# Nível 1
## Lista 1
1. Encontro de amigos - Embora eu esteja certo de que meu relógio está adiantado 5 minutos, ele está, na realidade, com 10 minutos de atraso. Por outro lado, o relógio do meu amigo está realmente 5 minutos adiantado, embora ele pense que está correto. Nós marcamos um encontro às 10 horas e planejamos chegar pontualmente. Quem chegará em primeiro lugar? Depois de quanto tempo chegará o outro?
2. Trabalho comunitário - Uma classe tem 22 alunos e 18 alunas. Durante as férias, $60 \%$ dos alunos dessa classe foram prestar trabalho comunitário. No mínimo, quantas alunas participaram desse trabalho?
(A) 1
(B) 2
(C) 4
(D) 6
(E) 8
3. Área de trapézios - Unindo quatro trapézios iguais de bases $30 \mathrm{~cm}$ e $50 \mathrm{~cm}$ e lados não paralelos iguais, como o da figura, podemos formar um quadrado de área $2500 \mathrm{~cm}^{2}$, com um "buraco" quadrado no meio. Qual é a área de cada trapézio, em $\mathrm{cm}^{2}$ ?
(A) 200
(B) 250
(C) 300
(D) 350
(E) 400
4. Adivinhação - Pensei em 2 números de dois algarismos, que não possuem algarismos em comum, sendo um o dobro do outro. Além disso, os algarismos do menor número são a soma e a diferença dos algarismos do maior número. Quais são os números?
5. 18 números consecutivos - Escreva 18 números consecutivos de 3 algarismos e verifique que um deles é divisível pela soma de seus algarismos.
Isso é sempre verdade. Ou seja: se você escrever 18 números consecutivos de 3 algarismos, então um deles é divisível pela soma de seus algarismos. Mostre este fato.
## Lista 2
1. Completar uma tabela - Descubra a regra utilizada para as casas já preenchidas e complete a tabela. Qual é o valor de A?
| $\mathbf{0}$ | $\mathbf{1}$ | $\mathbf{2}$ | $\mathbf{3}$ | $\mathbf{4}$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $\mathbf{1}$ | 2 | 5 | 10 | |
| $\mathbf{2}$ | | | | |
| $\mathbf{3}$ | | | | |
| $\mathbf{4}$ | | | | A |
2. Procurando múltiplos de 9 - Consideremos um conjunto formado por 10 números naturais diferentes. Se calculamos todas as diferenças entre esses números, pelo menos uma dessas diferenças é um múltiplo de 9?
3. Correndo numa praça - Um atleta costuma correr $15,5 \mathrm{~km}$ ao redor de uma praça retangular de dimensões $900 \mathrm{~m} \times 600 \mathrm{~m}$. Ele inicia a corrida sempre do ponto $P$ situado a $550 \mathrm{~m}$ de um dos vértices correndo no sentido horário, como mostra a figura. Em que ponto da praça ele para?
4. Ovos para um bolo - Uma doceira foi ao mercado comprar ovos para fazer 43 bolos, todos com a mesma receita, que gasta menos de 9 ovos. O vendedor repara que se tentar embrulhar os ovos que a doceira comprou em grupos de 2 ou de 3 ou de 4 ou de 5 ou de 6 ovos, sempre sobra 1 ovo. Quantos ovos ela usa em cada bolo? Qual o menor número de ovos que a doceira vai gastar para fazer os 43 bolos?
5. Cálculos H e V - Você consegue colocar os números de 1 a 8 dentro dos círculos, sem repeti-los, de modo que os cálculos na horizontal e na vertical sejam corretos?
DICA: Quais as possibilidades para a multiplicação? Quais os possíveis lugares para o número 1 ?
## Lista 3
1. Cortando uma cartolina - Uma folha retangular de cartolina foi cortada ao longo de sua diagonal. Num dos pedaços obtidos, foram feitos 2 cortes paralelos aos 2 lados menores e pelos pontos médios desses lados. Ao final sobrou um retângulo de perímetro $129 \mathrm{~cm}$. O desenho abaixo indica a sequência de cortes.
Qual era o perímetro da folha antes do corte?
2. A soma errada - A soma ao lado está incorreta. Para corrigi-la basta 742586 substituir um certo algarismo em todos os lugares que ele aparece na conta $\quad+829430$ por um outro algarismo. Quais são esses dois algarismos? 1212016
3. Número de 5 algarismos - Os algarismos $1,2,3,4$ e 5 foram usados, cada um uma única vez, para escrever um número de 5 algarismos $a b c d e$, tal que: $a b c$ é divisível por $4, b c d$ por 5 , e $c d e$ por 3 . Encontre esse número.
4. Tabela misteriosa - Complete a tabela $6 \times 6$ de modo que em cada linha e cada coluna apareçam apenas múltiplos de um dos números:
$$
2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12
$$
Você pode repetir apenas um número na tabela.
| 32 | | | 40 | | |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| | | | | 49 | |
| | | 22 | | | |
| | 15 | | | | |
| | | 24 | | | |
| | | | | 42 | |
5. Habitantes e esporte - Numa cidade com quase 30 mil habitantes, dois nonos dos homens e dois quinze avos das mulheres pratica esporte somente nos finais de semana, e o número de habitantes que não pratica esporte é o quíntuplo dos que praticam esporte regularmente. Com esses dados, complete a tabela.
| Não praticam esporte | | Praticam esporte somente
nos finais de semana | | Praticam esporte
regularmente | | População |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| fem. | masc. | fem. | masc. | fem. | masc. | total |
| 8563 | 8322 | | | | 1252 | |
## Lista 4
1. Botões luminosos - No mecanismo luminoso da figura, cada um dos oito botões pode acender as cores verde ou azul. O mecanismo funciona do seguinte modo: ao ser ligado, todos os botões acendem a luz azul, e se apertamos um botão, esse botão e seus vizinhos trocam de cor. Se ligarmos o mecanismo e apertarmos sucessivamente os botões 1,3 e 5 , qual será o número de luzes verdes que estarão acesas no final?
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) 7
2. Qual é o número? - Um número de 6 algarismos começa por 1 . Se deslocamos esse algarismo 1 da primeira posição para a última à direita, obtemos um novo número de 6 algarismos que é o triplo do número de partida. Qual é esse número?
3. Jardim variado - Um jardim retangular de $120 \mathrm{~m}$ por $80 \mathrm{~m}$ foi dividido em 6 regiões como na figura, onde $N, M$ e $P$ são pontos médios dos lados, e $R$ divide o comprimento na razão $1 / 3$. Em cada região será plantado um dos seguintes tipos de flor: rosa, margarida, cravo, bem-me-quer, violeta e bromélia, cujos preços, por $\mathrm{m}^{2}$ estão indicados na tabela. Quais as possíveis escolhas das flores em cada região, de modo a gastar o mínimo possível?
| Tipo | Preço por $\mathrm{m}^{2}$ |
| :--- | :---: |
| rosa | 3,50 |
| margarida | 1,20 |
| cravo | 2,20 |
| bem-me-quer | 0,80 |
| violeta | 1,70 |
| bromélia | 3,00 |
4. O algarismo 3 - Luis escreveu a sequência de números naturais a partir de 1:
$$
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, \cdots
$$
Quando ele escreveu o algarismo 3 pela $25^{\text {a }}$ vez?
5. Soma de potências - $\mathrm{O}$ número $3^{444}+4^{333}$ é divisível por 5 ?
## Lista 5
1. Telefonemas - João mora em Salvador e seus pais em Recife. Para matar a saudade, ele telefona para seus pais a cada três dias. O primeiro telefonema foi feito no domingo, o segundo telefonema na $4^{a}$ feira, o terceiro telefonema no sábado, e assim por diante. Em qual dia da semana João telefonou para seus pais pela centésima vez?
2. O maior produto - Com os algarismos de 1 a 5 e um sinal de multiplicação $\times$ Clara forma o produto de 2 números, com o sinal $\times$ entre eles. Como Clara deve colocar os cartões para obter o maior produto possível?
3. O caminho da Joaninha - Dona Joaninha quer atravessar um pátio com azulejos quadrados numerados como mostra a figura. Ela vai partir do ponto $\mathrm{P}$ e quer chegar ao ponto $\mathrm{C}$ andando somente sobre os lados dos azulejos. Dona Joaninha não quer ter números primos à sua direita ao longo de todo o percurso. Qual é o menor percurso que ela pode fazer?
4. O lugar dos amigos - Sete amigos traçaram um triângulo, um quadrado e um círculo. Cada um marcou seu lugar com um número:
Ana: "Eu não falarei nada."
Bento: "Eu estou dentro de uma única figura."
Celina: "Eu estou dentro das três figuras."
Diana: "Eu estou dentro do triângulo mas não do quadrado."
Elisa: "Eu estou dentro do triângulo e do círculo."
Fábio: "Eu não estou dentro de um polígono."
Guilherme: "Eu estou dentro do círculo."
Encontre o lugar de cada um.
