# Lista 6 

1. Números proporcionais - Se $\frac{x}{y}=\frac{3}{z}$, então $9 y^{2}$ é igual a:
(a) $\frac{x^{2}}{9}$
(b) $x^{3} z$
(c) $3 x^{2}$
(d) $x^{2} z^{2}$
(e) $\frac{1}{9} x^{2} z^{2}$
2. Esportistas de uma escola - Em um grupo de 40 estudantes, 20 jogam futebol, 19 jogam vôlei e 15 jogam exatamente uns destes dois esportes. Quantos estudantes não praticam futebol e vôlei?
(a) 7
(b) 5
(c) 13
(d) 9
(e) 10
3. Vamos ao teatro - Na campanha "Vamos ao teatro", 5 ingressos podem ser adquiridos pelo preço usual de 3 ingressos. Mário comprou 5 ingressos nessa campanha. A economia que Mário fez representa que percentual sobre o preço usual dos ingressos?
(a) $20 \%$
(b) $33 \frac{1}{3} \%$
(c) $40 \%$
(d) $60 \%$
(e) $66 \frac{2}{3} \%$
4. Uma desigualdade - Os valores de $x$ que satisfazem $\frac{1}{x-1}>1$ são:
(a) $x<2$
(b) $x>1$
(c) $1<x<2$
(d) $x<1$
(e) $x>2$
5. A sala do Newton- Professor Newton dividiu seus alunos em grupos de $4 \mathrm{e}$ sobraram 2. Ele dividiu seus alunos em grupos de 5 e um aluno ficou de fora. Se 15 alunos são mulheres e tem mais mulheres do que homens, o número de alunos homens é:
(a) 7
(b) 8
(c) 9
(d) 10
(e) 11
6. Um jardim retangular - O retângulo $\mathrm{ABCD}$ representa um terreno retangular cuja largura é $3 / 5$ do comprimento. O retângulo ABEF representa um jardim retangular cuja largura é também $3 / 5$ do comprimento. Qual

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a razão entre a área do jardim e a área total do terreno?
(a) $30 \%$
(b) $36 \%$
(c) $40 \%$
(d) $45 \%$
(e) $50 \%$

7. Os bombons misturados - Marta e Carmem ganharam, cada uma, muitos bombons. Elas misturarm os bombons e agora não sabem mais qual o número de bombons que cada uma ganhou. Vamos ajudá-las a descobrir os números sabendo que:

- juntas ganharam 200 bombons;
- cada número é múltiplo de 8 ;
- Marta se lembra que ganhou menos de 100 bombons, mas mais do que $4 / 5$ do que ganhou Carmem.


## Soluções da Lista 6

1. Números proporcionais - Como $\frac{x}{y}=\frac{3}{z}$, então $x z=3 y$. Elevando ao quadrado ambos os membros dessa igualdade obtemos $x^{2} z^{2}=9 y^{2}$. A opção correta é (d).
2. Esportistas de uma escola - Denotemos por $x$ o número de estudantes que praticam simultaneamente os dois esportes. Logo, temos que o número de estudantes que pratica somente futebol é $20-x$ e o que pratica somente vôlei é $19-x$. Portanto os estudantes que praticam exatamente um esporte são

$$
(20-x)+(19-x)=15
$$

Segue-se que $x=12$ e teremos que os estudantes que praticam algum esporte são

$$
20+(19-x)=27
$$

Portanto, os que não praticam esporte são 13. A opção correta é (c).

3. Vamos ao teatro - Mário pagou 3 e levou 5, logo ele pagou apenas $\frac{3}{5}$ do preço usual e portanto, economizou $\frac{2}{5}$. Como $\frac{2}{5}=\frac{40}{100}$, a economia foi de $40 \%$. A opção correta é (c).
4. Uma desigualdade - Note que o inverso de um número $b$ só é maior do que 1 quando $b$ for positivo e menor do que 1. Portanto,

$$
\frac{1}{x-1}>1 \Longleftrightarrow 0<x-1<1 \Longleftrightarrow 1<x<2
$$

A opção correta é (c).

