# Lista 6 

1. Dois divisores - O número $2^{48}$ - 1 é divisível por dois números compreendidos entre 60 e 70. Quais são esses números?
(a) 61 e 63
(b) 61 e 65
(c) 63 e 65
(d) 63 e 67
(e) 67 e 69
2. Rede de estações - Um serviço de vigilância vai ser instalado num parque na forma de uma rede de estações. As estações devem ser conectadas por linhas de telefone, de modo que qualquer uma das estações possa se comunicar com todas as outras, seja por uma conexão direta seja através de no máximo uma outra estação. Cada estação pode ser conectada diretamente por um cabo a no máximo 3 outras estações.

O diagrama mostra um exemplo de uma rede desse tipo conectando 7 estações. Qual é o maior número de estações que podem ser conectadas dessa maneira?

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_2b4d243432ecfddb5212g-1.jpg?height=317&width=323&top_left_y=1338&top_left_x=1409)

3. Bolas brancas e pretas - Uma caixa tem exatamente 100 bolas pretas e 100 bolas brancas. Repetidamente, 3 bolas são retiradas da caixa e substituídas por outras bolas que estão em um saco da seguinte maneira:

## BOLINHAS REMOVIDAS <br> SUBSTITUÍDAS POR

3 pretas $\Longrightarrow 1$ preta

2 pretas e 1 branca $\Longrightarrow 1$ preta e 1 branca

1 preta e 2 brancas $\Longrightarrow 2$ brancas

3 brancas $\Longrightarrow 1$ preta e 1 branca

Qual pode ser o conteúdo da caixa depois de seguidas aplicações desse procedimento?
(a) 2 pretas
(b) 2 brancas
(c) 1 preta
(d) 1 preta e 1 branca
(e) 1 branca.
4. $O$ cubo - Alice tem uma folha de cartolina de $60 \mathrm{~cm}$ por $25 \mathrm{~cm}$. Ela quer cortar a folha para montar um cubo. Qual o cubo de maior volume que ela pode construir?

## 5. Um quadrado e um triângulo

- Na figura, $A B C D$ é um quadrado cuja área é $7 / 32$ da área do triângulo $X Y Z$. Qual é a razão entre $X A$ e $X Y$ ?

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_2b4d243432ecfddb5212g-2.jpg?height=420&width=529&top_left_y=858&top_left_x=1089)

6. A urna - Uma urna tem 6 bolas numeradas de 1 a 6 . Se duas bolas são extraídas, qual é a probabilidade da diferença entre os números dessas 2 bolas ser 1 ?
7. Soma das raízes de um equação - Determine a soma das raízes distintas da equação $x^{2}+3 x+2=|x+1|$.
8. Produto de três números - No diagrama abaixo cada círculo representa um algarismo. Preencha o diagrama colocando em cada círculo um dos algarismos de 0 a 9 , utilizando cada algarismo uma única vez.

$$
\text { ○×○০×○○○=○○○○ }
$$

## Soluções da Lista 6

1. Dois divisores - Lembre que

$$
a^{4}-1=(a-1)\left(a^{3}+a^{2}+a+1\right)
$$

Logo, se $a=2^{12}$, temos:

$$
2^{48}-1=\left(2^{12}\right)^{4}-1=\left(2^{12}-1\right)\left(2^{36}+2^{24}+2^{12}+1\right)
$$

e $2^{12}-1=\left(2^{6}+1\right)\left(2^{6}-1\right)=65 \times 63$. A opção correta é (c).

2. Rede de estações - O exemplo mostra que podemos conectar pelo menos 7 estações dentro das condições propostas. Começamos com uma estação particular, e vamos pensar nela como se fosse a base da rede. Ela pode ser conectada a 1, 2 ou 3 estações conforme mostra o diagrama.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_2b4d243432ecfddb5212g-3.jpg?height=274&width=328&top_left_y=1439&top_left_x=864)

Agora, as estações A, B e C têm ainda duas linhas não utilizadas, logo podem ser conectadas a duas outras estações como a seguir:

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_2b4d243432ecfddb5212g-3.jpg?height=469&width=525&top_left_y=2007&top_left_x=774)

Agora, é impossível acrescentar mais estações porque qualquer outra a mais não poderia ser conectada à base satisfazendo as condições do problema. Isso mostra que não podemos ter mais do que 10 estações. Vamos agora verificar se podemos montar a rede com essas 10 estações. Observe no diagrama acima que apenas a Base é conectada a todas as outras estações (através de um cabo ou de uma conexão via uma estação). As estações que estão nos extremos ainda possuem duas linhas não utilizadas, e agora vamos usá-las para "fechar" a rede; veja o diagrama a seguir.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_2b4d243432ecfddb5212g-4.jpg?height=628&width=711&top_left_y=1062&top_left_x=730)

3. Bolas brancas e pretas - Inicialmente observe que depois de cada substituição o número de bolas brancas ou permance o mesmo ou decresce de 2 . Logo o número de bolas brancas permanece par. Por outro lado, cada grupo de bolas removidas que contém pelo menos 1 bola branca é substituído por outro que também contém 1 bola branca, o número de bolas brancas nunca é zero. Agora observe que a opção (b) é a única incluindo pelo menos 2 bolas brancas, logo ela é a opção correta. Um modo de obter esse resultado é remover 3 bolas brancas 49 vezes até obter 149 pretas e 2 brancas, e depois, remover 1 preta e 2 brancas 149 vezes.
4. $O$ cubo - Seja $a$ a aresta do cubo que queremos construir. Como a área lateral do cubo é $6 a^{2}$, devemos ter $6 a^{2} \leq 25 \times 60$, isto é $a^{2} \leq 250$ e assim $a<16$. Com $a=15$ temos $4=60 \div 15$ quadrados de lado $15 \mathrm{~cm}$ e sobra um retângulo de $60 \mathrm{~cm}$ por $10 \mathrm{~cm}$.