5. Quadrado perfeito? - Cada um dos cinco números abaixo tem 100 algarismos, e é formado pela repetição de um ou dois algarismos:
$$
\begin{aligned}
& N_{1}=333333 \ldots 3 \\
& N_{2}=666666 \ldots 6 \\
& N_{3}=151515 \ldots 15 \\
& N_{4}=212121 \ldots 21 \\
& N_{5}=272727 \ldots 27
\end{aligned}
$$
Algum destes números é um quadrado perfeito?
## Lista 6
1. Preenchendo quadradinhos - Complete os quadradinhos com os números $1,2,3,5,6$.
$$
(\square+\square-\square) \times \square \div \square=4
$$
2. Os 3 números - Sofia brinca de escrever todos os números de 4 algarismos diferentes que se pode escrever com os algarismos 1,2,4 e 7 . Ela soma 3 desses números - todos diferentes - e obtém 13983. Quais são esses 3 números?
3. Preencher uma tabela - Jandira deve preencher uma tabela $4 \times 4$ que já vem com duas casas preenchidas com os números 1 e 2 - veja ao lado. Duas casas são consideradas vizinhas se têm um vértice ou um lado em comum.
As regras que ela tem que obedecer são:
- uma casa só pode ser preenchida se alguma de suas casas vizinhas já contém um número;
- ao preencher uma casa, deve-se colocar a soma de todos os números que já constam em suas casas vizinhas.
Qual é o maior número que é possível escrever na tabela?
4. Olimpíada de Pequim - Na Olimpíada de Pequim sentaram-se, em uma mesa quadrada, as mulheres, Maria e Tânia, e os homens, Juan e David, todos atletas. Cada um deles pratica um esporte diferente: natação, vôlei, ginástica e atletismo. Eles estavam sentados da seguinte maneira:
(a) Quem pratica a natação estava à esquerda de Maria.
(b) Quem pratica ginástica estava em frente a Juan.
(c) Tânia e David sentaram-se lado a lado.
(d) Uma mulher sentou-se ao lado de quem pratica volei.
Qual dos atletas pratica atletismo?
5. Culturas diferentes - Jorge, que mora em Recife, se corresponde com seu amigo inglês Ralph que mora na Inglaterra. Os dois se compreendem muito bem nas duas línguas, mas têm um problema com as datas: a data $08 / 10$ no Brasil significa 8 de outubro, e na Inglaterra 10 de agosto. Por causa disso, os dois combinaram não se escrever nos dias em que a data for ambígua. Eles preferem datas como $25 / 03$ que só pode significar 25 de março.
(a) Em quais das datas a seguir Jorge e Ralph não podem se escrever?
(i) 3 de dezembro
(ii) 18 de agosto
(iii) 5 de maio
(b) Quando ocorre o maior período em que os dois amigos não podem se escrever?
## Lista 7
1. Uma liquidação - Na liquidação da loja SUPER-SUPER todos os produtos estão $50 \%$ mais baratos, e aos sábados existe ainda um desconto adicional de $20 \%$. Carla comprou uma calça antes da liquidação, e agora ela se lamenta: Nesse sábado eu teria economizado $R \$ 50,40$ na calça. Qual era o preço da calça antes da liquidação?
2. Número com muitos zeros - Se $a$ é o número $0, \underbrace{000 \ldots 000}_{2009 \text { zeros }} 1$, então qual das expressões a seguir representa o maior número?
(A) $3+a$
(B) $3-a$
(C) $3 a$
(D) $3 / a$
(E) $a / 3$
3. Corrida das tartarugas - Cinco tartarugas apostaram uma corrida em linha reta e na chegada a situação foi a seguinte: Sininha está $10 \mathrm{~m}$ atrás de Olguinha e $25 \mathrm{~m}$ à frente de Rosinha que está $5 \mathrm{~m}$ atrás de Elzinha que está $25 \mathrm{~m}$ atrás de Pulinha. Qual foi a ordem de chegada?
4. Que memória... - Esquecinaldo tem péssima memória para guardar números, mas ótima para lembrar sequências de operações. Por isso, para lembrar do seu código bancário de 5 algarismos, ele consegue se lembrar que nenhum dos algarismos é zero, os dois primeiros algarismos formam uma potência de 5 , os dois últimos formam uma potência de 2 , o do meio é um múltiplo de 3 e a soma de todos os algarismos é um número ímpar. Agora ele não precisa mais decorar o número porque ele sabe que é o maior número que satisfaz essas condições e que não tem algarismos repetidos. Qual é esse código?
5. Uma fração irredutível - Encontre uma fração irredutível tal que o produto de seu numerador pelo denominador seja $2 \times 3 \times 4 \times 5 \times \ldots \times 10$. Quantas dessas frações irredutíveis existem?
## Lista 8
1. Transformar em decimal - Escreva o resultado das seguintes expressões na forma decimal:
(a) $7 \times \frac{2}{3}+16 \times \frac{5}{12}$
(b) $5-\left(2 \div \frac{5}{3}\right)$
(c) $1+\frac{2}{1+\frac{3}{1+4}}$
2. Uma sequência especial - Escrevendo sucessivamente os números naturais, obtemos a sequência:
$$
12345678910111213141516171819202122 \ldots
$$
Qual algarismo está na $2009^{a}$ posição dessa sequência?
3. Cortar um retângulo - Como cortar um retângulo de $13 \mathrm{~cm}$ por $7 \mathrm{~cm}$ em 13 retângulos diferentes?
4. Medida de ângulo - Na figura, $A \widehat{O} D$ e $B \widehat{O} Y$ são ângulos retos e a medida de $D \widehat{O} Y$ está entre $40^{\circ}$ e $50^{\circ}$. Além disso, os pontos $C$ e $Y$ estão sobre a reta $r$, enquanto $D$ e $E$ estão sobre a reta $s$. Os possíveis valores para a medida de $A \widehat{O} C$ variam de:
(A) $30^{\circ}$ a $40^{\circ}$
(B) $40^{\circ}$ a $50^{\circ}$
(C) $50^{\circ}$ a $60^{\circ}$
(D) $40^{\circ}$ a $60^{\circ}$
(E) não podem ser determinados
5. Perímetros e áreas - Um quadrado tem $\sqrt{3}+3 \mathrm{~cm}$ de lado, e as dimensões de um retângulo, em centímetros, são $\sqrt{72}+3 \sqrt{6}$ e $\sqrt{2}$. Qual dos dois tem maior área? E maior perímetro?
6. Cálculo de ângulo - Encontre $B \widehat{A} D$, sabendo que $D \widehat{A C}=39^{\circ}, A B=A C$ e $A D=B D$.
## Lista 9
1. O caminho da formiga - Uma formiga sai de um ponto $A$, anda $7 \mathrm{~cm}$ para a esquerda, $5 \mathrm{~cm}$ para cima, $3 \mathrm{~cm}$ para a direita, $2 \mathrm{~cm}$ para baixo, $9 \mathrm{~cm}$ para a direita, $2 \mathrm{~cm}$ para baixo, $1 \mathrm{~cm}$ para a esquerda e $1 \mathrm{~cm}$ para baixo, chegando no ponto $B$. Qual é a distância d entre $A$ e $B$ ?
(A) $0 \mathrm{~cm}$
(B) $1 \mathrm{~cm}$
(C) $4 \mathrm{~cm}$
(D) $5 \mathrm{~cm}$
(E) $7 \mathrm{~cm}$
2. Menino mentiroso - Joãozinho mente nas terças-feiras, quintas-feiras e sábados e o resto dos dias fala a verdade. Um dia Pedrinho encontra com Joãozinho e têm o seguinte diálogo:
- Pedrinho pergunta: Que dia é hoje?
- Joãozinho responde: Sábado.
- Pedrinho pergunta: E que dia será amanhã?
- Joãozinho responde: Quarta-feira.
Que dia da semana o Pedrinho encontrou com o Joãozinho?
3. Encontre os 4 números - Encontre quatro números distintos de 3 algarismos, tais que a soma de três quaisquer deles é divisível pelo quarto número.
4. Colando 6 triângulos - Construa 6 triângulos equiláteros, o primeiro com lado de comprimento $1 \mathrm{~cm}$ e os triângulos seguintes com lado igual a metade do lado do triângulo anterior, como indicado na figura ao lado. Qual é o perímetro desta figura?
5. Os livros da Elisa - Elisa tem 24 livros de ciências e outros de matemática e literatura. Se Elisa tivesse um livro a mais de matemática, então $\frac{1}{9}$ de seus livros seria de matemática e um quarto de literatura. Se Elisa tem menos que 100 livros, quantos livros de matemática ela possui?
## Lista 10
1. Divisão por 9 -
(a) Listemos os primeiros 20092009 números naturais. Em seguida, substituímos, sucessivamente, cada número pela soma dos seus algarismos, até obtermos uma lista de números com apenas um algarismo. A lista tem mais algarismos 4 ou 5 ? Quantos 9 tem a lista?
(b) Aplicando o mesmo processo ao número $3^{2009}$, isto é, substituindo o número pela soma dos seus algarismos, qual é o número de apenas um algarismo obtido?
(c) E para o número $17^{2009}$ ?
