# Desafios 1. Data fatídica - Em 1950 um "profeta" anunciou que o fim do mundo ocorreria em 11.08.1999 (11 de agosto de 1999). Como nada aconteceu nesse dia, ele refez seus cálculos e fez a seguinte previsão: "O fim do mundo ocorrerá na próxima data que se escreve com 8 algarismos diferentes." Você pode descobrir essa data? 2. Todos com o 2 - Qual operação devemos fazer com todos os 5 números $$ 418,244,816,426,24 $$ para obter 5 números que tenham todos o algarismo 2 ? (a) dividir 2; (b) somar 4 ; (c) dividir por 6; (d) subtrair 5; (e) multiplicar por 3 . 3. Tortas da vovó - Sofia foi levar uns docinhos para sua avó; são 7 docinhos de amora, 6 de côco e 3 de chocolate. Durante o caminho, a gulosa Sofia come 2 docinhos. Qual das situações abaixo é possível? (A) Vovó não recebeu docinhos de chocolate. (B) Vovó recebeu menos docinhos de côco do que de chocolate. (C) Vovó recebeu o mesmo número de docinhos de cada uma das 3 variedades. (D) Existem 2 variedades de docinhos das quais vovó recebeu o mesmo número. (E) O número de docinhos de amora que vovó recebeu é maior que o dos outros 2 somados. 4. Família Sétimo - O Sr. e Sra. Sétimo têm 7 filhos, todos nascidos em 1o de abril, na verdade em seis 10 de abril consecutivos. Este ano, para seus aniversários, a Sra. Sétimo fez um bolo com velinhas para cada um - o número de velas igual ao número de anos de cada um. João Sétimo, o filho que mais gosta de Matemática, reparou que nesse ano o número total de velinhas é o dobro do que havia 2 anos atrás e que há 2 bolos a mais. Quantas velinhas serão acesas esse ano? 5. O Salta-Ficha - Temos 10 fichas numeradas colocadas em linha reta como na figura. $$ \text { (1) (2)(3) (4) (6) (7) (9) (10) } $$ Queremos arrumá-las em 5 pilhas com 2 fichas cada uma. A regra para isso é que só podemos movimentar uma ficha fazendo-a saltar sobre uma ou mais fichas, ou sobre uma pilha. Veja um exemplo de 3 movimentos: - a ficha 5 pode saltar sobre as fichas 6 e 7 e formar uma pilha com a 8 . - a ficha 7 pode saltar sobre a ficha 8 e formar uma pilha com a 9 . - a ficha 6 pode saltar sobre as fichas 5,4 e 3 formar uma pilha com a 2 . ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_57c941f175baaa08a723g-2.jpg?height=176&width=1414&top_left_y=882&top_left_x=323) Como formar 5 pilhas de 2 fichas com apenas 5 movimentos? 6. O menor - Qual é o menor: $5^{2002}$ ou $3^{2002}+4^{2002}$ ? 7. O maior resultado - Qual o maior resultado que podemos encontrar quando dividimos um número de 2 algarismos pela soma de seus algarismos? 8. Dois mil - O peso de um número é a soma de seus algarismos. Qual é o menor número que pesa 2000 ? 9. No cabeleireiro - Três clientes estão no cabeleireiro pagando cada um a sua conta no caixa. - o primeiro cliente paga o mesmo montante que há no caixa e retirar 10 reais de troco; - o segundo cliente efetua a mesma operação que o primeiro; - o terceiro cliente efetua a mesma operação que os dois primeiros. Encontre o montante que estava inicialmente no caixa, sabendo que ao fim das 3 operações o caixa ficou zerado. 10. O macaco e a raposa - $O$ macaco diz para a raposa: - Você vê as 3 pessoas que estão correndo lá longe? Eu sei que o produto de suas idades é 2450 ; e que a soma das idades é o dôbro da sua idade. Você pode me dizer suas idades? - Não, responde a raposa. - Ese eu te disser que o mais jovem dos três é o único louro, você pode agora descobrir as idades? E a raposa dá as idades das 3 pessoas. Porque a raposa não pode responder inicialmente? E porque pode responder depois? 