# Desafios 

1. Cadeia do menor número (N2/N3) - Partindo do número 265863 e utilizando uma única vez cada uma das operações,,$+- \times \mathrm{e} \div$ e também uma única vez os números 51, 221, 6817, 13 259, podemos obter vários números. Por exemplo, 54911, como segue.

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Encontre a cadeia que permite obter o menor número inteiro positivo.

2. Qual é a metade? (N2/N3) - Considere a figura ao lado, em que $\mathrm{AB}=\mathrm{AE}=\mathrm{ED}=\mathrm{CD}=\mathrm{CA}$ e o arco $\mathrm{CB}$ é um arco de círculo centrado no ponto E. Você sabe repartir essa figura em duas partes idênticas, que possam ser superpostas?

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4778dc6da6b432625121g-01.jpg?height=240&width=323&top_left_y=891&top_left_x=1546)

3. Cada um em seu estado (N1/N2/N3) - Amélia, Bruno, Constância e Denise são quatro amigos que se encontram sentados numa mesa quadrada, cada um ocupando um lado da mesa. Um dos quatro mora no Amazonas, outro em São Paulo, outro no Ceará e o quarto na Bahia. Sabendo que valem as condições a seguir, quem mora na Bahia?

- À direita de Amélia está quem mora no Amazonas.
- Em frente à Constância está a pessoa que mora em São Paulo.
- Bruno e Denise estão um ao lado do outro.
- Uma mulher está à esquerda da pessoa que mora no Ceará.

4. Divisão (N1/N2) - Numa divisão, aumentando o dividendo de 1989 e o divisor de 13 , o quociente e o resto não se alteram. Qual é o quociente?
5. Extraterrestre (N1/N2) - No planeta Staurus, os anos têm 228 dias, divididos em 12 meses de 19 dias. Cada semana tem 8 dias: Zerum, Uni, Duodi, Trio, Quati, Quio, Seise e Sadi. Sybock nasceu num duodi, que foi o primeiro dia do quarto mês. Que dia da semana ele festejará seu primeiro aniversário?
6. Que família! (N1/N2) - Numa família, cada menino tem o mesmo número de irmãos que de irmãs, e cada menina tem o dobro de irmãos que de irmãs. Qual é a composição dessa família?
7. Siga a pista (N1) - Na pista de corrida dada, os sete pontos de referência são marcados a cada $50 \mathrm{~m}$. Os atletas devem fazer $2 \mathrm{~km}$ no sentido indicado pela flecha, partindo do ponto P. Marque o ponto C de chegada.

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8. Cara ou Coroa (N2) - Jerônimo joga no tabuleiro dado com uma peça e um dado da maneira descrita a seguir.

Colocando a peça na casa $\mathrm{P}$ (de partida), ele lança uma moeda. Se der cara, avança duas casas e se der coroa recua uma casa. Jerônimo lançou a moeda 20 vezes e conseguiu chegar na casa C (de chegada). Quantas vezes a moeda deu cara?

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4778dc6da6b432625121g-02.jpg?height=332&width=600&top_left_y=385&top_left_x=1179)

9. Contas do papagaio (N1) - Rosa tem um papagaio que faz contas de um modo estranho. Cada vez que Rosa diz dois números ele faz a mesma conta. Por exemplo:

- se Rosa diz "4 e 2" o papagaio responde " 12 ";
- se Rosa diz "5 e 3" o papagaio responde " 12 ";
- se Rosa diz "3 e 5" o papagaio responde " 14 ";
- se Rosa diz "9 e 7" o papagaio responde " 24 ";
- se Rosa diz "0 e 0" o papagaio responde " 1 ".

Se Rosa diz "1 e 8" o que responde o papagaio?

