# Nível 1 

## Lista 1

1. O trajeto das formiguinhas - As formiguinhas Maricota e Nandinha passeiam numa varanda cujo chão é formado por lajotas retangulares de $4 \mathrm{~cm}$ de largura por $6 \mathrm{~cm}$ de comprimento. Maricota parte do ponto $M$ e Nandinha do $N$, andando ambas apenas pelos lados dos retângulos, percorrendo o trajeto no sentido indicado na figura.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_b9d1398cc05f7e479435g-1.jpg?height=317&width=500&top_left_y=1252&top_left_x=869)

(a) As duas se encontram depois de andarem a mesma distância. Qual foi essa distância?

(b) Aonde elas se encontraram?

2. A soma é 100 - A soma de 3 números é 100, dois são primos e um é a soma dos outros dois.

(a) Qual é o maior dos 3 números?

(b) Dê um exemplo desses 3 números.

(c) Quantas soluções existem para esse problema?

3. Código de barras - Um serviço postal usa barras curtas e barras longas para representar o Código de Endereçamento Postal - CEP. A barra curta corresponde ao zero e a longa ao 1. A primeira e a última barra não fazem parte do código. A tabela de conversão do código é mostrada abaixo.

$$
\begin{array}{ll}
11000=0 & 01100=5 \\
00011=1 & 10100=6 \\
01010=2 & 00001=7 \\
00101=3 & 10001=8 \\
00110=4 & 10010=9
\end{array}
$$

(a) Escreva os CEP 36470130 na forma de código de barras.

(b) Identifique o CEP que representa o código de barras abaixo:

## ||||||||||||||||||||||||||||||||||||

4. Atletas da escola - Numa escola, um quarto dos alunos joga somente vôlei, um terço joga somente futebol, 300 praticam os dois esportes e 1/12 nenhum deles.

(a) Quantos alunos tem a escola?

(b) Quantos alunos jogam somente futebol?

(c) Quantos alunos jogam futebol?

(d) Quantos alunos praticam um dos 2 esportes?

5. Dizima periódica - Qual é o algarismo da $1997^{\mathrm{a}}$ casa decimal de:
(a) $\frac{1}{22}$
(b) $\frac{1}{27}$

## Soluções do Nível 1

## Lista 1

## 1. O trajeto das formiguinhas -

(a) O trajeto de $M$ a $N$ é composto de 14 comprimentos e 12 larguras das lajotas, logo seu comprimento é:

$$
14 \times 6+12 \times 4=84+48=132 \mathrm{~cm}
$$

Como as formiguinhas percorrem a mesma distância, cada uma deve andar $132 \div 2=66 \mathrm{~cm}$.

(b) Vamos acompanhar o percurso feito por Maricota desde o início, até completar $66 \mathrm{~cm}$ :

$$
\begin{aligned}
& \underbrace{2 \text { comprimentos }}_{2 \times 6=12}+\underbrace{1 \text { largura }}_{4+12=16}+\underbrace{3 \text { comprimentos }}_{18+16=34}+\underbrace{2 \text { larguras }}_{8+34=42}+ \\
& \underbrace{2 \text { comprimentos }}_{12+42=54}+\underbrace{1 \text { largura }}_{4+54=58}+\underbrace{1 \text { comprimento }}_{6+58=64}+\underbrace{1 / 2 \text { largura }}_{2+64=66}
\end{aligned}
$$

O caminho de Maricota até o ponto de encontro está indicado na figura :

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_b9d1398cc05f7e479435g-3.jpg?height=471&width=1013&top_left_y=2055&top_left_x=687)

## 2. A soma é 100 -

(a) Inicialmente observe que:

- o maior número é a soma dos outros dois;
- o maior número não pode exceder 50, senão a soma dos três seria maior do que 100 ;
- o maior número não pode ser menor que 50, senão a soma dos três seria menor do que 100 .

Logo, o maior número só pode ser 50.

(b) Os números 3, 47 e 50 formam uma solução do problema.