2. Uma brincadeira na sala de aula - A professora Raquel inventou a seguinte brincadeira: escreva um número no quadro, se ele for ímpar acrescente 3 unidades ao número, e se ele for par divida o número por 2.
Esta operação pode ser feita diversas vezes. A professora está interessada em obter no final o número 1 e perguntou para a classe: Como obter o número 1 após 3 operações? E após 4 operações? E após 5 operações?
3. Calcule a idade - Laura e sua avó Ana acabaram de descobrir que, no ano passado, suas idades eram divisíveis por 8 e, no próximo ano, serão divisíveis por 7 . Vovó Ana ainda não é centenária. Qual é a idade de Laura?
4. Divisões e restos - $O$ dobro de um número dividido por 5 deixa resto 1 . Qual o resto da divisão desse número por 5 ?
5. Preenchendo o círculo - Cada um dos sinais $\square, \boxplus, \boxtimes, \boxminus \mathrm{e} \boxminus$ representa um número de 1 algarismo. Descubra quem são eles e complete o número que falta no círculo em branco.
## Soluções do Nível 1
## Lista 1
1. Encontro de amigos - Eu chegarei quando meu relógio marcar $10 \mathrm{~h} 5 \mathrm{~min}$, uma vez que penso que o relógio está adiantado $5 \mathrm{~min}$. Como ele está atrasado $10 \mathrm{~min}$, chegarei, na verdade, as $10 \mathrm{~h} 15 \mathrm{~min}$.
Meu amigo chegará quando seu relógio marcar 10 horas, pois ele pensa que o relógio está correto, mas na realidade serão $9 \mathrm{~h} 55 \mathrm{~min}$. Logo meu amigo chegará 20 min antes de mim.
2. Trabalho comunitário - A resposta correta é (B).
Do número total de alunos dessa classe, $60 \%$ foram prestar trabalho comunitário, isto é, $0,6 \times 40=24$. O número mínimo de alunas que participaram desse trabalho é obtido quando o número de alunos que participaram é máximo, ou seja, quando 22 alunos se envolverem no trabalho, restando o mínimo de 2 vagas para as alunas.
3. Área de trapézios - A resposta correta é (E).
Unindo os quatro trapézios, formamos um quadrado de lado $50 \mathrm{~cm}$, e portanto de área $2500 \mathrm{~cm}^{2}$. Como o "buraco" quadrado tem lado $30 \mathrm{~cm}$, sua área é $30 \times 30=900 \mathrm{~cm}^{2}$. Logo, a área de cada um dos 4 trapézios, em $\mathrm{cm}^{2}$, é
$$
(2500-900) \div 4=1600 \div 4=400
$$
4. Adivinhação - Já de início sabemos sobre o maior número:
- é par por ser o dobro do menor mas não termina em zero porque o maior e o menor número não possuem algarismos em comum;
- seu algarismo das dezenas é no mínimo 2 porque sua metade é um número com 2 algarismos;
- a soma de seus algarismos é no máximo 9 , porque essa soma é um dos algarismos do menor número;
Logo, os candidatos ao maior e menor número são:
| maior | 22 | 32 | 62 | 72 | 34 | 44 | 54 | 26 | 36 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| menor | 11 | 16 | 31 | 36 | 17 | 22 | 27 | 13 | 18 |
Por verificação, temos que 17 e 34 são os números que satisfazem as condições do problema.
5. 18 números consecutivos - Uma sequência de 18 números consecutivos possui sempre 2 termos que são múltiplos de 9 . Logo, a soma dos algarismos de cada um desses 2 números é um múltiplo de 9 . Observe que como os números têm 3 algarismos, a maior das somas que pode ocorrer é 27 . Logo as possibilidades para as somas dos algarismos desses 2 números são:
(i) 9 e 9
(ii) 9 e 18
(iii) 18 e 18
(iv) 18 e 27
Vamos examinar alguns exemplos de cada um dos 4 casos.
(i) 9 e 9
Exemplo: um dos números é 144, e o outro 135 ou 153. Veja algumas possíveis sequências:
(ii) 9 e 18
Exemplo: um dos números é 900 e o outro 891 ou 909 . Veja algumas possíveis sequências:
(iii) 18 e 18
Exemplo: um dos números é 828 e o outro 819 ou 837 . Veja algumas possíveis sequências:
$\underbrace{}_{10 \circ}, \underbrace{}_{11 \varrho}, \underbrace{}_{12 \varrho}, \underbrace{}_{130}, \underbrace{}_{14 \varrho}, \underbrace{837}_{150}, \underbrace{}_{160}, \underbrace{}_{170}, \underbrace{840}_{180}$.
(iv) 18 e 27 .
Nesse caso um dos números é 999 e temos uma única opção para a sequência:
Vamos agora analisar cada caso. Nos casos (i) e (ii) um dos números é divisível por 9 que é a soma de seus algarismos. No caso (iv) um dos números é 999 que é divisível por 27 . Finalmente no caso (iii) um dos números tem de ser par, pois são 2 múltiplos consecutivos de 9 . Logo, esse número é múltiplo de 2 e 9 , portanto múltiplo de 18 .
1. Completar uma tabela - Observe que em cada quadrado formado por 4 quadradinhos, o número que está na parte inferior direita é a soma dos outros 3 números. Assim, temos:
| $\mathbf{0}$ | $\mathbf{1}$ | $\mathbf{2}$ | $\mathbf{3}$ | $\mathbf{4}$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $\mathbf{1}$ | 2 | 5 | 10 | $3+4+10=17$ |
| $\mathbf{2}$ | $1+2+2=5$ | $2+5+5=12$ | $5+10+12=27$ | $10+17+27=54$ |
| $\mathbf{3}$ | 10 | 27 | 66 | 147 |
| $\mathbf{4}$ | 17 | 54 | 147 | $\mathbf{A}$ |
Logo:
$$
\mathbf{A}=66+147+147=360
$$
2. Procurando múltiplos de 9 - Sempre existe uma diferença que é um múltiplo de 9 . De fato, quando dividimos um número por 9 , podemos encontrar nove restos diferentes: $0,1,2,3,4,5,6,7$ ou 8 . Logo, entre os 10 números do conjunto, pelo menos dois deles têm mesmo resto quando divididos por 9 , já que temos no máximo 9 restos diferentes.
Quando fazemos a diferença desses dois números que têm o mesmo resto, obtemos um número com resto zero, ou seja, divisível por 9 .
3. Correndo numa praça - A distância que ele percorre a cada volta completa é igual ao perímetro da praça:
$$
2 \times 900+2 \times 600=3000 \mathrm{~m}
$$
Como $15,5 \mathrm{~km}=15500 \mathrm{~m}$ e $15500=5 \times 3000+500$, o atleta dá 5 voltas completas (partindo de $P$ e retornando a $P$ ), e corre ainda mais $500 \mathrm{~m}$. Portanto, ele para no ponto $Q$, a $150 \mathrm{~m}$ do vértice $B$, como na figura.
4. Ovos para um bolo - Como os 43 bolos têm a mesma receita, o número de ovos que a doceira precisa é um múltiplo de 43. Por outro lado, esse número também é um múltiplo de $2,3,4,5$ e 6 acrescido de 1 . O mmc de $2,3,4,5$ e 6 é 60 , mas $60+1=61$ não é múltiplo de 43! Precisamos, então, encontrar um número com essas duas propriedades:
- é múltiplo de 43 ;
- acrescido de 1 é múltiplo de $2,3,4,5$ e 6 .
Lembre também que como a receita gasta menos de 9 ovos, o número que estamos procurando é menor do que $43 \times 9=387$. Temos:
$$
\begin{array}{ll}
60 \times 2+1=121 & \text { não é múltiplo de } 43 \\
60 \times 3+1=181 & \text { não é múltiplo de } 43 \\
60 \times 4+1=241 & \text { não é múltiplo de } 43 \\
60 \times 5+1=301 & \text { é múltiplo de } 43 \\
60 \times 6+1=361 & \text { não é múltiplo de } 43
\end{array}
$$
Podemos parar por aqui porque os próximos números serão maiores do que 387. Logo, a doceira comprou 301 ovos.
5. Cálculos H e V - Inicialmente, veja que os possíveis lugares para o número 1 estão mostrados ao lado. Já as multiplicações só podem ser $2 \times 3=6$ e $2 \times 4=8$. Agora, repare que o 2 só pode ser o multiplicando e não o multiplicador (tente colocá-lo como multiplicador e veja que isso não é possível).
Temos agora duas opções para preencher.
1-a opção: $2 \times 3=6$
2a opção: $2 \times 4=8$
(6) $\div(3)=(2)$
(4)
(1) +7 (7) 8
## Lista 3
1. Cortando uma cartolina - Os lados do retângulo final obtido após os cortes são, cada um, a metade dos lados da cartolina original. Assim, o perímetro do retângulo original é o dobro do perímetro do retângulo final. Logo, o perímetro da cartolina antes do corte é $2 \times 129=258 \mathrm{~cm}$.
