# Lista 7 1. Jantar aos sábado - Três casais jantam todo sábado no mesmo restaurante, numa mesma mesa redonda. A política do restaurante é : (a) jamais colocar juntos à mesa como vizinhos marido e mulher; (b) a disposição dos seis à mesa é diferente a cada sábado. Durante quantos sábados os casais poderão ir ao restaurante sem repetir as disposições à mesa? 2. Expressão com radicais - O valor de $(\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1}}})^{4}$ é: (a) $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ (b) $\frac{1}{2}(7+3 \sqrt{5})$ (c) $1+2 \sqrt{3}$ (d) 3 (e) $3+2 \sqrt{2}$ 3. Uma diferença - O valor de $\frac{\sqrt[3]{-0,001} \times \sqrt{400}}{\sqrt{0,25}}-\frac{\sqrt{0,036}-\sqrt{0,4}}{\sqrt{0,4}}$ é: (a) $-3,3$ (b) $-4,7$ (c) $-4,9$ (d) $-3,8$ (e) $-7,5$ 4. A Terra - A superfície do globo terrestre consiste de água (70\%) e de terra (30\%). Dois quintos da terra são desertos ou cobertos por gelo e, um terço é pastagem, floresta ou montanha; o resto é cultivado. Que percentual da superfície total do globo terrestre é cultivada? 5. Uma fração - Determine $\frac{A N}{A C}$. ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dd76292562bf30692f44g-2.jpg?height=411&width=340&top_left_y=431&top_left_x=1121) 6. Cáculo de ângulo - Na figura $P Q$ é paralelo a $R S$ e $T U=T V$. Se o ângulo $\widehat{T W S}=110^{\circ}$, o ângulo $\widehat{Q U V}$ mede: (a) $135^{\circ}$ (b) $130^{\circ}$ (c) $125^{\circ}$ (d) $115^{\circ}$ (e) $110^{\circ}$ ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dd76292562bf30692f44g-2.jpg?height=509&width=479&top_left_y=1316&top_left_x=800) 7. Uma loja de brinquedos - Uma loja estava vendendo um brinquedo por $R \$ 13,00$ a unidade. Para conseguir vender todo o seu estoque que não era superior a 100 unidades, resolveu abaixar o preço de um número inteiro de reais. Com isso, conseguiu vender todo o estoque por $R \$ 781,00$. Qual foi a redução do preço, por unidade? ## Soluções da Lista 7 1. Jantar aos sábado - Para simplificar, vamos denotar cada casal por um par de números: $(1,2),(3,4),(5,6)$, onde em cada par, um número representa o marido e o outro a mulher. Três pares não podem ser vizinhos $(1,2),(3,4)$, $(5,6)$ Veja duas disposições possíveis; no sentido horário começando em 1: 1-3-2-5$4-6$ e $1-6-4-5-2-3$. Fixando a posição do 1 na mesa e lendo os números formados no sentido horário, o problema se resume em encontrar todos os números de 6 algarismos distintos que podem ser escritos com os algarismos $1,2,3,4,5$ e 6 , onde: - os números todos começam com o algarismo 1; - não podem aparecer juntos 1 e 2,3 e 4, 5 e 6 . Encontramos os 16 números que estão na tabela. | 132546 | 132645 | 135246 | 135264 | 135426 | 136245 | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | 136254 | 136425 | 142536 | 142635 | 145236 | 145326 | | 146235 | 146325 | 153246 | 154236 | | | Logo, a resposta é 16 sábados. ## 2. Expressão com radicais - $$ (\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1}}})^{4}=(1+\sqrt{2})^{2}=1+2 \sqrt{2}+2=3+2 \sqrt{2} $$ A opção correta é (e). 3. Possiveis triângulos - Os lados de um triângulo têm comprimentos: $a, a+2$ e $a+5$, onde $a>0$. Determine os possíveis valores de $a$. Solução: Como a soma dos comprimentos dos lados menores deve ser maior que o comprimento do lado maior, então temos que $a+(a+2)>a+5$, assim $a>3$. 4. Uma diferença - (a) Temos: $\frac{-0,1 \times 20}{0,5}-\frac{\sqrt{0,4}(\sqrt{0,09}-1)}{\sqrt{0,4}}=-\frac{20}{5}-(0,3-1)=-4-0,3+1=-3,3$. 5. A Terra - A fração da terra que é cultivada é $$ 1-\frac{2}{5}-\frac{1}{3}=\frac{15-6-5}{15}=\frac{4}{15} $$ Como a terra é $\frac{3}{10}$ do globo, temos que área cultivada é $\frac{4}{15} \times \frac{3}{10}=\frac{2}{25}$ do globo, isto é o $\frac{2}{25} \times 100 \%=8 \%$ do globo terrestre. 6. Uma fração - A figura mostra que $M N$ é paralelo a $B C$, logo os triângulos $A B C$ e $A M N$ são semelhantes, e por isso seus lados são proporcionais. Usando o lado dos quadradinhos da grade da figura, temos: $\frac{A M}{A B}=\frac{4}{7}$. Logo, $$ \frac{A N}{A C}=\frac{A M}{A B}=\frac{4}{7} $$ 7. Cáculo de ângulo - Como as retas $P Q$ e $R S$ são paralelas, então os ângulos $\widehat{T W S}$ e $\widehat{Q T W}$ são complementares. Assim temos que $$ \widehat{Q T W}=180^{\circ}-110^{\circ}=70^{\circ} $$ Por outro lado, sabemos que o triângulo $\triangle U T V$ é isósceles, logo os ângulos em $U$ e em $V$ são iguais. Usando que a soma dos ângulos internos de um triângulo é $180^{\circ}$ temos que $$ 2 \widehat{T U V}=180^{\circ}-70^{\circ}=110^{\circ} $$ Portanto $$ \widehat{T U V}=55^{\circ} \text { e } \widehat{Q U V}=180^{\circ}-55^{\circ}=125^{\circ} $$ A opção correta é (c). 8. Uma loja de brinquedos - Se $x$ é o desconto em reais e $y$ é o número de peças, então $$ (13-x) \times y=781 \text { e } y<100 $$ Assim, $(13-x)$ e $y$ são divisores de 781 . Como $781=11 \times 71$, a única solução é $y=71$ e $13-x=11$. Logo, a redução foi de $R \$ 2,00$. Observação: $x=12$ e $y=781$ é solução da equação $(13-x) \times y=781$, mas não do problema porque devemos ter $y<100$.