# Lista 7 

1. Área do triângulo - Determine a área do triângulo $A B C$ mostrado na figura.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_bd5219fde2a4a59a7005g-1.jpg?height=345&width=437&top_left_y=553&top_left_x=1272)

2. Duas tabelas - As duas tabelas abaixo foram formadas de acordo com uma mesma regra, mas na segunda indicamos apenas três números. Qual o número que deve ser colocado na casa com $\star$ ?

| 5 | 8 | 11 | 14 | 17 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 12 | 15 | 18 | 21 | 24 |
| 19 | 22 | 25 | 28 | 31 |
| 26 | 29 | 32 | 35 | 38 |
| 33 | 36 | 39 | 42 | 45 |

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_bd5219fde2a4a59a7005g-1.jpg?height=403&width=434&top_left_y=1215&top_left_x=1188)

3. A seqüência $\boldsymbol{a b c}$ - A lei de formação da sequiência $10, a, 30, b, c, \ldots$ é: cada termo, começando com o 30, é o dobro da soma dos dois termos imediatamente anteriores. Qual o valor de $c$ ?
4. Perímetro e diagonal - O perímetro de um retângulo $A B C D$ á $20 \mathrm{~m}$. O menor comprimento, em metros, que a diagonal $A C$ pode ter é:
(a) 0
(b) $\sqrt{50}$
(c) 10
(d) $\sqrt{200}$
(e) $20 \sqrt{5}$
5. As idades numa classe - Numa classe na escola, todos os alunos têm a mesma idade, exceto sete que têm 1 ano a menos e dois que têm 2 anos a mais.

A soma das idades de todos os alunos dessa classe é 330. Quantos alunos tem essa classe?

6. A mesa redonda - Uma mesa redonda tem $1,40 m$ de diâmetro. Para uma festa, a mesa é aumentada colocando-se três tábuas de $40 \mathrm{~cm}$ de largura cada uma, como mostra a figura. Se cada pessoa à mesa deve dispor de um espaço
![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_bd5219fde2a4a59a7005g-2.jpg?height=506&width=724&top_left_y=618&top_left_x=996)
de $60 \mathrm{~cm}$, quantos convidados poderão se sentar na mesa?
7. Brincadeira com 7 números - Sete números inteiros positivos estão escritos em ordem crescente numa mesma linha. Coloque entre esses números cinco sinais de " + " e um só de " $=$ " para obter uma igualdade.
8. Um terreno compartilhado - Três amigas compraram um terreno quadrado e querem reparti-lo como indicado na figura, por que em $A$ se encontra uma fonte de água. Elas querem também que as áreas das três partes sejam iguais. Onde devem estar os pontos $M$ (sobre $B C)$ e $N$ (sobre $C D)$ ?

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_bd5219fde2a4a59a7005g-2.jpg?height=320&width=332&top_left_y=2147&top_left_x=859)

## Soluções da Lista 7

1. Área do triângulo - Para determinar a á rea basta conhecer o comprimento de uma base e sua respectiva altura. Se $A C$ é uma base, então a altura corta $A C$ no ponto $H=(1,0)$. Assim, a base $A C=8$ e a altura $B H$ relativa a essa base é 7 .

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_bd5219fde2a4a59a7005g-3.jpg?height=348&width=439&top_left_y=551&top_left_x=1408)
Logo, a área do triângulo é $\frac{7 \times 8}{2}=28$.

## 2. Duas tabelas -

| 5 | 8 | 11 | 14 | 17 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 12 | 15 | 18 | 21 | 24 |
| 19 | 22 | 25 | 28 | 31 |
| 26 | 29 | 32 | 35 | 38 |
| 33 | 36 | 39 | 42 | 45 |

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_bd5219fde2a4a59a7005g-3.jpg?height=397&width=440&top_left_y=1138&top_left_x=1185)