Podemos cortar um retângulo de $60 \mathrm{~cm}$ por $2,5 \mathrm{~cm}$ e os pedaços marcados com $\circledast$ de dimensões $15 \mathrm{~cm}$ por $7,5 \mathrm{~cm}$. Assim na figura a linha pontilhada indica dobradura e a linha continua indica corte e com os pedaços de cartolina marcados com $\circledast$ formamos a tampa.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_2b4d243432ecfddb5212g-5.jpg?height=223&width=537&top_left_y=1162&top_left_x=768)

5. Um quadrado e um triângulo - Sejam $l$ o comprimento do lado do quadrado, $h$ a altura do triângulo $\triangle X A B, H$ a altura do triângulo $\triangle X Y Z$ e $b$ o comprimento do lado $Y Z$.

A área do quadrado é $l^{2}$ e a área do tri ângulo $\triangle X Y Z$ é $\frac{b H}{2}$. Como os triângulos $X Y Z$ e $A B C$ são semelhantes, temos

$$
\frac{b}{l}=\frac{H}{h}=\frac{X Y}{X A}
$$

Portanto $b=\frac{H l}{h}=\frac{(h+l) l}{h}$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_2b4d243432ecfddb5212g-5.jpg?height=417&width=534&top_left_y=1867&top_left_x=1069)

Assim a área do triângulo $\triangle X Y Z$ é: $\frac{b H}{2}=\frac{(h+l)^{2} l}{2 h}$ e a razão $\frac{X A}{X Y}$ é

$$
\frac{X A}{X Y}=\frac{h}{H}=\frac{h}{h+l}=\frac{1}{1+\frac{l}{h}}
$$

Logo, basta calcular $\frac{l}{h}$.

Como a razão entre as área do triângulo $\triangle X Y Z$ e a área do quadrado é $\frac{32}{7}$, então

$$
\frac{\frac{(h+l)^{2} l}{2 h}}{l^{2}}=\frac{32}{7} \Longrightarrow(h+l)^{2}=\frac{64}{7} h l \Longrightarrow l^{2}-\frac{50}{7} h l+h^{2}=0
$$

Dividindo por $h^{2}$ obtemos a equação quadrática $\left(\frac{l}{h}\right)^{2}-\frac{50}{7}\left(\frac{l}{h}\right)+1=0$, que tem como soluções

$$
\frac{l}{h}=\frac{\frac{50}{7} \pm \sqrt{\left(\frac{50}{7}\right)^{2}-4}}{2}=\frac{25 \pm \sqrt{25^{2}-7^{2}}}{7}=\frac{25 \pm 24}{7}
$$

Assim $\frac{l}{h}$ tem dois possíveis valores $\frac{1}{7}$ e 7 , e em cada um destes casos $\frac{X A}{X Y}$ é $\frac{7}{8}$ e $\frac{1}{8}$, respectivamente.

6. A urna - Observemos que se extraímos a primeira bola com um número entre 2 e 5 , então dentre as 5 bolas que ficam na urna temos duas possíveis bolas que cumprem a condição do problema, logo neste caso a probabilidade que a segunda bola cumpra a condição é $\frac{2}{5}$ e a probabilidade que a primeira bola tenha um número entre 2 e 5 é $\frac{4}{6}$. Por outro lado, se a primeira bola extraída é 1 ou 6 , só temos uma bola na urna que cumpre a condição, logo neste caso a probabilidade para a escolha da segunda bola é $\frac{1}{5}$ e a probabilidade da primeira bola ser 1 ou 6 é $\frac{2}{6}$. Portanto, a probabilidade das bolas serem consecutivas é

$$
\frac{4}{6} \times \frac{2}{5}+\frac{2}{6} \times \frac{1}{5}=\frac{1}{3}
$$

7. Soma das raizes de um equação - Temos que considerar dois casos.

Caso 1: $x \geq-1$.

Nesse caso, $x^{2}+3 x+2=x+1$, e $\log x^{2}+2 x+1=0$ que só possui a solução $x=-1$.

Caso 2: $x<-1$.

Nesse caso, $x^{2}+3 x+2=-x-1$, $\operatorname{logo} x^{2}+4 x+3=0$ que tem, no intervalo, apenas a solução $x=-3$.

Assim as únicas soluções distintas da equação são -1 e -3 , cuja soma é -4 .

8. Produto de três números - Sejam $a, b, c, \ldots$ os números em cada círculo como indicado abaixo.

## $(a) \times(b)(c) \times(d)(e) f=(g)(b)(j)$

Temos que $a, c$ e $f$ não podem ser zero, pois $0 \times x=0$.

Mas, o produto dos três números é um número de 4 algarismos, assim, $a b d<10$ e portanto os números que aparecem em dito produto são $1,2,3$ ou $1,2,4$. Observemos que a segunda é impossível porque o mínimo produto que podemos obter neste caso é

$$
1 \times 23 \times 456=10488
$$

assim $a b d=6$ e o produto é maior do que 6000. Por outra parte $a$ não pode ser 2 ou 3 porque nesse caso o mínimo valor que tem o produto é

$$
2 \times 14 \times 356=9968
$$

e os outro produtos ficam maiores do que 10000. Portanto $a=1$.

Continuando essa análise, obtemos a solução:

$$
(1) \times(2) \times(3)(4)=8(9)(7)(0)
$$