol{\phi}, \odot, \square, \triangle, \boldsymbol{\phi}, \diamond, \boldsymbol{\phi}, \odot, \square, \ldots $$ (a) Que figura aparecerá na $1000^{\underline{a}}$ posição da sequiência? (b) Em qual posição aparece o milésimo $\diamond$ ? 7. A brincadeira do quadrado - Um quadrado de $1 \mathrm{~m}$ de lado foi cortado, com cortes paralelos aos seus lados, em quadradinhos de $1 \mathrm{~mm}$ de lado. Colocandose lado a lado os quadradinhos, sem superposição, formou-se um retângulo de $1 \mathrm{~mm}$ de largura. Qual o comprimento desse retângulo? 8. O código da Arca do Tesouro - Simão precisa descobrir um número que é o código da Arca do Tesouro que está escondido na tabela. | 5 | 9 | 4 | 9 | 4 | 1 | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | 6 | 3 | 7 | 3 | 4 | 8 | | 8 | 2 | 4 | 2 | 5 | 5 | | 7 | 4 | 5 | 7 | 5 | 2 | | 2 | 7 | 6 | 1 | 2 | 8 | | 5 | 2 | 3 | 6 | 7 | 1 | Para descobrir o código ele tem que formar grupos de 3 algarismos que estão em casas sucessivas, na horizontal ou na vertical, cuja soma é 14. Retirados esses grupos, o código é a soma dos números que não aparecem nesses grupos. Qual é esse código? ## Soluções da Lista 6 1. Relógio - Vamos tentar uma data e um horário no mesmo ano de 94. Já que com os números dados não podemos alterar o dia nem para 29 nem para 30 sem alterar o ano, então a data procurada não está no mês 05 . O seguinte mês possível é o 08. Como precisamos da data mais próxima possível, observemos que podemos formar o dia 01 sobrando os números $0,2,4$ e 5 para formar a hora. A menor hora possível que podemos formar com esses algarismos é 02 : 45, logo a data procurada é 1 de agosto de 1994 às 2 horas e 45 minutos. ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_7802a0a2c42db868808eg-4.jpg?height=516&width=1194&top_left_y=1089&top_left_x=548) 2. Lápis - Vamos ver em quantas caixas podemos colocar o número máximo de lápis, que é 6 por caixa. Nas 13 caixas não é possível, pois $13 \times 6=78$, que é maior do que o número de lápis 74 . Em 12 caixas teríamos: $12 \times 6=72$. Assim, sobraria uma caixa com $74-72=2$ lápis. Logo, a opção correta é (b). 3. Contagem - A cada 10 páginas aparece 1 nas unidades e a cada 100 páginas aparece 10 vezes o número 1 nas dezenas. Contando o número de páginas que contém o algarismo 1 em cada faixa abaixo temos: - 20 páginas entre 1-99: 1,11,21,31,41,51,61,71,81,91: 10 (1 na unidade) 10,11,12,13,14,15,16,17, 18,19: 10 (1 na dezena) - 120 páginas entre 100 - 199: 101,111,121,131,141,151,161,171,181,191: 10 (1 na unidade) 110,111,112,113,114,115,116,117,118,119: 10 (1 na dezena) 100,101, 102, . ., 199: 100 (1 na centena) - 20 páginas entre 200-299: 201, 211,221, 231, 241, 251, 261, 271, 281, 291: 10 (1 na unidade) 210,211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219: 10 (1 na dezena) Até a página 299 temos $20+120+20$ vezes que aparece o número 1 , faltando assim apenas $171-160=11$ uns, que seriam os 2 primeiros que aparecem na unidade de 301, 311 e os 9 primeiros que aparecem nas dezenas de 310, 311, 312, 313, 314, 315, 316, 317, 318. Logo, o livro tem 318 páginas. 