# Lista 8
1. $O$ quadradinho - Qual o valor de $\square$ em $\frac{6400000}{400}=1,6 \times \square$ ?
2. Dois números - O produto de dois números de dois algarismos cada um é 1728. Se e o máximo divisor comum $(m d c)$ deles é 12, quais são esses números?
3. As idades dos irmãos - No dia de seu aniversário de 7 anos, 13 de março de 2007, uma $3^{a}$-feira, Carlos disse a seu irmão: "A contar de hoje, faltam 2000 dias para você completar 15 anos". Em que dia da semana vai cair o aniversário do irmão de Carlos?. Quantos anos terá Carlos nesse dia?
4. A mistura de concreto - Uma certa mistura de concreto é feita de cimento, areia e terra na razão $1: 3: 5$ por quilo. Quantos quilos dessa mistura pode ser feita com 5 quilos de cimento?
(a) $13 \frac{1}{3}$
(b) 15
(c) 25
(d) 40
(e) 45
5. Ponto na escala - A que número corresponde o ponto $\mathrm{P}$ na escala abaixo?
6. O pomar do Francisco - O pomar do Francisco tem macieiras, pereiras, laranjeiras, limoeiros e tangerineiras, dispostas em cinco filas paralelas, cada uma com uma única variedade de árvores, da seguinte maneira:
- as laranjeiras estão do lado dos limoeiros;
- as pereiras não estão do lado das laranjeiras nem dos limoeiros;
- as macieiras estão do lado das pereiras, mas não dos limoeiros, nem das laranjeiras.
Em que fila estão as tangerineiras?
(a) $1^{\underline{a}}$
(b) $2^{\underline{a}}$
(c) $3^{\underline{a}}$
(d) $4^{\underline{a}}$
(e) $5^{\underline{a}}$
7. Quatro quadrados - Quatro quadrados iguais, com $3 \mathrm{~cm}^{2}$ de área cada um, estão superpostos formando a figura abaixo. Qual é a área dessa figura?
8. O fio de arame - Com um fio de arame Ernesto formou a figura abaixo.
Qual das figuras abaixo ele pode formar com o mesmo fio de arame, cortando ou não o fio?
(a)
(b) $\mathrm{a}$
(c)
(d) $ิ$
(e) 8
9. Quantos fósforos são necessários para formar o oitavo termo da seqüência, cujos três primeiros termos são mostrados abaixo?
(a) 21
(b) 24
(c) 27
(d) 30
(e) 34
## Soluções da Lista 8
1. $O$ quadradinho - Por simplificação $\frac{6400000}{400}=16000$, logo:
$$
\frac{6400000}{400}=1,6 \times \square \quad \Longrightarrow \quad 16000=1,6 \times
$$
Segue que $\square=10000$.
2. Dois números - Como 12 é o maior divisor comum dos dois números, ambos são múltiplos de 12 , logo estão dentre os números
$$
12,24,36,48,60,72,84,96,108,120,132,144, \ldots
$$
Da lista acima, temos três únicas possibilidades:
$$
\begin{aligned}
& 12 \times 144=1728 \text { e } m d c(12,144)=12 \\
& 24 \times 72=1728 \quad \text { e } \quad m d c(24,72)=24 \\
& 36 \times 48=1728 \quad \text { e } \quad m d c(36,48)=12
\end{aligned}
$$
Logo, temos duas soluções: 12 e 144, ou 36 e 48 .
$$
\begin{aligned}
& 12=2^{2} \times 3,144=2^{4} \times 3^{2} \\
& m d c(12,144)=2^{2} \times 3
\end{aligned}
$$
72 é múltiplo de 24 , $\Rightarrow m d c(24,72)=24$
$36=2^{2} \times 3^{2}$ e $48=2^{4} \times 3$, $\Rightarrow m d c(36,48)=2^{2} \times 3$
3. As idades dos irmãos - Dividindo 2000 por 7 obtemos $2000=7 \times 285+5$. Logo, 2000 dias equivalem a 285 semanas mais 5 dias. Como o dia 13 de março de 2007 caiu em uma terça-feira, contando os 5 dias restantes, temos que o aniversário do seu irmão cairá em um domingo.
Agora, dividindo 2000 por 365 obtemos $2000=365 \times 5+175$. Logo, 2000 é, aproximadamente, igual a cinco anos e meio, portanto Carlos terá 12 anos de idade.
4. A mistura de concreto - De acordo com os dados do problema temos:
$$
\begin{array}{cccc}
\text { cimento } & \text { areia } & & \text { terra } \\
1 \mathrm{~kg} & \longleftrightarrow 3 \mathrm{~kg} & \longleftrightarrow & 5 \mathrm{~kg}
\end{array}
$$
Logo, com $5 k g$ de cimento temos:
$$
\begin{aligned}
& \text { cimento } \quad \text { areia } \quad \text { terra } \\
& 1 \mathrm{~kg} \times 5 \longleftrightarrow 3 \mathrm{~kg} \times 5 \longleftrightarrow 5 \mathrm{~kg} \times 5
\end{aligned}
$$
Assim, com 5 quilos de cimento essa mistura tem $5+15+25=45 \mathrm{~kg}$.
5. Ponto na escala - A distância entre os pontos inicial e final é de: 12,62 $12,44=0,18$. Como estão marcados 18 intervalos, o comprimento de cada um deles é de $0,18 \div 18=0,01$.
O número $P$ está na $6^{\underline{a}}$ posição à direita de 12,44 . Assim, o ponto $P$ vale:
$$
12,44+0,01 \times 6=12,50
$$
6. O pomar de Francisco - Podemos observar que temos os dois pares de árvores:
- laranjeiras e limoeiros,
- macieiras e pereiras,
que não são vizinhos. Como $5=2+1+2$, temos que as tangerineiras estão na $3^{\underline{a}}$ fila.
7. Quatro quadrados - Se a área de cada quadrado é $3 \mathrm{~cm}^{2}$ e cada um deles está dividido em 16 quadradinhos, então a área de cada quadradinho é $\frac{3}{16} \mathrm{~cm}^{2}$. Como os 4 quadrados se superpõem em 6 quadradinhos, temos que a área da figura é:
$$
4 \times 3-6 \times \frac{3}{16}=12-\frac{9}{8}=10,875 \mathrm{~cm}^{2}
$$
8. O fio de arame - A figura é composta de 3 semicírculos, o que exclui as opções (b), (c) e (e), e 4 segmentos de reta. A opção (a) só tem 3 segmentos, logo a opção correta é (d).
Observação: Esse exercício usa uma certa "informalidade", pois para decidirmos entre as opções (a) e (d), estamos admitindo que cada segmento de reta na figura tem o comprimento do diâmetro dos círculos.
9. Observe que o número de fósforos da sequiência é formado da seguinte maneira:
$$
\begin{aligned}
1^{o} \text { termo } & =3+3=\mathbf{2} \times 3 \\
2^{\underline{o}} \text { termo } & =3+3+3=\mathbf{3} \times 3 \\
3^{-} \text {termo } & =3+3+3+3=\mathbf{4} \times 3
\end{aligned}
$$
Logo, o $8^{o}$ termo da seqüência é: $(8+1) \times 3=27$.