10. As férias de Tomás (N1/N2) - Durante as férias de Tomás, houve 11 dias chuvosos. Durante esses 11 dias, se chovia pela manhã havia sol sem chuva à tarde, e se chovia à tarde, havia sol sem chuva pela manhã. No total, Tomás teve 9 manhãs e 12 tardes sem chuva. Quantos dias duraram as férias de Tomás?
11. Maratona de Matemática (N3) - Numa maratona de Matemática, o número de questões é muito grande. $\mathrm{O}$ valor de cada questão é igual à sua posição na prova: um ponto para a questão 1 , dois pontos para a questão 2 , três pontos para a questão 3, quatro pontos para a questão 4, e assim por diante. Joana totalizou 1991 pontos na prova, errando apenas uma questão e acertando todas as outras. Qual questão ela errou? Quantas questões tinha a prova?
12. Frações ignoradas (N1) - Escolhi quatro frações dentre $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{6}, \frac{1}{8}, \frac{1}{10}$ e $\frac{1}{12}$, cuja soma é 1. Quais foram as frações que eu não escolhi?
13. Caminho de maior total (N2) - As regras do jogo são as seguintes.

(a) Partindo da casa com o número 3 destacado, deve-se chegar à casa TOTAL deslocando-se somente por linhas ou colunas e calculando-se os pontos.

(b) Quando nos deslocamos por uma linha, só podemos adicionar, por exemplo passando da 3 para a -6 ao lado, obtemos $3+(-6)=-3$ pontos.

(c) Quando nos deslocamos por uma coluna, só podemos subtrair, por exemplo passando da 3 para a 5 abaixo, obtemos $3-5=-2$ pontos.

(d) Só é permitido passar uma vez por cada casa.

Qual é o caminho que dá o maior total?

| $\mathbf{3}$ | -6 | 9 | -9 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 5 | 7 | 2 | -1 |
| -8 | -3 | -5 | 4 |
| -4 | 1 | 6 | 8 |
| 0 | -2 | -7 | TOTAL |

14. Produtos em linha (N1/N2/N3) - Em cada uma das oito casas brancas do quadro dado, escrevemos um algarismo dentre os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 de modo que os produtos efetuados em linha reta, seguindo as flechas, forneçam os valores indicados dentro dos casas em cinza. Em qual casa se encontra o número 2?

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4778dc6da6b432625121g-03.jpg?height=483&width=879&top_left_y=838&top_left_x=654)

15. Código Postal (N2/N3) - Para fazer a separação em regiões da correspondência que deve ser entregue, um serviço postal indica sobre os envelopes um código postal com uma série de cinco blocos de pontos e bastões, que podem ser lidos por um leitor ótico. Os algarismos são codificados como segue.

| $0 \bullet \\| I I I$ | 5 ค |
| :---: | :---: |
| 1 $\cdot$॰\|l| | $6\|\\| 0\|$ |
| $2 \cdot\\|\bullet\\|$ | $7\\|\bullet \bullet\\|$ |
| 3 $\cdot$\\|l|॰ | $8 \mathrm{ll} \% \mathrm{Ol}$ |
| 4 \|.o.|I | $9 \\|\|\| \bullet \circ \mid$ |

A leitura se faz da direita para a esquerda. Por exemplo: o código postal 91720 se escreve como ..IIII.III.IIII..II.I.IIIIII..I, ou seja,

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Note que a codificação de 94 , que é $\underbrace{}_{4}$, tem um eixo vertical de simetria. Encontre os códigos entre 47000 e 47999 que apresentam um eixo vertical de simetria.

16. Anéis olimpicos (N1/N2/N3) - Os números de 1 a 9 foram colocados dentro de cinco anéis olímpicos, de tal modo que dentro de cada anel a soma é 11.

Disponha os nove números de outra maneira, para que a soma dentro de cada anel seja sempre a mesma e a maior possível.