Observação. Ao fazer um corte paralelo a um dos lados do triângulo e pelo ponto médio desse lado, o outro corte que formará o retângulo, só pode ocorrer no ponto médio do outro lado, em vista da semelhança que ocorre desses triângulos. Assim, o enunciado contém um dado a mais, desnecessário para os que conhecem semelhança de triângulos.
2. A soma errada - À primeira inspeção, podemos admitir que os três algarismos à direita dos números estão corretos, isto é, estão corretos os algarismos $0,1,3,4,5,6$ e 8 . Portanto, dentre os algarismos 2, 7 e 9, um deles está errado. O algarismo 9 está certo, pois se o mudarmos, a soma com 2 não estará certa. Sendo assim, sobraram 2 e 7 . Se o 7 estiver errado, então 2 estará correto, mas isso não é possível pois $1+4+2=7$. Logo, o 2 é que deve ser substituído. Olhando novamente para a soma $1+4+2$, vemos que o resultado é um número com o algarismo da unidade igual a 1. Logo, o algarismo 2 deve ser substituído por 6 . Fazendo a substituição, verificamos que a soma fica correta.
3. Número de 5 algarismos - Para que $a b c$ seja divisível por 4 , seus dois últimos algarismos devem formar um número divisível por 4 . Como os algarismos são $1,2,3,4$ e 5, as únicas possibilidades são: $b c=12, b c=24, b c=32, b c=52$. Por outro lado, os números divisíveis por 5 terminam em 0 ou 5 . Como 0 não está incluído, segue que $d=5$ pois $b c d$ é divisível por 5 . Isso exclui a possibilidade $b c=52$ porque não podemos repetir o 5. Até agora temos 3 possibilidades:
$$
a 125 e, \quad a 245 e, \quad a 325 e
$$
Vamos agora examinar esses 3 casos, para escolher os algarismos $a$ e $e$, lembrando que não pode haver repetição.
Logo, o número é 12453 .
4. Tabela misteriosa - Observemos que:
- na última coluna estarão os múltiplos de 9 porque essa coluna está em branco e nenhum dos números que aparecem na tabela é múltiplo de 9 ;
- na 5 a linha estarão os múltiplos de 12 , pois é nessa linha que aparece o único múltiplo de 12 da tabela (24);
- na 4a coluna estarão os múltiplos de 10 , pois 40 é o único múltiplo de 10 na tabela;
- na $5^{a}$ coluna teremos múltiplos de 7 , pois 42 e 49 são os únicos múltiplos de 7 na tabela;
- na $2^{\text {a }}$ linha estarão os múltiplos de 7 , porque 1 e 7 são os únicos divisores de 49 menores do que 12 ;
- na $3^{\text {a }}$ coluna aparecerão os múltiplos de 2 , pois 2 é o único divisor comum de 22 e 24 diferente de 1 ;
- na $3^{\mathbf{a}}$ linha aparecerão os múltiplos de 11 , pois $22=2 \times 11$ e os múltiplos de 2 já estão na 3 ạ coluna;
- na 6 a linha aparecerão os múltiplos de 6 , pois os divisores de $42=2 \times 3 \times 7$ menores do que 12 e diferentes de 1 são $2,3,6$ e 7 . Os múltiplos de 2 e 7 já estão em seus respectivos lugares. Faltam os múltiplos de 3 e 6 . Os únicos múltiplos de 6 na tabela são 24 e 42 , e 24 já aparece na $5^{a}$ linha.
Como $15=3 \times 5$ e os divisores comuns de 32 e 40 , menores do que 12 e diferentes de 1 , são 2 (já colocado na tabela), 4 e 8 , até o momento temos a seguinte situação:
| | 4 ou 8 | 3 ou 5 | 2 | 10 | 7 | 9 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 4 ou 8 | 32 | | | 40 | | |
| 7 | | | $\mathbf{1 4}$ | $\mathbf{7 0}$ | 49 | $\mathbf{6 3}$ |
| 11 | | | 22 | $\mathbf{1 1 0}$ | $\mathbf{7 7}$ | $\mathbf{9 9}$ |
| 3 ou 5 | | 15 | | | | |
| 12 | | | 24 | $\mathbf{1 2 0}$ | $\mathbf{8 4}$ | $\mathbf{1 0 8}$ |
| 6 | | | $\mathbf{1 2}$ | $\mathbf{6 0}$ | 42 | $\mathbf{5 4}$ |
Examinemos agora as possibilidades:
I - Repetição de 2 números: 30 e 60
| | 8 | 5 | 2 | 10 | 7 | 9 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 4 | 32 | 20 | 8 | 40 | 28 | 36 |
| 7 | 56 | 35 | 14 | 70 | 49 | 63 |
| 11 | 88 | 55 | 22 | 110 | 77 | 99 |
| 3 | 24 | 15 | 6 | $\mathbf{3 0}$ | 21 | 27 |
| 12 | 96 | $\mathbf{6 0}$ | 24 | 120 | 84 | 108 |
| 6 | 48 | $\mathbf{3 0}$ | 12 | $\mathbf{6 0}$ | 42 | 54 |
II - Repetição de 3 números: 24, 30 e 60
| | 4 | 5 | 2 | 10 | 7 | 9 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 8 | 32 | 40 | 16 | 80 | 56 | 72 |
| 7 | 28 | 35 | 14 | 70 | 49 | 63 |
| 11 | 44 | 55 | 22 | 110 | 77 | 99 |
| 3 | 12 | 15 | 6 | $\mathbf{3 0}$ | 21 | 27 |
| 12 | 48 | $\mathbf{6 0}$ | $\mathbf{2 4}$ | 120 | 84 | 108 |
| 6 | $\mathbf{2 4}$ | $\mathbf{3 0}$ | 12 | $\mathbf{6 0}$ | 42 | 54 |
III - Repetição de 2 números: 12 e 40
| | 8 | 3 | 2 | 10 | 7 | 9 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 4 | 32 | $\mathbf{1 2}$ | 8 | $\mathbf{4 0}$ | 28 | 36 |
| 7 | 56 | 21 | 14 | 70 | 49 | 63 |
| 11 | 88 | 33 | 22 | 110 | 77 | 99 |
| 5 | $\mathbf{4 0}$ | 15 | 10 | 50 | 35 | 45 |
| 12 | 96 | 36 | 24 | 120 | 84 | 108 |
| 6 | 48 | 18 | $\mathbf{1 2}$ | 60 | 42 | 54 |
IV - Repetição de apenas um número: 24
| | 4 | 3 | 2 | 10 | 7 | 9 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 8 | 32 | $\mathbf{2 4}$ | 16 | 80 | 56 | 72 |
| 7 | 28 | 21 | 14 | 70 | 49 | 63 |
| 11 | 44 | 33 | 22 | 110 | 77 | 99 |
| 5 | 20 | 15 | 10 | 50 | 35 | 45 |
| 12 | 48 | 36 | $\mathbf{2 4}$ | 120 | 84 | 108 |
| 6 | $\mathbf{2 4}$ | 18 | 12 | 60 | 42 | 54 |
Logo, a única solução é a tabela IV.
5. Habitantes e esporte - Dos dados na tabela temos $8563+8322=16885$ pessoas que não praticam esporte. Logo, a cidade tem $16885 \div 5=3377$ pessoas que praticam esporte regularmente, e portanto $3377-1252=2125$ pessoas do sexo feminino praticam esporte regularmente.
Note que o número de pessoas que praticam esporte somente no fim de semana é divisível por 15 e por 9. Logo, precisamos encontrar o maior número, não superior a 30000 , múltiplo de 15 e 9 . Este número deve terminar em 0 ou 5 e a soma de seus algarismos deve ser um múltiplo de 9 . Como 29970 é o número mais próximo de 30000 , menor do que 30000 e múltiplo de 5 e 9 , podemos assumir que ele é a população total da cidade.
Logo, $\frac{2}{15} \times 29970=3996$ e $\frac{2}{9} \times 29970=6660$ são as mulheres e os homens, respectivamente, que praticam esporte somente nos finais de semana.
## Lista 4
1. Botões luminosos - A resposta correta é (C).
A tabela mostra a cor de cada botão em cada etapa.
| | $\mathbf{1}$ | $\mathbf{2}$ | $\mathbf{3}$ | $\mathbf{4}$ | $\mathbf{5}$ | $\mathbf{6}$ | $\mathbf{7}$ | $\mathbf{8}$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| início | azul | azul | azul | azul | azul | azul | azul | azul |
| apertando botão 1 | verde | verde | azul | azul | azul | azul | azul | verde |
| apertando botão 3 | verde | azul | verde | verde | azul | azul | azul | verde |
| apertando botão 5 | verde | azul | verde | azul | verde | verde | azul | verde |
Logo, os botões que ficaram com luzes verdes acesas no final são $1,3,5,6$ e 8 , o que nos dá um total de 5 botões.
2. Qual é o número? - O problema é determinar os algarismos $a, b, c, d$ e $e$ tais que o número $a b c d e 1$ seja o triplo de $1 a b c d e$ 1abcde:
$$
\frac{\times 3}{a b c d e 1}
$$
De início vemos que $e=7$, e a partir daí podemos ir descobrindo cada um dos algarismos:
| $1 a b c d 7$ | $1 a b c 57$ | $1 a b 857$ | $1 a 2857$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| $\times 3$ | $\times 3$ | $\times 3$ | $\times 3$ |
| $a b c d 71$ | $a b c 571$ | $a b 8571$ | $a 2857$ |
Portanto, $a=4$ e o número de partida é 142857 .
