# Desafios
1. O jogo das fichas - Para iniciar um jogo com seus amigos, Manoel coloca 8 fichas em cada uma das nove casas do tabuleiro mostrado na figura. Para ganhar o jogo, ele precisa mover as fichas de modo que em cada linha, cada coluna e cada diagonal haja o mesmo $\mathrm{n}$ úmero de fichas. Na $1^{a}$ jogada ele coloca 11 fichas na casa 3 e nenhuma na casa 2. Agora, quantas fichas ele deve colocar em cada uma das outras casas para ganhar o jogo, mantendo as fichas da $1^{a}$ jogada?
| 1 | 2 | 3 |
| :--- | :--- | :--- |
| 4 | 5 | 6 |
| 7 | 8 | 9 |
| 1 | 2
fichas | (11 |
| :---: | :---: | :---: |
| 4 | 5 | 6 |
| 7 | 8 | 9 |
2. Nas igualdades abaixo, cada letra representa um algarismo:
$$
A B+B C=C D \quad \text { e } \quad A B-B C=B A
$$
quanto vale $A+B+C+D$ ?
3. Rosa, Margarida e Dália são três constelações em forma de buquês de flores. Sabemos que:
(a) O número de estrelas de Dália, que é a menor das três, é o quadrado de um quadrado;
(b) O número de estrelas de Rosa é também o quadrado de um quadrado;
(c) Margarida tem 28561 estrelas;
(d) Dália e Rosa têm juntas o mesmo número de estrelas do que Margarida.
Quantas estrelas possuem Dália e Rosa cada uma?
4. Veja a seguir a página do calendário de abril de 2005:
| $\mathrm{D}$ | $\mathrm{S}$ | $\mathrm{T}$ | $\mathrm{Q}$ | $\mathrm{Q}$ | $\mathrm{S}$ | $\mathrm{S}$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| | | | | | 1 | 2 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 |
| 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
Qual mês de 2005 ou de 2006 terá uma página igual?
5. A faixa e o quadrado - Uma faixa retangular de cartolina tem $5 \mathrm{~cm}$ por $1 \mathrm{~cm}$. Corte a faixa com 4 cortes retilíneos de modo a poder montar um quadrado com as peças obtidas (n vale superposição das peças).
6. Um número e o sêxtuplo - Um número de 3 algarismos e seu sêxtuplo são formados pelos mesmos algarismos. A soma dos algarismos desse número é 17 e a de seu sêxtuplo é 21. Qual é esse número? Existe mais do que um?
7. Oito dentro de um retângulo - Coloque dentro dos círculos do retângulo abaixo os números de 1 a 8 de modo que a diferença entre dois números ligados por um segmento seja sempre maior do que 1.
8. Uma estratégia com um número muito grande - Carlos escreveu em seguida todos os números de 1 a 60 :
$$
1234567891011121314 \cdots 57585960
$$
Depois ele riscou 100 algarismos de modo que o número formado com os algarismos que não foram riscados fôsse o maior possível, sem mudar a ordem inicial de como os algarismos foram escritos. Qual é esse número?
9. Um número surpreendente - Um número surpreendente é um número divisível por 9 , de nove algarismos diferentes, nenhum deles igual a 0 tal que:
(a) o número formado pelos 2 primeiros algarismos é divisível por 2;
(b) o número formado pelos 3 primeiros algarismos é divisível por 3;
(c) o número formado pelos 4 primeiros algarismos é divisível por 4;
(d) o número formado pelos 5 primeiros algarismos é divisível por 5;
(e) o número formado pelos 6 primeiros algarismos é divisível por 6;
(f) o número formado pelos 7 primeiros algarismos é divisível por 7;
(g) o número formado pelos 8 primeiros algarismos é divisível por 8;
Qual é esse número?
10. Qual é o erro? - Uma das afirmações abaixo é falsa:
(a) André é mais velho do que Bruno;
(b) Cláudia é mais nova do que Bruno
(c) A soma das idades de Bruno e Cláudia é o dobro da idade de André;
(d) Claúdia é mais velha do que André.