17. Partidas de Denise (N2/N3) - Denise e Antônio jogam uma série de oito jogos, em que o vencedor da primeira partida ganha um ponto, o da segunda dois pontos, o da terceira quatro pontos, o da quarta oito pontos, e assim por diante, multiplicando por dois o número de pontos de uma partida para a outra. No final, Denise ganhou 31 pontos a mais que Antônio e não houve empate em nenhuma das partidas. Quais partidas Denise ganhou?
18. Sete quadrados (N1/N2) - Você sabe repartir um quadrado em sete quadrados menores?
19. Ilha misteriosa (N1/N2/N3) - Numa misteriosa ilha havia 13 camaleões cinza, 15 camaleões marrons e 17 camaleões vermelhos. Quando dois camaleões de cores diferentes se encontram, os dois tomam a terceira cor. Por exemplo, se um cinza se encontra com um vermelho, então os dois ficam marrons. Por causa de uma tempestade, ocorreram dois encontros cinza-vermelho, três encontros marrom-vermelho e um encontro cinza-vermelho. Quantos camaleões de cada cor ficaram na ilha?
20. Universo hostil (N3) - Num deserto há cobras, ratos e escorpiões. Cada manhã, cada cobra mata um rato. Cada meio-dia, cada escorpião mata uma cobra. Cada noite, cada rato mata um escorpião. Ao final de uma semana, à noite, só restava um rato. Quantos ratos havia na manhã do início da semana?
21. O jogo das fichas - Para iniciar um jogo com seus amigos, Manoel coloca oito fichas em cada uma das nove casas do tabuleiro mostrado na figura. Para ganhar o jogo, ele precisa mover as fichas pelo tabuleiro de tal modo que, ao final, todas as fichas estejam colocadas e tenha sido alcançada uma outra configuração de fichas na qual, em cada linha, cada coluna e cada diagonal, reste o mesmo número de fichas (mas não a inicial, com oito fichas em cada casa). Na primeira jogada, ele coloca mais três fichas na casa 3 e tira todas da casa 2, ficando com 5 na mão, para prosseguir. Quantas fichas ele
deve colocar em cada uma das outras sete casas para ganhar o jogo, mantendo as fichas das casa 2 e 3 inalteradas depois dessa primeira jogada?
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22. Um sistema - Nas igualdades $A B+B C=C D$ e $A B-B C=B A$, cada letra representa um algarismo. Quanto vale $A+B+C+D$ ?
23. Constelações floridas - Rosa, Margarida e Dália são três constelações em forma de buquês de flores. Sabemos que:

(a) o número de estrelas de Dália, que é a menor das três constelações, é o produto de dois quadrados;

(b) o número de estrelas de Rosa também é um produto de dois quadrados;

(c) Dália e Rosa, juntas, têm o mesmo número de estrelas de Margarida;

(d) Margarida tem 28561 estrelas.

Quantas estrelas possuem, cada uma, Dália e Rosa?

24. Dois meses iguais - A seguir mostramos o calendário de abril de 2005.

| $\mathrm{D}$ | $\mathrm{S}$ | $\mathrm{T}$ | $\mathrm{Q}$ | $\mathrm{Q}$ | $\mathrm{S}$ | $\mathrm{S}$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
|  |  |  |  |  | 1 | 2 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 |
| 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |

Qual é o primeiro mês depois desse, de 2005 ou de 2006, que teve uma página igual?

25. A faixa e o quadrado - Uma faixa retangular de cartolina mede 5 por $1 \mathrm{~cm}$. Corte a faixa com quatro cortes retilíneos de modo a poder montar um quadrado com as peças obtidas, mas sem superposição das peças.
26. Um número e seu sêxtuplo - Um número de três algarismos e seu sêxtuplo são formados pelos mesmos algarismos. A soma dos algarismos desse número é 17 e a de seu sêxtuplo é 21. Qual é esse número? Existe mais do que um número com essas propriedades?
27. Oito dentro de um retângulo - Coloque os números de 1 a 8 dentro dos círculos do retângulo dado, de tal modo que a diferença entre dois números ligados por um segmento seja sempre maior do que 1.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4778dc6da6b432625121g-06.jpg?height=174&width=303&top_left_y=284&top_left_x=1525)

28. Uma estratégia com um número muito grande - Carlos escreveu consecutivamente todos os números de 1 a 60 , ou seja,

$$
1234567891011121314 \cdots 57585960
$$

Depois ele riscou 100 algarismos de tal modo que o número formado com os algarismos que não foram riscados fôsse o maior possível, sem mudar a ordem inicial em que os algarismos foram escritos. Qual é esse número?