## 5. A sala do Newton -

Solução 1: Como o número de alunos homens é menor do que 15 e das mulheres é 15 , temos

$$
15<\text { alunos homens }+ \text { alunas mulheres }<15+15=30
$$

ou seja: o número de alunos está entre 15 e 30.

Por outro lado quando dividimos por 4 sobram 2 alunos, então o número de alunos é par. Quando dividimos por 5 sobra um, então o último algarismo do número é 1 ou 6 , mas sendo par só pode ser 6 . Assim só temos dois possíveis valores: 16 e 26. Descartamos 16 porque é divisível por 4. Logo, a resposta é 26 .

Solução 2: Como acima, o número de alunos está entre 15 e 30. Observemos que o número 6 dividido por 4 deixa resto 2 e dividido por 5 deixa resto 1. Logo se somamos a 6 um múltiplo comum de 4 e 5 , o número obtido também terá esta propriedade. O menor múltiplo comum de 4 e 5 é 20, assim os possíveis valores para o número de alunos é $6,26,46,66, \ldots$ Dado que o número de alunos está entre 15 e 30 então a solução é 26.

6. Um jardim retangular - Pelos dados do problema sabemos que

$$
A D=\frac{5}{3} A B \quad \text { e } \quad A B=\frac{5}{3} A F
$$

Logo,

$$
A D=\left(\frac{5}{3}\right)^{2} A F=\frac{25}{9} A F
$$

A área do terreno é $A B \times A D$ e a área do jardim é $A B \times A F$, portanto a razão entre as áreas é

$$
\frac{A B \times A F}{A B \times A D}=\frac{A F}{A D}=\frac{A F}{\left(\frac{5}{3}\right)^{2} A F}=\frac{9}{25}=36 \%
$$

A opção correta é (b).

7. Números decrescentes - Escreva os números abaixo em ordem decrescente

$$
\sqrt[5]{3}, \quad 3^{-2 / 3}, \quad 3^{-2}, \quad\left(\frac{1}{3}\right)^{3}, \quad\left(\frac{1}{3}\right)^{-1}
$$

Solução: Sabemos que

- $3^{-2 / 3}=\frac{1}{3^{2 / 3}}<1$,
- $3^{-2}=\frac{1}{3^{2}}<1$,
- $\left(\frac{1}{3}\right)^{3}=\frac{1}{3^{3}}<1$,
- $1<\sqrt[5]{3}<3$.
Se $a, b$ e $c$ são não nulos e

$$
a>b>c
$$

então

$$
\frac{1}{a}<\frac{1}{b}<\frac{1}{c}
$$

Como $3^{3}>3^{2}>3^{2 / 3}$ temos então :

$$
\frac{1}{3^{3}}<\frac{1}{3^{2}}<\frac{1}{3^{2 / 3}}<1<\sqrt[5]{3}<3
$$

Portanto,

$$
\left(\frac{1}{3}\right)^{3}<3^{-2}<3^{-2 / 3}<\sqrt[5]{3}<\left(\frac{1}{3}\right)^{-1}
$$

8. Os bombons misturados - Sejam $x$ o número de bombons que Marta ganhou e $y$ o que Carmem ganhou. Temos $x+y=200$. Como $x<100$ então $y \geq 100$. Por outro lado, $x>\frac{4}{5} y$ e $y \geq 100$, concluímos que $x>\frac{4}{5} \times 100=80$. Logo, $x$ é um inteiro compreendido entre 80 e 100 e múltiplo de 8 , logo, só pode ser 88 ou 96 . Vamos decidir:

- Se $x=88$, então $y=200-88=112$. Logo: $x>\frac{4}{5} \times 112=89,5$, o que não é possível.
- Se $x=96$, então $y=200-96=104$ e $x>\frac{4}{5} \times 104=83,2$, o que é possível.

Logo Marta ganhou 96 bombons e Carmem 104.