(c) Existem tantas soluções quantos são os pares de primos que somam 50. A tabela mostra todas as soluções. Logo, esse problema tem 4 soluções.

| 3 | 47 | 50 |
| :---: | :---: | :---: |
| 7 | 43 | 50 |
| 13 | 37 | 50 |
| 19 | 31 | 50 |

## 3. Código de barras -

(a) Primeiramente, escrevemos o CEP na forma de 0's e 1's:

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_b9d1398cc05f7e479435g-4.jpg?height=100&width=888&top_left_y=2274&top_left_x=641)

Podemos, agora, escrever o código de barras desse CEP:

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_b9d1398cc05f7e479435g-4.jpg?height=91&width=694&top_left_y=2487&top_left_x=635)

Lembre que a primeira e a última barra não fazem parte do código.
(b) Primeiramente, escrevemos o código de barras na forma de 0's e 1's:

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_b9d1398cc05f7e479435g-5.jpg?height=149&width=763&top_left_y=585&top_left_x=795)

Podemos, agora, escrever o CEP: 20240020.

## 4. Atletas da escola -

(a)

O número total de alunos na escola é dado pela fração 12/12, que graficamente podemos representar por um retângulo dividido em 12 partes iguais.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_b9d1398cc05f7e479435g-5.jpg?height=251&width=326&top_left_y=1208&top_left_x=1502)

Denotaremos por V, F e NE o número de alunos que jogam somente vôlei, somente futebol e nenhum desses esportes, respectivamente. Agora temos:

- os $1 / 4$ dos alunos que jogam somente vôlei correspondem a 3 quadrados;
- os $1 / 3$ dos alunos que jogam somente futebol correspondem a 4 quadrados;
- os 1/12 dos alunos que não jogam nenhum desses esportes correspondem a 1 quadrado.

| $\mathrm{V}$ | $\mathrm{V}$ | $\mathrm{V}$ | $\mathrm{F}$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| $\mathrm{F}$ | $\mathrm{F}$ | $\mathrm{F}$ | $\mathrm{NE}$ |
|  |  |  |  |

Sobram, então, 4 retângulos para os alunos que não jogam vôlei futebol, ou seja esses 300 alunos correspondem a 4/12 = 1/3 do total dos alunos
da escola. Logo, o total de alunos na escola é

$$
300 \times 3=900
$$

(b) Temos que $\frac{1}{3} \cdot 900=300$ é o total de alunos que jogam somente futebol.

(c) Neste caso, os alunos que jogam futebol são os que jogam só futebol mais os que jogam futebol e vôlei, ou seja, $300+300=600$.

(d) O total de alunos que praticam um dos esportes é $\frac{11}{12} \cdot 900=825$, pois $1 / 12$ dos alunos não praticam nenhum dos esportes.

## 5. Dizima periódica -

(a) Dividindo 1 por 22 temos: $\frac{1}{22}=0,0454545 \ldots$ Observemos que o algarismo 4 está nas posicões pares: $2,4,6, \ldots$ e o algarismo 5 nas posições ímpares: $3,5,7 \ldots$ Como 1997 é um número ímpar temos que o algarismo da $1997^{\text {a }}$ casa decimal é o 5 .

(b) Dividindo 1 por 27 temos: $\frac{1}{27}=0,037037037 \ldots$

Observemos que os algarismos 0,3 e 7 se repetem, sucessivamente, a cada três casas decimais, sendo que o algarismo:

- 0 está nas posições: $1,4,7, \ldots$, ou seja, se divididas por três deixam resto 1 ;
- 3 está nas posições: $2,5,8, \ldots$, ou seja, se divididas por três deixam resto 2 ;
- 7 está nas posições: $3,6,9, \ldots$, ou seja, são múltiplos de 3 .

Como a divisão $1997 \div 3$ deixa resto 2 , o algarismo da $1997^{a}$ casa decimal é o 3.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_b9d1398cc05f7e479435g-6.jpg?height=119&width=209&top_left_y=2459&top_left_x=1506)