29. Um número surpreendente - Um certo número surpreendente é divisível por 9, tem nove algarismos diferentes, nenhum dos quais é igual a 0 e é tal que:

(a) o número formado pelos 2 primeiros algarismos é divisível por 2;

(b) o número formado pelos 3 primeiros algarismos é divisível por 3;

(c) o número formado pelos 4 primeiros algarismos é divisível por 4;

(d) o número formado pelos 5 primeiros algarismos é divisível por 5;

(e) o número formado pelos 6 primeiros algarismos é divisível por 6;

(f) o número formado pelos 7 primeiros algarismos é divisível por 7;

(g) o número formado pelos 8 primeiros algarismos é divisível por 8 .

Qual é esse número?

30. Qual é o erro? - Uma das afirmações dadas é falsa:

(a) André é mais velho do que Bruno;

(b) Cláudia é mais nova do que Bruno;

(c) A soma das idades de Bruno e Cláudia é o dobro da idade de André;

(d) Claúdia é mais velha do que André.

Quem é o mais velho? E o mais novo?

31. Soma - Neste exercício, as letras representam algarismos. Determine cada uma das parcelas da soma dada.

$$
\begin{array}{r}
a b c d e f \\
a b c d e f \\
+\quad g h i j \\
\hline d e f h j f
\end{array}
$$

32. Bolinhas - Rogério colocou seis bolinhas sobre a mesa, de modo a formar dois quadrados, como na figura. Ele percebe que tem mais uma bolinha. Complete a figura formada pelas bolinhas com essa bolinha a mais, de tal modo que forme três quadrados.

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33. Um número que não é divisivel por 5 - Determine quais números naturais $n$ entre 2001 e 2007 tornam o número $1^{n}+2^{n}+3^{n}+4^{n}$ não divisível por 5 .
34. Quatro frações e um inteiro - Quantos números naturais $a, b, c$ e $d$, todos distintos, existem tais que $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}$ seja um inteiro?
35. O Rei Arthur e o Dragão das Três Cabeças e Três Caudas - O Rei Arthur teve que lutar com o Dragão das Três Cabeças e Três Caudas. Sua tarefa foi facilitada quando conseguiu arranjar uma espada mágica que podia, a cada golpe, fazer uma e somente uma das seguintes coisas:

(a) cortar uma cabeça;

(b) cortar duas cabeças;

(c) cortar uma cauda;

(d) cortar duas caudas.

Além disso, a Fada Morgana lhe revelou o segredo do dragão:

(a) se uma cabeça é cortada, cresce uma nova;

(b) se duas cabeças são cortadas, nada mais acontece;

(c) no lugar de uma cauda cortada nascem duas caudas novas;

(d) se duas caudas são cortadas, cresce uma nova cabeça;

(e) o dragão morre se perder as três cabeças e as três caudas.

Para matar o dragão, de quantos golpes o Rei Artur vai precisar, no mínimo?

36. O passeio do cavalo - Num tabuleiro de $5 \times 5$ casas, um cavaleiro do jogo de xadrez está na casa marcada com $A$. Depois ele segue movendo, marcando as casas por onde passa, como na figura.

$$
A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D \rightarrow E \rightarrow F \rightarrow G \rightarrow H
$$

| $A$ |  |  |  | $G$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
|  |  | $H$ |  |  |
|  | $B$ |  | $F$ |  |
|  |  | $D$ |  |  |
| $C$ |  |  |  | $E$ |

Partindo da casa $H$, o cavaleiro se move pelo tabuleiro até ter passado por todas as 25 casas. Descreva o trajeto que ele fez.

37. As faces do cubo - Oito dados são agrupados formando um cubo. Quantas faces dos dados permanecem visíveis?
38. Data fatídica - Em 1950, um "profeta" anunciou que o fim do mundo ocorreria em 11 de agosto de 1999, que denotamos por 11081999. Como nada aconteceu nesse dia, ele refez seus cálculos e fez a seguinte previsão: "O fim do mundo ocorrerá na próxima data que se escrever com oito algarismos diferentes." Você consegue descobrir essa data?
39. Todos com o $\mathbf{2}$ - Qual é operação que devemos fazer com todos os cinco números $418,244,816,426$ e 24 para obter cinco números que tenham todos o algarismo 2 ?

(a) Dividir por 2 .

(b) Somar 4.

(c) Dividir por 6 .

(d) Subtrair 5.

(e) Multiplicar por 3.