Observemos que na primeira tabela cada linha é uma progressão aritmética de razão 3 e cada coluna é uma progressão aritmética de razão 7. Suponhamos que na segunda tabela cada linha é uma progressão aritmética de razão $a$ e cada coluna é uma progressão aritmética de razão $b$. Assim temos que:

| $39-2 a$ | $39-a$ | 39 | $39+a$ | $39+2 a$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $39-2 a+b$ |  |  |  | $39+2 a+b$ |
| $39-2 a+2 b$ |  |  |  | 87 |
| 56 |  |  |  |  |
|  |  |  | $\star$ |  |

Logo: $\left\{\begin{array}{l}39+2 a+2 b=87 \\ 39-2 a+3 b=56 .\end{array}\right.$ Somando essas duas equações obtemos $78+$ $5 b=143$, donde $b=13$ e $a=\frac{48-2 b}{2}=11$. Portanto, o número na posição da é: $39+a+4 b=39+11+4 \times 13=102$.
3. $\boldsymbol{A}$ seqüência $\boldsymbol{a b c}$ - Sabemos que $30=2(10+a), \log o=5$. Assim

$$
b=2(30+a)=2(30+5)=70
$$

e

$$
c=2(b+30)=2(70+30)=200
$$

4. Perímetro e diagonal - Denotemos por $a$ e $b$ os comprimentos dos lados do retângulo, assim $2 a+2 b=20$, $\log a+b=10$. Por outro lado quadrado do comprimento da diagonal pode ser calculado usando o teorema de Pitágoras, assim $d^{2}=a^{2}+b^{2}$. Como

$$
\begin{aligned}
2 d^{2} & =2 a^{2}+2 b^{2}=\left(a^{2}+2 a b+b^{2}\right)+\left(a^{2}-2 a b+b^{2}\right) \\
& =(a+b)^{2}+(a-b)^{2} \\
& =100+(a-b)^{2}
\end{aligned}
$$

temos que o comprimento da diagonal é mínimo quando $a=b$, e neste caso $2 d^{2}=100$ e $d=\sqrt{50}$. A opção correta é (b).

5. As idades numa classe - Denotemos por $a$ a idade comum dos alunos e $n$ o número de alunos, assim temos 7 alunos com $a-1$ anos, 2 com $a+2$ anos e o resto, isto é, $n-9$ com $a$ anos. Assim a soma das idades é

$$
7(a-1)+2(a+2)+(n-9) a=n a-3=330
$$

$\log o$

$$
n a=333=9 \times 37
$$

Como a classe tem mais do que 9 alunos, então $a=9$ e $n=37$, portanto a classe tem 37 alunos.

## 6. A mesa redonda -

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_bd5219fde2a4a59a7005g-5.jpg?height=510&width=750&top_left_y=470&top_left_x=752)

O perímetro de mesa aumentada é

$$
140 \times \pi+40 \times 6 \simeq 140 \times 3,14+240=679,60 \mathrm{~cm}
$$

Se cada convidado precisa de $60 \mathrm{~cm}$ para colocar-se ao redor da mesa e

$$
\frac{679,60}{60} \simeq 11,3
$$

Então, podem se acomodar 11 convidados.

## 7. Brincadeira com 7 números -

Solução 1 - Os 7 números podem ser escritos como

$$
\underbrace{n-3, n-2, n-1}_{3 n-6}, n, \underbrace{n+1, n+2, n+3}_{3 n+6}
$$

Observando que $3 n-6+12=3 n+6$, concluímos que $n=12$. Logo, os números são

$$
9+10+11+12=13+14+15
$$

Solução 2 - Seja $n+1, n+2, \ldots, n+7$ os sete números consecutivos e suponhamos que

$$
(n+1)+\cdots+(n+k)=(n+k+1)+\cdots+(n+7)
$$

Como os números à esquerda são menores, então tem mais somandos à esquerda, assim $k \geq 4$. Supondo $k=4$, a igualdade anterior é

$$
4 n+1+2+3+4=3 n+5+6+7
$$

$\log n=8$. No caso $k=5$ temos que

$$
5 n+1+2+3+4+5=2 n+6+7
$$

que não gera solução inteira. De igual forma $k=6$ não gera solução inteira positiva. Portanto a única solução é

$$
9+10+11+12=13+14+15
$$

8. Um terreno compartilhado - Como as áreas de $\triangle A B M$ e $\triangle A D N$ são iguais e $A B=A D$ temos então

$$
\frac{B M \times A B}{2}=\frac{N D \times A D}{2} \Longrightarrow B M=D N
$$

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_bd5219fde2a4a59a7005g-6.jpg?height=320&width=343&top_left_y=1345&top_left_x=1325)

