# Soluções da Lista 8 

1. As duas partículas - Seja $v$ a velocidade da partícula $B$ e $v+2$ a velocidade de $A$. Assim, o tempo que demora $B$ em dar uma volta é $\frac{120}{v}$ e o tempo que demora $A$ é $\frac{120}{v+2}$ que é três segundos a menos do que $B$, portanto,

$$
\frac{120}{v}-3=\frac{120}{v+2} \Longrightarrow v^{2}+2 v-80=0
$$

A raiz positiva dessa equação é

$$
v=\frac{-2+\sqrt{4+320}}{2}=-1+\sqrt{8} 1=8
$$

Portanto, a velocidade de $B$ é $8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ e a velocidade de $A$ é $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$.

2. Queda livre - Como a distância percorrida aumenta em $9,8 \mathrm{~m}$ com respeito ao segundo anterior, no $n+1$-ésimo segundo ele percorre $4,5+9,8 n$ metros. Assim no $11^{\underline{o}}$ segundo o corpo percorre $4,5+9,8 \cdot 10=102,5$ metros.

A distância total percorrida pelo corpo até o 11으 segundo é

$$
\begin{gathered}
4,5+(4,5+9,8)+(4,5+9,8 \times 2)+\cdots+(4,5+9,8 \times 10)= \\
=4,5 \times 11+9,8(1+2+\cdots+10)=49,5+9,8 \times 55=588,5 \mathrm{~m}
\end{gathered}
$$

3. Um caminho retangular - Se $v$ representa a velocidade com que Janete caminha, então $v=\frac{1992}{24}=83 \mathrm{~m} / \mathrm{min}$.

Janete percorre $B C+A C$ com a mesma velocidade $v=83 \mathrm{~m} / \mathrm{min}$ e gasta $2 h$ e $46 \min =166$ min, então $B C+A C=83 \times 166=13778$.

Pelo teorema de Pitágoras temos que a diagonal do quadrado satisfaz:

$$
(A C)^{2}=(1922)^{2}+(B C)^{2}
$$

Daí temos:

$$
(A C)^{2}-(B C)^{2}=(A C-B C)(A C+B C)=(1992)^{2}
$$

Substituindo o valor da soma $B C+A C$ temos: $A C-B C=\frac{(1992)^{2}}{83 \times 166}=288$.

Logo: $\left\{\begin{array}{l}A C+B C=13778 \\ A C-B C=288\end{array} \Longrightarrow 2 B C=13778-288=13490\right.$.

Portanto $B C=\frac{13490}{2}=6745$.

4. O preço do feijão - Se $b$ é o preço final e $a$ o preço inicial, temos que a variação é $b-a$, e o aumento percentual será

$$
\frac{b-a}{a}
$$

Assim os aumentos foram:

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_22b82fbc7c8c5cefa06cg-2.jpg?height=520&width=352&top_left_y=1476&top_left_x=515)

$$
\begin{aligned}
& A: \frac{103,33-65,67}{65,67}=\frac{37,66}{65,67}=0,57=57 \% \\
& B: \frac{109,50-73,30}{73,30}=\frac{36,20}{73,30}=0,49=49 \% \\
& C: \frac{100,00-64,50}{64,50}=\frac{35,50}{64,50}=0,55=55 \%
\end{aligned}
$$

Portanto, o maior aumento foi de $A$ e o menor foi de $B$.

Observe que os valores intermediários (meses de fevereiro e março) não alteram a variação do preço de janeiro a abril. A opção correta é (a).

5. Intersecção de triângulos - Observemos que cada reta pode cortar no máximo dois lados de um triângulo, assim cada lado de um triângulo cortará no máximo dois lados do outro triângulo e, portanto, o número máximo de cortes
entre dois triângulos é 6 . Assim, se temos 3 triângulos, o número máximo de cortes é dado pelo número de formas de pegar dois de ditos triângulos e multiplicar por 6. Assim, a resposta é 18, como mostra a figura seguinte:

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_22b82fbc7c8c5cefa06cg-3.jpg?height=443&width=445&top_left_y=618&top_left_x=814)

6. Comparar triângulos - De acordo com os dados do problema temos:

$$
\frac{A B}{A C}=\frac{B C}{C D}=\frac{A C}{A D}=\frac{2}{3}
$$

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_22b82fbc7c8c5cefa06cg-3.jpg?height=234&width=485&top_left_y=1185&top_left_x=1234)

Segue que os triângulo $\triangle A B C$ e $\triangle A C D$ têm seus lados proporcionais, portanto são semelhantes. Em particular temos que $\widehat{B A C}=\widehat{C A D}$.

7. Queima de velas - Seja $l$ o comprimento das velas. Assim, uma queima a velocidade constante $\frac{l}{3}$ e a outra a velocidade $\frac{l}{4}$. Depois de um tempo $t$ o que sobra da primeira vela é

$$
l-\frac{l}{3} t
$$

e da segunda

$$
l-\frac{l}{4} t
$$

Queremos saber quanto tempo transcorre até o momento em que o comprimento de uma vela é o dobro do comprimento da outra, o que equivale a resolver a equação

$$
l-\frac{l}{4} t=2\left(l-\frac{l}{3} t\right)
$$

Segue que

$$
\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{4}\right) t=1 \text { donde } t=\frac{12}{5} \text { horas }=2 \frac{2}{5} \text { horas }=2 \text { horas e } 24 \text { minutos. }
$$

Portanto, depois de 2 horas e 24 minutos o comprimento de uma vela é o dobro do comprimento da outra. Como queremos que isso aconteça às $16: 00$, então as velas devem ser acesas às 13 horas e 36 minutos. A opção correta é (c).

## 8. Uma distração -

Solução 1: Seja $x$ o número. Julia tinha que obter $6 x$ e com sua distração, obteve $\frac{x}{6}$. Logo, seu erro foi de $6 x-\frac{x}{6}=\frac{35 x}{6}$. Portanto, em termos percentuais o erro foi de

$$
\frac{\frac{35 x}{6}}{6 x}=\frac{35}{36} \approx 0,9722=97,22 \%
$$

A opção correta é (b).

Solução 2: Se $N$ é o valor que a Julia tinha que obter, então ela com seu erro encontrou $\frac{N}{36}$, assim o erro absoluto cometido foi de $N-\frac{N}{36}=\frac{35}{36} N$. Portanto, o erro relativo foi de

$$
\frac{35}{36} \times 100 \%=97,22 \%
$$