40. Tortas da vovó - Sofia foi levar uns docinhos para sua avó: foram sete docinhos de amora, seis de côco e três de chocolate. Durante o caminho, a gulosa Sofia comeu dois docinhos. Qual das situações abaixo é possível?

(a) Sua avó não recebeu docinhos de chocolate.

(b) Sua avó recebeu menos docinhos de côco do que de chocolate.

(c) Sua avó recebeu o mesmo número de docinhos de cada uma das três variedades.

(d) Existem duas variedades de docinhos das quais sua vovó recebeu o mesmo número.

(e) O número de docinhos de amora que sua vovó recebeu é maior que o das outras duas variedades somadas.

41. Familia Sétimo - O Sr. e Sra. Sétimo têm sete filhos, todos nascidos em 1ํo de abril; na verdade, em seis 1o de abril consecutivos. Neste ano, para seus aniversários, a Sra. Sétimo fez um bolo com velinhas para cada um de seus filhos, sendo o número de velas em cada bolo igual ao número de anos do aniversariante. João Sétimo, o filho que mais gosta de Matemática, reparou que, nesse ano, o número total de velinhas é o dobro do que havia dois anos atrás e que há dois bolos a mais. Quantas velinhas serão acesas desta vez?
42. O salta-ficha - Temos dez fichas numeradas colocadas em linha reta, como na figura dada.

## (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)

Queremos arrumá-las em cinco pilhas, com duas fichas em cada pilha. A regra para isso é que só podemos movimentar uma ficha fazendo-a saltar sobre uma ou mais fichas, ou sobre uma única pilha já formada. Um exemplo de três movimentos é o seguinte.

- A ficha 7 pode saltar sobre a ficha 8 e formar uma pilha com a 9 ;
- a ficha 5 pode saltar sobre as fichas 6 e 7 e formar uma pilha com a 8 e
- a ficha 6 pode saltar sobre as fichas 5,4 e 3 formar uma pilha com a 2 .

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4778dc6da6b432625121g-09.jpg?height=177&width=1553&top_left_y=280&top_left_x=340)

Como formar cinco pilhas de duas fichas com apenas cinco movimentos?

43. O menor - Qual é o menor número, $5^{2002}$ ou $3^{2002}+4^{2002}$ ?
44. O maior resultado - Qual é o maior resultado que podemos encontrar quando dividimos um número de dois algarismos pela soma de seus algarismos?
45. Dois mil - Digamos que o peso de um número seja a soma de seus algarismos. Qual é o menor número que pesa 2000 ?
46. No cabeleireiro - Três clientes estão no cabeleireiro, pagando cada um a sua conta no caixa.

- O primeiro cliente paga uma quantia igual ao montante que há no caixa e recebe 10 reais de troco.
- O segundo cliente efetua a mesma operação que o primeiro.
- O terceiro cliente efetua a mesma operação que o primeiro.

Encontre o montante que estava inicialmente no caixa, sabendo que, ao fim das três operações, o caixa ficou zerado.

47. O macaco e a raposa - O macaco diz para a raposa: "Você vê as três pessoas que estão correndo lá longe? Eu sei que o produto de suas idades é 2450 e que a soma de suas idades é o dobro da sua idade. Você pode me dizer suas idades? Não, responde a raposa. E se eu te disser que o mais jovem dos três é o único louro, você pode agora descobrir as idades? Então a raposa dá as idades das três pessoas.

Porque a raposa não pode responder inicialmente? E porque pode responder depois?

48. Nova sequência - Encontre a lei que forma a sequência 425, 470, 535, 594, 716, $802, \ldots$ e dê seus próximos dois termos.
49. Retângulo quase quadrado - Um certo terreno retangular é quase quadrado, pois sua largura e seu comprimento medem números inteiros que diferem exatamente por uma unidade de medida. A área desse terreno, em unidades quadradas, é um número de quatro algarismos, sendo iguais o das unidades de milhar e o das centenas, bem como o das dezenas e o das unidades. Quais são as possíveis dimensões desse terreno?
50. Onde está o erro? - Seja $x$ solução de $x^{2}+x+1=0$. Então $x \neq 0 \mathrm{e}$, por isso, podemos dividir ambos os membros da equação por $x$, obtendo $x+1+1 / x=0$. Da equação original temos que $x+1=-x^{2}$, portanto, $-x^{2}+1 / x=0$, isto é, $x^{2}=1 / x$ ou, ainda, $x^{3}=1$, de modo que $x=1$. No entanto, substituindo $x=1$ na equação $x^{2}+x+1=0$ original, encontramos $3=0$, o que não está exatamente correto. Onde erramos?