4. Viagem a Recife - No momento em que a informação foi dada, o tempo que faltava de vôo era de $1 h 20 \mathrm{~min}$, ou $4 / 3 h$. Logo, nesse momento, a distância a Recife era de $864 \times \frac{4}{3}=1152 \mathrm{~km}$. Desde que estávamos a $1222 \mathrm{~km}$ da cidade de partida, a distância entre essa cidade e Recife é de $1152+1222=2374 \mathrm{~km}$. Dentre as opções, a mais próxima é $2400 \mathrm{~km}$, ou seja, a opção (b). 5. Praça - Como a $5^{\underline{a}}$ casa da Maria é a $12^{\underline{a}}$ casa do João, a diferença entre as contagens é de 7 casas. Assim, a $1^{\underline{a}}$ casa da Maria é a $8^{\underline{a}}$ casa do João e a $5^{\underline{a}}$ casa do João corresponde a duas casas antes da casa que a Maria começou a contar. Mas, como a $5^{\underline{a}}$ casa do João é a $30^{\underline{a}}$ da Maria, então a praça tem 32 casas: as 30 casas que Maria já contou mais as 2 casas que faltam para Maria chegar ao ponto onde começou a contar. 6. Seqüência de figuras - As figuras se repetem de 6 em 6. Dividindo 1000 por 6 temos: $1000=6 \times 166+4$. ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_7802a0a2c42db868808eg-6.jpg?height=186&width=1219&top_left_y=861&top_left_x=521) (a) A figura que fica em $1000^{\circ}$ lugar é (b) O primeiro $\diamond$ está na $3^{\underline{a}}$ posição, o segundo na posição de número $3+6$, o terceiro em $3+6+6$, e assim por adiante, como indicado a seguir: $\mathbf{1}^{\circ} \quad \longrightarrow \quad 3+\mathbf{0} \times 6$ $\mathbf{2}^{-} \quad \longrightarrow \quad 3+\mathbf{1} \times 6$ $\mathbf{3}^{\circ} \longrightarrow 3+\mathbf{2} \times 6$ $4^{\underline{o}} \longrightarrow 3+\mathbf{3} \times 6$ $1000^{\circ} \longrightarrow 3+\mathbf{9 9 9} \times 6$ Logo, o $1000^{\circ} \diamond$ aparece na posição: $3+999 \times 6=5997$. ## 7. A brincadeira com o quadrado - Solução 1 - Convertendo metros em milímetros temos: $1 \mathrm{~m}=1000 \mathrm{~mm}$. Assim, o quadrado ficou dividido em $1000 \times 1000=10^{6}$ quadradinhos de lado $1 \mathrm{~mm}$ cada um. Colocando-se lado a lado os $10^{6}$ quadradinhos, teremos um retângulo de comprimento $$ \underbrace{1+1+\cdots+1}_{10^{6} \text { parcelas }}=10^{6} \times 1=10^{6} \mathrm{~mm} $$ Solução 2 - O quadrado tem área igual $1 \mathrm{~m}^{2}=10^{6} \mathrm{~mm}^{2}$. A área $\Delta$ do retângulo é a mesma do quadrado. Como a largura do retângulo é $\ell=1 \mathrm{~mm}$ temos que o comprimento $c$ em milímitros é $$ c=\frac{\Delta}{\ell}=\frac{10^{6}}{1}=10^{6} \mathrm{~mm} $$ 8. O código da Arca do Tesouro - Nas seguintes duas tabelas mostramos unicamente os números cuja soma é 14 , horizontalmente e verticalmente, respectivamente. | | | | 9 | 4 | 1 | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | | | 7 | 3 | 4 | | | 8 | 2 | 4 | | | | | | | | 7 | 5 | 2 | | | 7 | 6 | 1 | | | | | | | 6 | 7 | 1 | | | 9 | | | | 1 | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | | 3 | | | 4 | 8 | | | 2 | | | 5 | 5 | | 7 | | 5 | 7 | 5 | | | 2 | | 6 | 1 | 2 | | | 5 | | 3 | 6 | 7 | | Assim, quando eliminamos esses números da tabela inicial, os números que sobrevivem são: ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_7802a0a2c42db868808eg-7.jpg?height=474&width=394&top_left_y=1962&top_left_x=840) Portanto, a soma dos números que ficam é $5+4+6+4+8+2=29$.