Assim, a figura $A M C N$ é simétrica com respeito à diagonal $A C$. Portanto, a área do $\triangle A C N$ é a metade da área do $\triangle A D N$. Agora, como esses triângulos têm a mesma altura então $D N=2 N C$ e pela simetria temos que $B M=2 M C$. Concluímos que $B M$ é $2 / 3$ do lado do quadrado, o mesmo ocorrendo com $D N$.

## Lista 8

1. As duas partículas - Duas partículas, $A$ e $B$, percorrem uma circunferência de $120 m$ de comprimento. A partícula $A$ gasta 3 segundos menos que $B$, por estar animada com uma velocidade maior de 2 metros por segundo. Qual é a velocidade de cada partícula?
2. Queda livre - Um corpo em queda livre demora 11 segundos para tocar o solo. No primeiro segundo ele percorre $4,5 \mathrm{me}$, em cada segundo que segue, a distância percorrida aumenta de $9,8 \mathrm{~m}$. Qual a altura da queda e quantos metros ele percorreu no último segundo?
3. Um caminho retangular - Janete passeia por um caminho de forma retangular $A B C D$ com largura $A B=1992 \mathrm{~m}$. Ela gasta 24 minutos para percorrer a largura $A B$. Depois, com a mesma velocidade, ela percorre o comprimento $B C$ e a diagonal $C A$ em 2 horas e 46 minutos. Qual é o comprimento $B C$ ?
4. O preço do feijão - A tabela e o gráfico, dados a seguir, mostram a evolução do preço médio de três tipos de feijão, A, B e C, na bolsa de alimentos durante os primeiros quatro meses de certo ano: Desses 3 tipos, os que apresentam, respectivamente, o maior e o menor crescimento percentual no preço nesse período são:
(a) $A$ e $B$
(b) $A$ e $C$
(c) $B$ e $C$
(d) $C$ e $A$
(e) $C$ e $B$

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_bd5219fde2a4a59a7005g-7.jpg?height=657&width=440&top_left_y=1919&top_left_x=1413)

|  | jan | fev | mar | abr |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| A | 65,67 | 83,33 | 96,67 | 103,33 |
| B | 73,30 | 80,50 | 99,55 | 109,50 |
| C | 64,50 | 71,57 | 89,55 | 100,00 |

5. Interseç̧ão de triângulos - Os 3 triângulos da figura se cortam em 12 pontos diferentes. Qual é o número máximo de pontos de intersecção de 3 triângulos?

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_bd5219fde2a4a59a7005g-8.jpg?height=340&width=623&top_left_y=1155&top_left_x=748)

6. Comparar triângulos - Na figura, estão indicados os comprimentos dos segmentos. Demonstre que $A C$ divide o ângulo $\widehat{D A B}$ ao meio.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_bd5219fde2a4a59a7005g-8.jpg?height=251&width=531&top_left_y=1682&top_left_x=1179)

7. Queima de velas - Dois tipos de vela têm o mesmo comprimento mas são feitas de material diferente; uma queima completamente em 3 horas e a outra em 4 horas, ambas queimam com velocidade uniforme. A que horas as velas devem ser acesas de modo que às 16 horas o comprimento de uma seja o dobro do da outra?
(a) $1: 24$
(b) $1: 28$
(c) $1: 36$
(d) $1: 40$
(e) $1: 48$
8. Uma distração - Em vez de multiplicar certo número por 6, Julia se distraiu e dividiu o número por 6. O erro cometido por Julia foi de aproximadamente
(a) $100 \%$
(b) $97 \%$
(c) $83 \%$
(d) $17 \%$
(e) $3 \%$