## Soluções dos Desafios

1. Cadeia do menor número $(\mathrm{N} 2 / \mathrm{N} 3)-265863 \overbrace{\longrightarrow}^{+6817} 39 \overbrace{\longrightarrow}^{+221} 260 \overbrace{}^{\times 51} 13260 \overbrace{}^{-13259} 1$.
2. Qual é a metade? (N2/N3)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4778dc6da6b432625121g-10.jpg?height=322&width=437&top_left_y=610&top_left_x=935)

3. Cada um em seu estado (N1/N2/N3) - Bruno ou Amélia (o desafio tem duas soluções).
4. Divisão (N1/N2) - Resposta: 153.
5. Extra-terrestre (N1/N2) - Seise.
6. Que família! (N1/N2) - 3 meninas e 4 meninos.
7. Siga a pista (N1)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4778dc6da6b432625121g-10.jpg?height=277&width=456&top_left_y=1523&top_left_x=937)

8. Cara ou Coroa (N2) - Resposta: 12.
9. Contas do papagaio (N1) - Resposta: 19.
10. As férias de Tomás (N1/N2) - Resposta: 16 dias.
11. Maratona de Matemática (N3) - Resposta: 25 e 63, respectivamente.
12. Frações ignoradas (N1)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4778dc6da6b432625121g-10.jpg?height=314&width=326&top_left_y=2350&top_left_x=999)

13. Caminho de maior total (N2) - ???
14. Produtos em linha (N1/N2/N3) - casa B.
15. Código Postal (N2/N3) - Resposta: 47679 e 47779.
16. Anéis olimpicos (N1/N2/N3)
17. Partidas de Denise (N2/N3) - A primeira, a segunda, a terceira, a quarta e a oitava.
18. Sete quadrados (N1/N2)

|  |  |  |
| :--- | :--- | :--- |
|  |  |  |
|  |  |  |

19. Ilha misteriosa (N1/N2/N3) - 16 cinzas, 18 marrons e 11 vermelhos.
20. Universo hostil (N3) - Resposta: 1873.
21. O jogo das fichas

| 1 | 2 | 3 |
| :---: | :---: | :---: |
| 13 | 0 | 11 |
| 4 |  | 6 |
| 6 | 8 | 10 |
| ${ }^{7} 5$ | 816 <br> 16 | 3 |

22. Um sistema - Resposta: 23.
23. Constelações floridas - Pelo menos duas soluções:

$$
D=25 \times 169=4225 ; \quad R=144 \times 169=24336
$$

e

$$
D=49 \times 289=14161 ; \quad R=100 \times 144=14400
$$

24. Dois meses iguais - Setembro de 2006.
25. A faixa e o quadrado

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4778dc6da6b432625121g-12.jpg?height=145&width=608&top_left_y=487&top_left_x=815)

26. Um número e seu sêxtuplo - Resposta: 746 é a única solução.
27. Oito dentro de um retângulo - Pelo menos duas soluções:

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4778dc6da6b432625121g-12.jpg?height=277&width=485&top_left_y=929&top_left_x=520)

e

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4778dc6da6b432625121g-12.jpg?height=274&width=479&top_left_y=931&top_left_x=1211)

28. Uma estratégia com um número muito grande - Resposta: 99999585960.
29. Um número surpreendente - Resposta: 381654729.
30. Qual é o erro? - Cláudia e Bruno.
31. Soma - Três soluções:

| 231468 |
| ---: |
| 231468 |
| $+\quad 5972$ |
| 468908 |$\quad$| 264538 |
| ---: |
| 264538 |
| $\quad 9102$ |

32. Bolinhas

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4778dc6da6b432625121g-12.jpg?height=237&width=237&top_left_y=2080&top_left_x=995)