3. Jardim variado - Os triângulos $1,2,5$ e 6 são retângulos, logo para calcular suas áreas vamos "enxergar" cada um deles como metade de um retângulo. Para isso precisamos saber dividir o terreno retangular em retângulos menores, de modo que nossa estratégia funcione: subdividimos o terreno em 16 retângulos de $15 \mathrm{~m}$ por $40 \mathrm{~m}$, como mostra a figura. Cada um desses retângulos tem $15 \times 40=600 \mathrm{~m}^{2}$ de área.
Temos então:
- área do triângulo $1=$ área do triângulo $5=\frac{1}{2} \times 4 \times 600=1200 \mathrm{~m}^{2}$
- área do triângulo $2=\frac{1}{2} \times 6 \times 600=1800 \mathrm{~m}^{2}$
- área do triângulo $6=\frac{1}{2} \times 2 \times 600=600 \mathrm{~m}^{2}$.
Observe que a área do triângulo 4 é a metade da área do terreno todo subtraída das áreas de 3 triângulos: triângulo 5 , triângulo 6 e um triângulo formado por metade de 4 desses retângulos menores, temos então:
área do triângulo $4=\frac{120 \times 80}{2}-\left(1200+600+\frac{4 \times 600}{2}\right)=4800-3000=1800 \mathrm{~m}^{2}$.
Finalmente, a área do triângulo 3 é a área total do terreno subtraída da soma das áreas já calculadas dos outros 5 triângulos
$$
120 \times 80-(2 \times 1200+2 \times 1800+600)=9600-6600=3000 \mathrm{~m}^{2}
$$
Para que o gasto seja o menor possível, as flores mais caras devem ser plantadas nas menores regiões. Assim, a menor região é a 6 , onde deve ser plantada a flor mais cara, rosa, gastando $3,50 \times 600=2100,00$. A maior região é a 3 onde deve ser plantada a flor mais barata, bem-me-quer, gastando $0,80 \times 3000=2400,00$.
As regiões 1 e 5 com áreas iguais a $1200 \mathrm{~m}^{2}$ devem ser plantadas bromélias e cravos, tendo os gastos: $(3,00+2,20) \times 1200=6240$.
As regiões 2 e 4 com áreas $1800 \mathrm{~m}^{2}$ devem ser plantadas margarida e violeta com gasto de $(1,20+1,70) \times 1800=5220$. Temos então 4 diferentes maneiras de formar o jardim mantendo o mesmo preço mínimo.
O gasto mínimo é $2100+2400+6240+5220=\mathrm{R} \$ 15960,00$. Veja a seguir uma das 4 possibilidades de escolhas das flores com o menor orçamento.
| Região | Área $\mathrm{m}^{2}$ | Flor | Preço $^{2}$ | Total por flor |
| :---: | :---: | :--- | :---: | :---: |
| 1 | 1200 | bromélia | 3,00 | $3,00 \times 1200=3600$ |
| 2 | 1800 | margarida | 1,20 | $1,20 \times 1800=2160$ |
| 3 | 3000 | bem-me quer | 0,80 | $0,80 \times 3000=2400$ |
| 4 | 1800 | violeta | 1,70 | $1,70 \times 1800=3060$ |
| 5 | 1200 | cravo | 2,20 | $2,20 \times 1200=2640$ |
| 6 | 600 | rosa | 3,50 | $3,50 \times 6=2100$ |
| | | | TOTAL: 15960 | |
4. O algarismo 3 - Vejamos cada vez que Luis escreveu o algarismo 3:
- $3 \rightarrow 1$;
- $\underbrace{13,23}_{2}, \underbrace{30,31,32,33, \ldots, 39}_{11}, \underbrace{43, \ldots, 93}_{6} \rightarrow 2+6+11=19$;
Até aqui ele escreveu 20 vezes o algarismo 3. Daí temos:
$$
\underbrace{103}_{21 \mathrm{a}}, \underbrace{113}_{22 \mathrm{a}}, \underbrace{123}_{23 \mathrm{a}}, \underbrace{130}_{24^{\mathrm{a}}}, \underbrace{131}_{25 \mathrm{a}} .
$$
Logo, ao escrever o número 131, ele escreveu o algarismo 3 pela 25 a vez.
5. Soma de potências - Existe um padrão para o algarismo das unidades de uma potência de 3: ele tem período 4 , pois se repete de 4 em 4 vezes.
$$
\begin{aligned}
& 3 \\
& 3^{2}=9 \\
& 3^{3}=27 \\
& 3^{4}=81 \\
& 3^{5}=243 \\
& 3^{6}=\ldots 9 \\
& 3^{7}=\ldots 7 \\
& 3^{8}=\ldots 1
\end{aligned}
$$
Como 444 é múltiplo de 4 , o algarismo das unidades de $3^{444}$ é 1 .
Analogamente, o algarismo das unidades de potências de 4 tem período 2. De fato temos:
$$
\begin{array}{ll}
4^{1}=4 & ; \quad 4^{3}=64 \\
4^{2}=16 \quad & ; \quad 4^{4}=256
\end{array}
$$
Como 333 é ímpar, o algarismo das unidades de $4^{333}$ é 4 . Portanto, o algarismo das unidades de $3^{444}+4^{333}$ é $1+4=5$, e logo ele é divisível por 5 .
LEMBRE: Os números divisíveis por 5 terminam em 0 ou em 5
## Lista 5
1. Telefonemas - Uma vez que João liga para seus pais a cada 3 dias, podemos montar uma tabela que indica os dias da semana em que ocorreram os 14 primeiros telefonemas do João:
| Domingo | Segunda | Terça | Quarta | Quinta | Sexta | Sábado |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 1 | 6 | 4 | 2 | 7 | 5 | 3 |
Analisando a primeira linha dessa tabela percebemos que são 7 telefonemas, 1 em cada dia da semana e que, a partir do 70 telefonema, os dias começam a se repetir. Isto implica que, os números que aparecem na segunda linha da tabela são obtidos dos números que aparecem na primeira linha somados de 7 .
Por exemplo, João telefonará para seus pais aos domingos nos telefonemas de números:
$$
\begin{aligned}
& 1 \\
& 1+7=8 \\
& 8+7=15 \\
& 15+7=22 \\
& 22+7=29 \\
& 29+7=36
\end{aligned}
$$
ou seja, nos números que deixam resto 1 quando divididos por 7 .
Com este raciocínio podemos determinar o dia da semana que cai uma ligação, analisando o resto da divisão do número do telefonema por 7 .
| Domingo | Segunda | Terça | Quarta | Quinta | Sexta | Sábado |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 1 | 6 | 4 | 2 | 7 | 5 | 3 |
| 8 | 13 | 11 | 9 | 14 | 12 | 10 |
| $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ |
| $\uparrow$ | $\uparrow$ | $\uparrow$ | $\uparrow$ | $\uparrow$ | $\uparrow$ | $\uparrow$ |
| resto 1 | resto 6 | resto 4 | resto 2 | resto 0 | resto 5 | resto 3 |
Dividindo 100 por 7 , obtemos $100=7 \times 14+2$. Logo, o resto da divisão de 100 por 7 é 2 , e segue que o 100 o telefonema será numa quarta-feira.
2. O maior produto - Observe que obtemos o maior resultado possível se um dos números começar com o algarismo 5 e o outro com 4 . Vejamos as possibilidades que dão o maior produto:
- um dos fatores tem 1 algarismo:
$5321 \times 4=21284 ; 4321 \times 5=21605$
- um dos fatores tem 2 algarismos:
$532 \times 41=21812 ； 531 \times 42=22302 ； 521 \times 43=22403$
É bom usar uma calculadora.
$432 \times 51=22032 ； 431 \times 52=22412 ； 421 \times 53=22313$.
Logo, o melhor resultado é $431 \times 52=22412$.
3. O caminho da Joaninha - Os números primos que aparecem na tabela são: $23,73,37,17$, $79,19,37,53$ e 251 . Logo, o caminho a ser percorrido pela Joaninha é apresentado na figura a seguir:
| | | | | |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 23 | 213 | 73 | 37 | 17 |
| 218 | 79 | 65 | 19 | 57 |
| 37 | 53 | 231 | 87 | 251 |
4. O lugar dos amigos -
Observe que 3 é o único número dentro das três figuras, e 1 é o único que não está dentro de um polígono, logo:
Celina $\rightarrow 3 ; \quad$ Fábio $\rightarrow 1$.
Agora, 4 é o único número dentro do triângulo e do círculo, logo: Elisa $\rightarrow 4$. Nessa situação, 5 é o único dentro do triângulo mas não do quadrado, assim Diana $\rightarrow 5$.
Finalmente, 7 é o único número dentro de uma única figura, logo: Bento $\rightarrow 7$. Resta então, 2 dentro do círculo, assim Guilherme $\rightarrow 2$, e 6 para Ana.