11. Nova sequência - Encontre a lei que forma a sequência e dê seus próximos 2 termos: $425,470,535,594,716,802, \ldots$ 12. Retângulo quase quadrado - Um terreno retangular é quase quadrado: sua largura e seu comprimento são números inteiros de metros que diferem exatamente de 1 metro. A área do terreno, em metros quadrados, é um número de 4 algarismos, sendo o das unidades de milhar e o das centenas iguais, e o mesmo ocorre com o das dezenas e das unidades. Quais são as possíveis dimensões do terreno? 13. Aonde está o erro? - Seja $x$ solução de $x^{2}+x+1=0$. Então $x \neq 0$ e por isso podemos dividir ambos os membros da equação por $x$, obtendo $x+1+\frac{1}{x}=0$. Da equação temos que $x+1=-x^{2}$, logo $-x^{2}+\frac{1}{x}=0$, isto é: $x^{2}=1 / x$ ou ainda $x^{3}=1$ e $x=1$. Substituindo $x=1$ na equação $x^{2}+x+1=0$ encontramos $3=0$ !!!! Aonde erramos? ## Soluções dos Desafios 1. Data fatídica - Resposta: 17.06 .2345 2. Todos com o 2 - Resposta: multiplicar por 3. 3. Tortas da vovó - Vamos examinar cada uma das situações propostas. Lembre que no final vovó recebeu $7+6+3-2=14$ docinhos. (A) Impossível porque ela recebeu no mínimo $3-2=1$ docinho de chocolate. (B) Impossível porque ela recebeu no mínimo $6-2=4$ docinhos de côco. (C) Impossível porque $7-2=5>3$. (D) Possível porque Sofia pode ter comido 1 docinho de amora e 1 de chocolate, restando para vovó: 6 de amora, 6 de côco e 2 de chocolate. (E) Impossível porque 7 não é maior do que $6+2-3$. Logo, a única situação possível é (D). 4. Família Sétimo - Os nascimentos ocorreram em seis 1 ㅇ de abril, logo existem irmãos gêmeos. Como nesse ano temos 2 bolos a mais que há 2 anos atrás, então há 2 anos atrás o mais jovem ainda não tinha nascido, o penúltimo filho tinha acabado de nascer, e os gêmeos já tinham nascido. Atualmente o mais jovem tem 1 ano e os gêmeos têm $x$ anos com $x \geq 3$. Temos: $$ \underbrace{1+2+3+4+5+6+x}_{\text {número de velas nesse ano }}=2 \times \underbrace{(1+2+3+4+x-2)}_{\text {número de velas } 2 \text { anos atrás }} \Rightarrow x=5 $$ Logo serão acesas $1+2+3+4+2 \times 5+6=26$ velinhas. ## 5. O Salta-Ficha - (a) ficha 7 salta sobre as fichas 8 e 9 formando uma pilha com a ficha 10; (b) ficha 4 salta sobre as fichas 5 e 6 formando uma pilha com a ficha 8; (c) ficha 6 salta sobre as fichas 3 e 5 formando uma pilha com a ficha 2; (d) ficha 5 salta sobre a pilha $(4,8)$ formando uma pilha com a ficha 9 ; (e) ficha 1 salta sobre a pilha $(6,2)$ formando uma pilha com a ficha 3. Veja o resultado: (6) (1) (4) (5) (7) (2) (3) 8 (9) (10) 6. O menor - Como $5^{2}=3^{2}+4^{2}$, temos $5^{2002}=\left(3^{2}+4^{2}\right)^{1001}$. Sabemos que para $a>0$ e $b>0$, $$ (a+b)^{1001}>a^{1001}+b^{1001} $$ Logo, $5^{2002}>3^{2002}+4^{2002}$. 7. O maior resultado - Estamos procurando o maior valor de $\frac{10 a+b}{a+b}$, onde $a$ e $b$ representam algarismos, pelo menos um diferente de 0 . Temos $$ \frac{10 a+b}{a+b}=\frac{10 a+10 b-9 b}{a+b}=\frac{10 a+10 b}{a+b}-\frac{9 b}{a+b}=10-\frac{9 b}{a+b} \leq 10 $$ Logo, se conseguirmos encontrar $a$ e $b$ tais que $\frac{10 a+b}{a+b}=10$, teremos o maior resultado. Note que isso ocorre quando $b=0$, ou seja: $$ \frac{10}{1}=\frac{20}{2}=\frac{30}{3}=\frac{40}{4}=\frac{50}{5}=\frac{60}{6}=\frac{70}{7}=\frac{80}{8}=\frac{90}{9}=10 . $$ Logo, a resposta é 10 . 