33. Um número que não é divisivel por 5 - Resposta: 2004.
34. Quatro frações e um inteiro - Resposta: 1.
35. O Rei Arthur e o Dragão das Três Cabeças e Três Caudas - Resposta: 5.
36. O passeio do cavalo

| $A$ | $X$ | $M$ | $R$ | $G$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $N$ | $S$ | $H$ | $Y$ | $L$ |
| $I$ | $B$ | $W$ | $F$ | $Q$ |
| $T$ | $O$ | $D$ | $K$ | $V$ |
| $C$ | $J$ | $U$ | $P$ | $E$ |

37. As faces do cubo - Resposta: 24 .
38. Data fatídica - Resposta: 17.06 .2345
39. Todos com o 2 - A opção correta é (e).
40. Tortas da vovó - A opção correta é (d).

Vamos examinar cada uma das situações propostas. Lembre que, no final, vovó recebeu $7+6+3-2=14$ docinhos.

(a) Impossível, porque ela recebeu, no mínimo, $3-2=1$ docinho de chocolate.

(b) Impossível, porque ela recebeu, no mínimo, $6-2=4$ docinhos de côco.

(c) Impossível, porque $7-2=5>3$.

(d) Possível, porque Sofia pode ter comido um docinho de amora e um de chocolate, restando 6 de amora, 6 de côco e 2 de chocolate para a vovó.

(e) Impossível, porque 7 não é maior do que $6+3-2=7$.

41. Família Sétimo - Os nascimentos ocorreram em seis dias 1ํo de abril, logo existem irmãos gêmeos. Como nesse ano temos dois bolos a mais do que há dois anos, então há dois anos o mais jovem ainda não tinha nascido, o penúltimo filho tinha acabado de nascer e os gêmeos já tinham nascido. Atualmente, o mais jovem tem um ano e os gêmeos têm $x$ anos, com $x \geq 3$. Como

$$
\underbrace{1+2+3+4+5+6+x}_{\text {número de velas nesse ano }}=2 \times \underbrace{(1+2+3+4+x-2)}_{\text {número de velas } 2 \text { anos atrás }}
$$

temos $x=5$. Logo, serão acesas $1+2+3+4+2 \times 5+6=26$ velinhas.

## 42. O salta-ficha

(a) A ficha 7 salta sobre as fichas 8 e 9 formando uma pilha com a ficha 10;

(b) a ficha 4 salta sobre as fichas 5 e 6 formando uma pilha com a ficha 8 ;

(c) a ficha 6 salta sobre as fichas 3 e 5 formando uma pilha com a ficha 2 ;

(d) a ficha 5 salta sobre a pilha $(4,8)$ formando uma pilha com a ficha 9 e

(e) a ficha 1 salta sobre a pilha $(6,2)$ formando uma pilha com a ficha 3.

O resultado segue.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4778dc6da6b432625121g-14.jpg?height=125&width=305&top_left_y=260&top_left_x=961)

43. O menor - Como $5^{2}=3^{2}+4^{2}$, temos $5^{2002}=\left(3^{2}+4^{2}\right)^{1001}$. Sabemos que, para $a>0$ e $b>0$,

$$
(a+b)^{1001}>a^{1001}+b^{1001}
$$

Assim, $5^{2002}>3^{2002}+4^{2002}$.

44. O maior resultado - Estamos procurando o maior valor de $(10 a+b) /(a+b)$, onde $a$ e $b$ representam algarismos, sendo pelo menos um deles diferente de 0 . Temos

$$
\frac{10 a+b}{a+b}=\frac{10 a+10 b-9 b}{a+b}=\frac{10 a+10 b}{a+b}-\frac{9 b}{a+b}=10-\frac{9 b}{a+b} \leq 10
$$

Logo, se conseguirmos encontrar $a$ e $b$ tais que $(10 a+b) /(a+b)=10$, teremos o maior resultado. Note que isso ocorre quando $b=0$, ou seja,

$$
\frac{10}{1}=\frac{20}{2}=\frac{30}{3}=\frac{40}{4}=\frac{50}{5}=\frac{60}{6}=\frac{70}{7}=\frac{80}{8}=\frac{90}{9}=10
$$

Assim, a resposta é 10.