5. Quadrado perfeito? - Lembre que um número é um quadrado perfeito se na sua decomposição em fatores primos os expoentes são todos pares. Por exemplo:
- $5^{4} \times 7^{6} \times 13^{2}$ é quadrado perfeito, pois é igual a $\left(5^{2} \times 7^{3} \times 13\right)^{2}$.
Como nenhum número elevado ao quadrado termina em 3 , segue que $N_{1}=333 \ldots 3$ não é um quadrado.
Temos que $N_{2}=666 \ldots 6=2 \times 333 \ldots 3$. Como $333 \ldots 3$ é ímpar, então na decomposição de $N_{2}$ em fatores primos não aparece 2 com expoente par. Logo, $N_{2}$ não é quadrado.
Vejamos a divisibilidade por 3. A soma dos algarismos de cada um dos números é:
$$
\begin{aligned}
& N_{3} \leadsto 50 \times 15=750 \\
& N_{4} \leadsto 50 \times 21=1050 \\
& N_{5} \leadsto 50 \times 27=1350
\end{aligned}
$$
Como todas essas somas são divisíveis por 3 , todos os números também são divisíveis por 3. Logo, se algum deles fosse um quadrado perfeito teria que ser divisível por 9 .
A soma dos algarismos de $N_{3}$ e $N_{4}$ não é divisível por 9 , logo esses números não são divisíveis por 9 e, consequentemente, não são quadrados perfeitos.
Como 1350 é divisível por 9 , então $N_{5}$ é divisível por 9 . Temos:
$$
2727272727 \ldots 27 \div 9=303030 \ldots 03
$$
e
$$
303030 \ldots 03 \div 3=101010 \ldots 01
$$
logo:
$$
2727272727 \ldots 27=3^{2} \times 303030 \ldots 03=3^{3} \times 101010 \ldots 01
$$
Note que $101010 \ldots 01$ tem 49 algarismos, dos quais 25 são iguais a 1 e os outros iguais a 0 . Logo a soma de seus algarismos é 25 e portanto não é divisível por 3 . Assim, 2727272727 . . 27 é divisível por $3^{2}$ mas não por $3^{4}$, e por isso concluímos que não é um quadrado perfeito.
## Lista 6
1. Preenchendo quadradinhos - A operação é equivalente a
$$
(\square+\square-\square) \times \square=4 \times
$$
Logo, o lado esquerdo da igualdade é um múltiplo de 4, portanto as únicas possibilidades são:
$$
(\square+\square-\square) \times \square=4 \times \square \quad \text { ou } \quad(\square+\square-\square) \times \square=4 \times \square
$$
Daí, podemos concluir que:
$$
(\boxed{3}+5-\square) \times \square=4 \times \square \quad \text { ou } \quad(6+5-\square) \times \square=4 \times \square
$$
2. Os 3 números - Como 13983 termina em 3, a soma dos algarismos das unidades dos 3 números deve ser 13 , e para isso só temos uma opção: $2+$ $4+7=13$.
| | | | | 2 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| | | | | 4 |
| | | | | 7 |
| 1 | 3 | 9 | 8 | 3 |
Agora, a soma dos algarismos das dezenas deve ser $8-1=7$, e logo tem de ser $1+2+4=7$. Completamos os algarismos das dezenas, tendo o cuidado de não repetir o mesmo algarismo num mesmo número. Temos três opções:
| | | | 1 | 2 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| | | | 2 | 4 |
| | | | 4 | 7 |
| 1 | 3 | 9 | 8 | 3 |
| | | | | | | | | 1 | | | |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| | | | 4 | 2 | | | | | | | |
| | | | 1 | 4 | | | | | | | |
| | | | 2 | 7 | | | | | | | |
| 1 | 3 | 9 | 8 | 3 | | | | | | | |
Os algarismos das centenas devem somar 9 , aí temos duas opções: $4+4+1$ e $1+1+7$. Como nas três possibilidades anteriores o algarismo 4 ocorre em dois dos três números, escolhemos a segunda opção, para que não apareça o algarismo 4 repetido. Temos de tomar cuidado para que 1 e 7 também não apareçam repetidos.
| | | 7 | 1 | 2 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| | | 1 | 2 | 4 |
| | | 1 | 4 | 7 |
| 1 | 3 | 9 | 8 | 3 |
| | | 1 | 4 | 2 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| | | 7 | 1 | 4 |
| | | 1 | 2 | 7 |
| 1 | 3 | 9 | 8 | 3 |
Finalmente, os algarismos das unidades de milhar devem somar 13, agora é fácil escolhêlos:
| | 4 | 7 | 1 | 2 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| | 7 | 1 | 2 | 4 |
| | 2 | 1 | 4 | 7 |
| 1 | 3 | 9 | 8 | 3 |
| | 7 | 1 | 4 | 2 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| | 2 | 7 | 1 | 4 |
| | 4 | 1 | 2 | 7 |
| 1 | 3 | 9 | 8 | 3 |
3. Preencher uma tabela - Existem várias maneiras de preencher a tabela, dependendo de como selecionamos a casa a ser preenchida. A cada vez temos várias casas que podem ser preenchidas.
Veja um exemplo de como preencher a tabela: inicialmente temos 4 casas que podem ser preenchidas - marcadas com $X$. Escolhemos uma delas e preenchemos de acordo com a segunda regra, e repetimos esse processo até a tabela estar completamente preenchida.
Mas para colocar em cada casa o maior número possível, a ideia é a cada vez examinar todas as casas que podem ser preenchidas, e só preencher a casa onde podemos colocar o maior número. Se em duas dessas casas o número a ser colocado é o mesmo, preencheremos a que tem o menor número de vizinhos preenchidos. Vamos lá!
| | | | |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| | | | |
| 3 | | | |
| 1 | 2 | | |
| | | | |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| 9 | 18 | | |
| 3 | 6 | | |
| $\mathbf{1}$ | $\mathbf{2}$ | | |
| 27 | 54 | 72 | |
| :---: | :---: | :---: | :--- |
| 9 | 18 | 144 | |
| 3 | 6 | | |
| $\mathbf{1}$ | $\mathbf{2}$ | | |$\Rightarrow$| 27 | 54 | 72 | 216 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 9 | 18 | 144 | |
| 3 | 6 | | |
| $\mathbf{1}$ | $\mathbf{2}$ | | |$\Rightarrow$| 27 | 54 | 72 | 216 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 9 | 18 | 144 | 432 |
| 3 | 6 | | |
| $\mathbf{1}$ | $\mathbf{2}$ | | |
| 27 | 54 | 72 | 216 | $\Rightarrow$ | 27 | 54 | 72 | 216 | | 2 | 5 | 72 | 216 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 9 | 18 | 144 | 432 | | 9 | 18 | 144 | 432 | | $\bar{g}$ | $\overline{1 \varepsilon}$ | $\overline{14}$ | 432 |
| 3 | 6 | | 576 | | 3 | 6 | 1178 | 576 | | 3 | 6 | $\overline{117}$ | 576 |
| 1 | 2 | | | | 1 | 2 | | | | 1 | $\overline{2}$ | | 1754 |
| 27 | 54 | 72 | 216 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 9 | 18 | 144 | 432 |
| 3 | 6 | 1178 | 576 |
| $\mathbf{1}$ | $\mathbf{2}$ | 3516 | 1754 |
Logo, o maior número é 3516 .
4. Olimpíada de Pequim - Para iniciar, escolhemos um lugar para Maria.
(a) Quem pratica natação está à esquerda de Maria. Logo, só podemos ter a configuração abaixo.
(b) Quem pratica ginástica está na frente de Juan. Existem duas únicas possibilidades: Maria pratica ginástica ou Maria não pratica ginástica.
Maria pratica ginástica
Maria não pratica ginástica
(c) Como Tânia e David sentaram-se juntos, então somente a segunda opção do item anterior - Maria não pratica ginástica - pode satisfazer essa condição. Ela gera as seguintes duas possibilidades:
(d) Como uma mulher sentou-se ao lado de quem pratica vôlei, a segunda opção do item anterior é a correta, e temos:
Logo, David ou Maria pratica atletismo.
## 5. Culturas diferentes -
(a) (i) $03 / 12$ significa para Ralph 12 de março e para Jorge 3 de dezembro; logo é ambígua.
(ii) 18/08 só pode ser mesmo 18 de agosto.
(iii) $05 / 05$ só pode ser 5 de maio.
Logo, (i) é uma data que eles não podem se escrever.
(b) A data só é ambígua quando o número do dia pode representar também um número do mês, logo quando é um número de 1 a 12. Por outro lado, nesses números não há ambiguidade quando o número do mês é igual ao número do dia, por exemplo 05/05, que só pode ser 5 de maio. Por isso, em cada mês eles têm de evitar 11 dias. Logo, os períodos mais longos que eles não podem se escrever ocorrem em 11 dias consecutivos em janeiro de 02 a 12 de janeiro, e em dezembro, de 02 a 12 de dezembro. Observe que nos outros meses os períodos que eles não podem se escrever são menores, veja os exemplos:
- em abril eles não podem se escrever de 01/04 a 03/04 e depois de 05/04 a $12 / 04$.