8. Dois mil - Observe que os números 189, 8307 e 99 têm todos peso 18 , e que 99 é o menor número que pesa 18. Note que: para aumentar o peso de um número e minimizar o número é preciso que o número seja composto do maior número possível de algarismos 9 . Por outro lado, podemos dizer que o 0 está eliminado dos algarismos a ser considerados porque ele aumenta o número sem aumentar o peso. Temos que $2000=9 \times 222+2$. Logo, o número procurado tem então 222 algarismos 9 , e um algarismo 2 ou dois algarismos 1 . Eliminamos o caso dos números com dois algarismos 1 porque eles têm 224 algarismos, e logo são maiores do que os números que possuem o algarismo 2 e têm 223 algarismos. Finalmente, o número procurado tem 222 algarismos 9 e um 2. Logo esse número é $299 \ldots 999$, com 222 algarismos 9 . 9. No cabeleireiro - Seja $x$ o montante inicial no caixa. Esse montante mais o que os 3 clientes pagaram nos dará o caixa zerado. - O 1o cliente paga $x-10$. Depois do primeiro cliente, há $x+x-10=2 x-10$ reais no caixa. - O 2 o cliente paga $(2 x-10)-10=2 x-20$. Depois do 20 cliente, há $(2 x-10)+(2 x-20)=4 x-30$ no caixa. - O 3 o cliente paga $(4 x-30)-10=4 x-40$. Depois do 30 cliente, há $(4 x-30)+(4 x-40)=8 x-70$ no caixa, que sabemos ser igual a 0 . Logo, $8 x=70$ e obtemos $x=8,75$ reais. 10. O macaco e a raposa - 2450 é o produto dos números primos $1,2,5,5,7,7$. As 3 idades correspondem a uma combinação particular desses números ou de seus produtos. A raposa não pode descobrir as idades no início porque pelo menos duas dessas combinações têm por soma o dobro de sua idade. De todas as combinações possíveis, somente $\{5,1049\}$ e $\{7,7,50\}$ têm a mesma soma 64 . Primeira conclusão: a raposa tem 32 anos. Depois da nova dica do macaco, a raposa descobriu as idades porque pode eliminar uma combinação: aquela que contém dois números iguais, uma vez que um deles é o mais jovem de todos. Segunda conclusão: as pessoas têm 5, 10 e 49 anos. 11. Nova sequência - Cada termo é a soma do termo precedente com os quadrados de cada um de seus algarismos: $$ 470=425+4^{2}+2^{2}+5^{2}, 535=470+4^{2}+7^{2}+0^{2}, \ldots $$ Assim, os próximos termos são: 870 e 983 . 12. Retângulo quase quadrado - A área é um número da forma $a a b b$, onde $a$ e $b$ representam algarismos; agora lembre que $$ a a b b=1100 a+11 b=11(100 a+b) $$ Seja $x$ a largura do terreno, logo $$ x(x+1)=11(100 a+b) \quad(\mathrm{I}) $$ e deduzimos que $x$ ou $x+1$ é um múltiplo de 11. Procurar múltiplos de 11 que satisfaçam a condição (I) é bastante trabalhoso, por isso, para simplificar, vamos estabelecer quais os valores que $x$ pode ter. Vamos procurar os valores mínimo e máximo para $x$ : - Mínimo: a menor área possível é $1111, \operatorname{logo} x(x+1)=1111 \Rightarrow x>32$ (II). - Máximo: a maior área possível é 9999 , logo $x(x+1)=9999 \Rightarrow x<100$ (III). Agora procuramos $x$ e $x+1$ satisfazendo (I), (II) e (III). $$ \begin{aligned} & 33 \times 34=1122 ; 43 \times 44=1892 ; 44 \times 45=1980 ; 54 \times 55=2970 ; 55 \times 56=2970 \\ & 65 \times 66=4290 ; 66 \times 67=4422 ; 76 \times 77=5852 ; 77 \times 78=6006 \\ & 87 \times 88=7656 ; 88 \times 89=7832 ; 99 \times 100=9900 \end{aligned} $$ Encontramos 3 possibilidades para $x: 33,66$ e 99 . 13. Aonde está o erro? - Esse deixamos para os alunos!