45. Dois mil - Observe que os números 189, 8307 e 99 têm todos peso 18 e que 99 é o menor número que pesa 18. Para aumentar o peso de um número e minimizar o número é preciso que o número tenha o maior número possível de algarismos 9. Por outro lado, podemos dizer que o 0 está eliminado dos algarismos a ser considerados, porque ele aumenta o número sem aumentar seu peso.

Temos que $2000=9 \times 222+2$. Logo, o número procurado deve ter 222 algarismos 9 e um algarismo 2, ou dois algarismos 1 . Eliminamos o caso dos números com dois algarismos 1 porque eles têm 224 algarismos, sendo, portanto, maiores do que os números que possuem o algarismo 2 e têm 223 algarismos. Assim, o número procurado tem um 2 seguido de 222 algarismos 9: o número é 299 . . 999.

46. No cabeleireiro - Seja $x$ o montante inicial no caixa. Esse montante mais o que os três clientes pagaram nos dará o caixa zerado.

- O primeiro cliente paga $x-10$ e, depois dele, há $x+x-10=2 x-10$ reais no caixa.
- O segundo cliente paga $(2 x-10)-10=2 x-20$ e, depois dele, há $(2 x-10)+(2 x-20)=4 x-30$ no caixa.
- O terceiro cliente paga $(4 x-30)-10=4 x-40$ e depois dele há $(4 x-30)+(4 x-40)=8 x-70$ no caixa.

Como o caixa está zerado depois do terceiro cliente, $8 x-70=0$, ou seja,

$$
x=70 / 8=8,75 \text { reais. }
$$

47. O macaco e a raposa - 2450 é o produto dos números primos $1,2,5,5,7$ e 7 . As três idades correspondem a uma combinação particular desses números ou de seus produtos. A raposa não pode descobrir as idades no início porque pelo menos duas dessas combinações têm por soma o dobro de sua idade. De todas as combinações possíveis, somente $5+10+49$ e $7+7+50$ têm a mesma soma 64 .

1- conclusão: a raposa tem 32 anos.

Depois da nova dica do macaco, a raposa descobriu as idades porque pode eliminar uma combinação, a que contém dois números iguais, uma vez que um deles é o mais jovem de todos.

$2^{\mathbf{a}}$ conclusão: as pessoas têm 5,10 e 49 anos.

48. Nova sequência - Cada termo da sequência é a soma do termo precedente com os quadrados de cada um de seus algarismos. De fato,

$$
470=425+4^{2}+2^{2}+5^{2}, 535=470+4^{2}+7^{2}+0^{2}, \ldots
$$

Assim, depois de 802, os próximos termos serão 870 e 983.

49. Retângulo quase quadrado - A área é um número da forma $a a b b$, onde $a$ e $b$ representam algarismos, portanto

$$
a a b b=1100 a+11 b=11(100 a+b)
$$

Seja $x$ a largura do terreno. Então $x(x+1)=11(100 a+b)$ e deduzimos que $x$ ou $x+1$ é um múltiplo de 11. Procurar múltiplos de 11 que satisfaçam a condição obtida é bastante trabalhoso, por isso, para simplificar, vamos estabelecer quais os valores que $x$ pode ter, procurando seus valores mínimo e máximo.

- Mínimo: a menor área possível é 1111, logo $x(x+1)=1111$ e $x>32$.
- Máximo: a maior área possível é $9999, \log x(x+1)=9999$ e $x<100$.

Agora testamos todos $x$ entre 32 e 100 tais que $x$ ou $x+1$ seja múltiplo de 11 e que $x(x+1)$ seja do tipo $a a b b$. Temos apenas doze opções, como segue.

$$
\begin{aligned}
& 33 \times 34=1122,43 \times 44=1892,44 \times 45=1980,54 \times 55=2970 \\
& 55 \times 56=2970,65 \times 66=4290,66 \times 67=4422,76 \times 77=5852 \\
& 77 \times 78=6006,87 \times 88=7656,88 \times 89=7832,99 \times 100=9900
\end{aligned}
$$

Encontramos três possibilidades para as dimensões do terreno, a saber, $33 \times 34,66 \times 67$ ou $99 \times 100$ metros.

50. Onde está o erro? - Esse deixamos para os alunos!