- em setembro eles não podem se escrever de 01/09 a 08/09 e depois de 10/09 a $12 / 09$.
## Lista 7
1. Uma liquidação - Na liquidação, exceto nos sábados, os preços estão valendo $50 \%$ dos preços originais. Nos sábados, com o desconto adicional de $20 \%$, os preços valem $80 \%$ dos preços fora dos sábados, ou seja
$$
80 \% \text { de } 50 \%=\frac{80}{100} \times \frac{50}{100}=\frac{40}{100}=40 \% \text { do preço fora de liquidação. }
$$
Logo, Roberta deixou de economizar $60 \%$ que corresponde a $\mathrm{R} \$ 50,40$. Temos:
$$
\begin{array}{ll}
60 \% & \Rightarrow 50,40 \\
10 \% & \Rightarrow 50,40 \div 6=8,4 \\
100 \% & \Rightarrow 8,4 \times 10=84
\end{array}
$$
O preço da calça antes da liquidação era de $R \$ 84,00$.
2. Número com muitos zeros - A resposta correta é (D).
Vamos tentar comparar os 5 números sem efetuar cálculos. Temos:
$$
\begin{aligned}
3+a= & 3,000 \ldots 0001 \text { é menor do que } 4 \\
3-a & \text { é menor do que } 3 \\
3 a= & 0,000 \ldots 0003 \text { é menor do que } 1 \\
\frac{3}{a}= & \frac{3}{0,000 \ldots 0001}=\frac{3}{\frac{1}{10^{2010}}}=3 \times 10^{2010} \text { é maior do que } 10 \\
\frac{a}{3}= & \frac{0,000 \ldots 0001}{3} \text { é menor do que } 0,000 \ldots 0001
\end{aligned}
$$
Logo, o maior número é $\frac{3}{a}$.
3. Corrida das tartarugas - Vamos representar cada tartaruga numa reta, utilizando a sua letra inicial. Temos então a seguinte situação:
Logo, Sininha está $20 \mathrm{~m}$ à frente de Elzinha. Portanto, Pulinha está $5 \mathrm{~m}$ à frente de Sininha. A ordem de chegada forma a palavra: OPSER.
4. Que memória... - O número começa com 25 porque $5^{2}$ é a única potência de 5 com 2 algarismos.
Os candidatos aos 2 últimos algarismos são as potências de 2 com 2 algarismos: 16, 32 e 64 :
$$
25 \_16, \quad 25 \_32, \quad 25 \_64 \text {. }
$$
Já o algarismo do meio pode ser 3,6 ou 9 . Para escolher entre esse números, lembremos que a soma dos 5 algarismos é ímpar, e como $2+5$ é ímpar, a soma dos 3 últimos tem de ser par. Nessa situação temos os números
$$
25316,25916,25332,25932,25664
$$
Dentre esses números os que não têm algarismos repetidos são
$$
25316,25916 \text {. }
$$
Logo, o código é 25916 .
5. Uma fração irredutível - Para que a fração seja irredutível, o numerador e o denominador não podem ter fator comum.
Inicialmente, vamos ver quais são os fatores primos de $N=2 \times 3 \times 4 \times 5 \times \ldots \times 10$ :
$$
2 \times 3 \times \underbrace{4}_{2^{2}} \times 5 \times \underbrace{6}_{2 \times 3} \times 7 \times \underbrace{8}_{2^{3}} \times \underbrace{9}_{3^{2}} \times \underbrace{10}_{2 \times 5}
$$
Logo, a decomposição de $N$ em fatores primos é:
$$
N=2^{8} \times 3^{4} \times 5^{2} \times 7(*)
$$
Podemos escolher diversas frações que satisfazem o problema. Por exemplo:
(i) O numerador tem apenas 1 fator de $(*)$ :
$$
\frac{2^{8}}{3^{4} \times 5^{2} \times 7} ; \frac{3^{4}}{2^{8} \times 5^{2} \times 7} ; \frac{5^{2}}{2^{8} \times 3^{4} \times 7} ; \frac{7}{2^{8} \times 3^{4} \times 5^{2}} .
$$
Nesse caso temos 4 frações mais as 4 frações inversas, com denominadores com apenas 1 fator de $(*)$.
Não podemos esquecer do número 1 , obtendo as 2 frações:
$$
\frac{1}{2^{8} \times 3^{4} \times 5^{2} \times 7} ; \frac{2^{8} \times 3^{4} \times 5^{2} \times 7}{1} .
$$
(ii) O numerador tem 2 fatores de $(*)$ :
$$
\frac{2^{8} \times 3^{4}}{5^{2} \times 7} ; \frac{2^{8} \times 5^{2}}{3^{4} \times 7} ; \frac{2^{8} \times 7}{3^{4} \times 5^{2}} ; \frac{3^{4} \times 5^{2}}{2^{8} \times 7} ; \frac{3^{4} \times 7}{2^{8} \times 5^{2}} ; \frac{5^{2} \times 7}{2^{8} \times 3^{4}}
$$
Nesse caso temos 6 frações.
(iii) O numerador tem 3 fatores de $(*)$ :
$$
\frac{2^{8} \times 3^{4} \times 5^{2}}{7} ; \frac{2^{8} \times 3^{4} \times 7}{5^{2}} ; \frac{2^{8} \times 5^{2} \times 7}{3^{4}} ; \frac{3^{4} \times 5^{2} \times 7}{2^{8}} .
$$
Ao todo temos 16 frações irredutíveis.
## Lista 8
1. Transformar em decimal - Temos:
(a) $7 \times \frac{2}{3}+16 \times \frac{5}{12}=\frac{14}{3}+\frac{20}{3}=\frac{34}{3}=11,3333 \ldots$
(b) $5-\left(2 \div \frac{5}{3}\right)=5-\left(2 \times \frac{3}{5}\right)=5-\frac{6}{5}=5-1,2=3,8$
(c) $1+\frac{2}{1+\frac{3}{1+4}}=1+\frac{2}{1+\frac{3}{5}}=1+\frac{2}{\frac{8}{5}}=1+2 \times \frac{5}{8}=1+\frac{10}{8}=1+1,25=2,25$.
2. Uma sequência especial -
- os números 1 a 9 ocupam 9 posições;
- os números 10 a 99 ocupam $2 \times 90=180$ posições;
- os números 100 a 199 ocupam $3 \times 100=300$ posições; os de 200 a 299 ocupam $3 \times 100=300$ posições; os números 300 a 399 ocupam $3 \times 100=300$ posições; etc.
$$
\underbrace{100, \ldots 199}_{3 \times 100=300}, \underbrace{200, \ldots, 299}_{3 \times 100=300}, \underbrace{300, \ldots, 399}_{3 \times 100=300}, \underbrace{400, \ldots, 499}_{3 \times 100=300}, \underbrace{500, \ldots, 599}_{3 \times 100=300}, \underbrace{600, \ldots, 699}_{3 \times 100=300}
$$
Assim, os algarismos usados para escrever de 1 a 699 ocupam $9+180+6 \times 300=1989$ posições, logo faltam $2009-1989=20$ posições. Como $20=3 \times 6+2$ precisamos ainda escrever de 700 a 706, obtendo 21 posições, com o algarismo 6 ocupando a posição 21. Logo o algarismo 0 é que ocupa a 2009 a posição.
3. Cortar um retângulo - Dividimos o retângulo em $13 \times 7$ quadradinhos de $1 \mathrm{~cm}$ de lado cada um. Agora, usamos que
$$
13=1+3+4+5=6+7=0+13
$$
para obter a divisão em 13 retângulos diferentes. Você pode encontrar outras formas de fazer essa divisão?
4. Medida de ângulo - A resposta correta é (B).
Temos que $A \widehat{O} C+C \widehat{O} E=90^{\circ}$ e $C \widehat{O} E=D \widehat{O} Y$. Logo, $A \widehat{O} C=90^{\circ}-D \widehat{O} Y$. Como $D \widehat{O} Y$ está entre $40^{\circ}$ e $50^{\circ}$, segue que $A \widehat{O} C$ está entre $90^{\circ}-50^{\circ}=40^{\circ}$ e $90^{\circ}-40^{\circ}=50^{\circ}$.
5. Perímetros e áreas - A área do quadrado é
$$
(\sqrt{3}+3)^{2}=\sqrt{3}^{2}+2 \times 3 \sqrt{3}+3^{2}=12+6 \sqrt{3}
$$
e a do retângulo:
$$
(\sqrt{72}+3 \sqrt{6}) \times \sqrt{2}=\sqrt{144}+3 \sqrt{12}=12+6 \sqrt{3} .
$$
Logo eles têm a mesma área. Vamos agora comparar os perímetros. O do quadrado é
$$
4 \times(\sqrt{3}+3)=4 \sqrt{3}+12
$$
e o do retângulo é
$$
2 \times(\sqrt{72}+3 \sqrt{6}+\sqrt{2})=2 \times(6 \sqrt{2}+3 \sqrt{6}+\sqrt{2})=14 \sqrt{2}+6 \sqrt{6}
$$
Como $4 \sqrt{3}<6 \sqrt{6}$ e $12<14 \sqrt{2}$, segue que $4 \sqrt{3}+12<6 \sqrt{6}+14 \sqrt{2}$. Logo, o retângulo tem o maior perímetro.