Quem é o mais velho? E o mais novo?
11. Soma - Nessa exercício, as letras representam algarismos. Determine cada uma das parcelas da soma abaixo.
$$
\begin{array}{r}
a b c d e f \\
a b c d e f \\
+\quad g h i j \\
\hline d e f h j f
\end{array}
$$
12. Bolinhas - Rogério coloca seis bolinhas sobre a mesa de modo a formar dois quadrados, como na figura. Ele percebe que havia esquecido de colocar mais uma bolinha. Complete a figura formada pelas bolinhas com essa bolinha a mais, de modo a formar 3 quadrados.
13. Um número não divisivel por 5 - Determine quais números naturais $n$ entre 2001 e 2007, tornam o número $1^{n}+2^{n}+3^{n}+4^{n}$ não divisível por 5 .
14. Quatro frações e um inteiro - Quantos números naturais $a, b, c$ e $d$, todos distintos, existem tais que $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}$ seja um inteiro?
15. O Rei Arthur e o Dragão das Três Cabeças e Três Caudas - O Rei Arthur teve que lutar com o Dragão das Três Cabeças e Três Caudas. Sua tarefa ficou facilitada quando conseguiu arranjar uma espada mágica que podia, de um só golpe, fazer uma e somente uma das seguintes coisas:
- cortar uma cabeça;
- cortar duas cabeças;
- cortar uma cauda;
- cortar duas caudas.
Além disso, a Fada Morgana lhe revelou o segredo do dragão:
- se uma cabeça é cortada uma nova cresce;
- se duas cabeças são cortadas nada acontece;
- no lugar de uma cauda nascem duas caudas novas;
- se duas caudas são cortadas uma nova cabeça crece e
- o dragão morre se perder as três cabeças e as três caudas.
Quantos golpes o Rei Artur vai precisar para matar o dragão?
16. Num tabuleiro $5 \mathrm{x} 5$, um cavaleiro do jogo de xadrez está na casa marcada com A. Depois ele se move marcando as casa por onde passa:
$\mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B} \rightarrow \mathrm{C} \rightarrow \mathrm{D} \rightarrow \mathrm{E} \rightarrow \mathrm{F} \rightarrow \mathrm{G} \rightarrow \mathrm{H}$.
| $\mathrm{A}$ | | | | $\mathrm{G}$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| | | $\mathrm{H}$ | | |
| | $\mathrm{B}$ | | $\mathrm{F}$ | |
| | | $\mathrm{D}$ | | |
| $\mathrm{C}$ | | | | $\mathrm{E}$ |
Partindo da casa $\mathrm{H}$, o cavaleiro se move pelo tabulaeiro até ter passado por todas as 25 casas. Descreva o trajeto que ele fez.
17. Oito dados são agrupados formando um cubo. Quantas faces ficam visíveis?
## Respostas dos desafios
1.
| 1 | 2 | 3 |
| ---: | :--- | :--- |
| 13 | 0 | 11 |
| 4 | 5 | 6 |
| 6 | 8 | 10 |
| 7 | 8 | 9 |
| 5 | 16 | 3 |
2. 23
3. $\mathrm{D}=4225=25 \times 169$ e $\mathrm{R}=144 \times 169=24336$
4. Setembro de 2006
5.
6. 746 (solução única?)
7.
8. 9999785960 .
9. 381654729
10. Cláudia e Bruno.
11. 3 soluções:
$$
\begin{array}{r}
231468 \\
231468 \\
+\quad 5972 \\
\hline 468908
\end{array}
$$
| 264538 |
| ---: |
| 264538 |
| faa40c486-0c5b-40ec-b6aa-b6edefa7eba3}273548
273548
538178{f0e77e3de-7314-4231-af2b-bc51aefbe492 |
| 548698 |
12.
13. 2004
14. 1
15. 5
16.
| A | X | M | R | G |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| N | S | H | $Y$ | $L$ |
| I | B | $W$ | $F$ | $Q$ |
| T | O | $D$ | $K$ | $V$ |
| $C$ | $J$ | $U$ | $P$ | $E$ |
17. 20