6. Cálculo de ângulo - Como $A B=A C$, o triângulo $\triangle A B C$ é isósceles, logo $A \widehat{B} C=A \widehat{C} B$. Sendo $A D=B D$ o triângulo $\triangle A B D$ também é isósceles, logo $A \widehat{B} D=B \widehat{A} D$. Temos então
$$
A \widehat{B} C=A \widehat{C} B=B \widehat{A} D
$$
$\mathrm{Na}$ figura, esses 3 ângulos iguais estão representados pela letra $\alpha$. Os ângulos internos de $\triangle A B C$ são $\alpha+39^{\circ}, \alpha$ e $\alpha$; logo:
$$
\alpha+39^{\circ}+\alpha+\alpha=180^{\circ} \Rightarrow 3 \alpha=180^{\circ}-39^{\circ}=141^{\circ}
$$
Assim, $B \widehat{A} D=47^{\circ}$.
LEMBRETE 2: Em um
triângulo isósceles os
ângulos da base são
iguais:
$\widehat{B}=\widehat{C}$ e $A B=A C$.
## Lista 9
1. O caminho da formiga -
A resposta correta é (C).
2. Menino mentiroso - Claramente Pedrinho encontrou Joãozinho em um dia que ele mente. O sábado está descartado pois, caso contrário, ele estaria falando a verdade. Assim, o encontro entre eles foi numa terça-feira ou quinta-feira. Como o dia seguinte não pode ser quarta-feira, a única possibilidade é quinta-feira.
3. Encontre os 4 números - Observemos que os números 1,2,3 e 6 satisfazem a propriedade. Portanto, os múltiplos $a, 2 a, 3 a$ e $6 a$, para qualquer valor de $a$, também satisfazem a propriedade. Como estamos procurando números de 3 algarismos e $999 \div 6=166,5$ então basta considerar qualquer valor de $a$ entre 100 e 166 para obter os 4 números de 3 algarismos.
## 4. Colando 6 triângulos -
A figura é formada por 12 segmentos, na sequência de formação dos triângulos.
- 2 segmentos de $1 \mathrm{~cm}$ e 1 segmento de $\frac{1}{2} \mathrm{~cm}$ no triângulo I.
- 1 segmento de $\frac{1}{2} \mathrm{~cm}$ e 1 segmento de $\frac{1}{4} \mathrm{~cm}$ no triângulo II.
- 1 segmento de $\frac{1}{4} \mathrm{~cm}$ e 1 segmento de $\frac{1}{8} \mathrm{~cm}$ no triângulo III.
- 1 segmento de $\frac{1}{8} \mathrm{~cm}$ e 1 segmento de $\frac{1}{16} \mathrm{~cm}$ no triângulo IV.
- 1 segmento de $\frac{1}{16} \mathrm{~cm}$ e 1 segmento de $\frac{1}{32} \mathrm{~cm}$ no triângulo $V$.
- 2 segmentos de $\frac{1}{32} \mathrm{~cm}$ no triângulo VI.
Logo o perímetro é:
$$
\begin{aligned}
2 \times 1+2 \times \frac{1}{2}+2 \times \frac{1}{4}+2 \times \frac{1}{8}+2 \times \frac{1}{16}+3 \times \frac{1}{32} & =2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{3}{32} \\
& =3+\frac{16+8+4+3}{32} \\
& =3+\frac{31}{32}
\end{aligned}
$$
5. Os livros da Elisa - Seja $N$ o número total de livros da Elisa. Como $N+1$ é múltiplo de 9 e 4 , temos que ele é múltiplo de 36 . Logo $N+1$ é 36 ou 72 , pois Elisa tem menos que 100 livros. Se $N=35$ então, o número de livros de matemática é $36 \div 9-1=3 \mathrm{e}$ o número de livros de literatura é $36 \div 4=9$. Logo, Elisa teria: $24+3+9=36$ livros, o que é impossível porque 36 é maior que 35.
Portanto, $N=71$ e o número de livros de matemática é $72 \div 9-1=7$.
## Lista 10
## 1. Divisão por 9 -
(a) Sabemos que um número e a soma de seus algarismos sempre deixam o mesmo resto quando divididos por 9. Assim, o número inicial menos o número final é sempre divisível por 9 .
Efetuando, sucessivamente os passos, obtemos os algarismos de 1 a 9. Daí, a lista final é:
$$
1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,2,3, \ldots
$$
Como o resto da divisão do número 20092009 por 9 é 4 , então os 6 últimos algarismos da lista são: ..., $8,9,1,2,3,4$. Portanto, a lista tem mais 4 do que 5 .
O número de vezes que aparece o 9 na lista, é o número de múltiplos de 9 , que são menores ou iguais a 20092 009. Como 20092005 é o maior múltiplo de 9 que é menor do que 20092009 , temos que $20092005 \div 9=2232445$ vezes aparece o algarismo 9 na lista.
(b) Como $3^{2009}=3^{2008} \times 3=\left(3^{2}\right)^{1004} \times 3=9^{1004} \times 3$, então, o resto da divisão por 9 é 0 . Logo, o número final de apenas um algarismo é o 9 .
(c) Observemos que $17^{2}=$ múltiplo de $9+1$. Logo,
$$
17^{2008}=\left(17^{2}\right)^{1004}=\text { múltiplo de } 9+1
$$
assim $17^{2009}=$ múltiplo de $9+17=$ múltiplo de $9+8$.
Daí, podemos concluir que, se fazemos o mesmo processo com o número $17^{2009}$ obtemos no final o algarismo 8 .
## 2. Uma brincadeira na sala de aula -
(a) O número 1 só pode ser obtido a partir do $2 \leadsto 1=2 \div 2$, e o 2 a partir do $4 \leadsto 2=4 \div 2$, mas o 4 pode ser obtido a partir do $1 \leadsto 1+3=4$ ou do $8 \sim 4=8 \div 2$.
Logo, temos 2 maneiras de obter 1, a partir de 1 e 8 depois de 3 operações:
$\left\{\begin{array}{l}1 \leadsto 4 \leadsto 2 \leadsto 1 \\ 8 \leadsto 4 \leadsto 2 \leadsto 1\end{array}\right.$.
(b) Para uma operação a mais vemos que o número 8 pode ser obtido a partir do $5 \sim 8=5+3$ ou do $16 \sim 8=16 \div 2$. Logo, temos 3 maneiras de obter 1 a partir
(c) De maneira similar vemos que para 5 operações temos os números: $4,10,13$
3. Calcule a idade - No próximo ano Laura será 2 anos mais velha do que no ano passado. Logo sua idade no ano passado é um múltiplo de 8 que somado a 2 dá um múltiplo de 7. Vamos procurar esse número:
$$
\begin{array}{rlllllllllllll}
\text { múltiplos de } 7: & 7 & 14 & 21 & 28 & 35 & 42 & 49 & 56 & 63 & 70 & \ldots & 98 & \ldots \\
\text { (múltiplos de 7) - } 2: & 5 & 12 & 19 & 26 & 33 & 40 & 47 & 54 & 61 & 68 & \ldots & 96 & \ldots
\end{array}
$$
Note que 40 e 96 são os únicos múltiplos de 8 menores que 100 que aparecem na segunda linha. Como Vovó Ana tem menos do que 100 anos, podemos concluir que ano passado ela tinha 96 anos e Laura 40. Logo, a idade atual de Laura é 41 anos.
4. Divisões e restos - De acordo com os dados do problema, o dobro do número é um múltiplo de 5 acrescido de 1 . Como os múltiplos de 5 terminam em 0 ou 5 , o dobro termina em 1 ou 6 . Mas o dobro é um número par, logo termina em 6. Assim, o número termina em 3 ou 8 , portanto dividido por 5 deixa resto 3 .
5. Preenchendo o círculo - Sabemos que $\square=423 \div 47=9$. Por outro lado, temos que
$$
1448=\underbrace{282 \times \boxminus}_{\text {múltiplo de } 282}+\underbrace{\square \boxtimes}_{\text {no com } 2 \text { algarismos }}
$$
Como 282 tem 3 algarismos, concluímos que $\square \boxtimes$ só pode ser o resto da divisão de 1448 por 282. Efetuando essa divisão, obtemos $1448=282 \times 5+38$. Logo, $\square=3$ e $\boxtimes=8$. Obtemos também que $\boxminus=5$. Finalmente, temos:
$$
423 \times \frac{\boxplus}{3}=282 \Rightarrow 141 \times \boxplus=282 \Rightarrow \boxplus=2
$$
A sequência completa:
$$
\text { (47) } \xrightarrow{\times 9} \xrightarrow{\times 2 / 3}(282 \xrightarrow{\times 5} \xrightarrow{+}(1410 \xrightarrow{+38}
$$