# 15. Aritmética 

| Nível 1 | Soluções |
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## 1 | Múltiplo de 9 com Algarismos Pares

Encontre o menor múltiplo de 9 que não possui algarismos ímpares.

Solução: Como o número é divisível por 9, a soma dos algarismos é divisível por 9 .

Por outro lado, como todos os algarismos são pares, a soma dos algarismos também é par. Assim, a soma dos algarismos é no mínimo 18. O menor múltiplo de 9 com a soma dos algarismos igual a 18 é 99 , mas seus algarismos são ímpares. Isto implica que o número deve ter três ou mais algarismos.

Se queremos o menor número com 3 algarismos, o primeiro algarismo deve ser no mínimo 2. Neste caso, a soma dos outros dois algarismos é igual a 16 e como são pares, a única possibilidade é 288.

Portanto, $288=9 \times 32$ é o menor múltiplo de 9 com todos os algarismos pares.

## 2 | Guardando Cubos

Uma caixa possui o formato de um bloco retangular de dimensões $102 \mathrm{~cm}, 255 \mathrm{~cm}$ e $170 \mathrm{~cm}$. Queremos guardar nessa caixa a menor quantidade possível de pequenos cubos de aresta inteira, de forma a ocupar toda a caixa.

Sugestão: Note que a medida da aresta do cubo deve ser um divisor de cada uma das três medidas das dimensões da caixa.

(a) Qual a medida da aresta de cada bloco?

(b) Quantos blocos serão necessários?

## Solução:

(a) Como a quantidade de blocos é a menor possível, a aresta do mesmo deve ser a maior possível. A medida da aresta deve ser um divisor de 102, 255 e 170. Como queremos a maior aresta possível, a medida dela deve ser igual ao $\operatorname{mdc}(102,255,170)=17$. Logo, a aresta do cubo mede $17 \mathrm{~cm}$.

(b) O número de blocos é

$$
\frac{102 \cdot 255 \cdot 170}{17 \cdot 17 \cdot 17}=6 \cdot 15 \cdot 10=900
$$

Sugestão: Determine o valor mínimo para a soma dos algarismos do número.

Fatos que Ajudam: A soma dos algarismos de um múltiplo de 9 é divisível por 9 .

Sugestão: Determine os possíveis valores para o produto e suas fatorações.

Fatos que Ajudam: 101 é primo.
Sugestão: Mostre inicialmente que ele não pode ter comprado mais de 127 artigos.

## 3 | Calculadora Quebrada

Tio Mané tem uma calculadora quebrada que não tem a tecla 0 e no visor nunca aparece 0 depois de alguma operação. Assim, por exemplo, se ele multiplica $3 \times 67$, obtém como resposta 21 , ao invés de 201.

Tio Mané multiplicou dois números de dois algarismos em sua calculadora e obteve no visor o número 11. Quais são os possíveis números que ele multiplicou?

Solução: Como a calculadora não possui a tecla $O$, o produto de dois números de dois algarismos nesta calculadora é maior ou igual a $11 \times 11=121$ e menor que $100 \times 100=10000$, as possíveis respostas para o produto são: 1001, 1010 e 1100. Para cada um dos casos temos:

- $1001=11 \times 91=13 \times 77$, duas possíveis soluções;
- $1010=101 \times 10$ e como 101 é primo, não temos solução neste caso;
- $1100=11 \times 2^{2} \times 5^{2}=25 \times 44$ é a única solução já que nenhum dos dois fatores pode ser divisível simultaneamente por 2 e 5 .

Portanto, os possíveis produtos efetuados por Tio Mané são $11 \times 91$ ou $13 \times 77$ ou $25 \times 44$.

## 4 | Loja em Quixajuba

Uma loja em Quixajuba só vende artigos com preços de R $\$ 0,99$, R\$ 1,99, R\$ 2,99, e assim sucessivamente. Tio Mané realizou uma compra no valor total de R $\$ 125,74$. Quantos artigos ele pode ter comprado?

Solução: Inicialmente observe que $\frac{125,74}{0,99}<128$, portanto Tio Mané comprou no máximo 127 artigos. Como a compra efetuada custa 26 centavos abaixo de um valor inteiro, ele comprou ou 26 artigos, ou 126 artigos, ou 226 artigos, etc. Porém, como só adquiriu no máximo 127 artigos, então ele pode ter comprado 26 ou 126, que são quantidades possíveis de se comprar. Veja os exemplos:

- 26 artigos: 25 artigos de R\$ 0,99 e um no valor de R\$100,99.
- 126 artigos: 125 artigos de R\$0,99 e um no valor de R\$1,99.


## 5 | Números Sortudos

Dizemos que um número natural é sortudo se todos os seus dígitos são iguais a 7. Por exemplo, 7 e 7777 são sortudos, mas 767 não é. João escreveu num papel os vinte primeiros números sortudos começando pelo 7, e depois somou-os. Qual o resto da divisão dessa soma por 1000 ?

Solução: Observemos que se um número sortudo tem mais de 3 algarismos, o resto da divisão por 1000 é 777.

Assim, o resto que estamos procurando é o mesmo resto da divisão de

$$
7+77+\underbrace{777+777+\cdots+777}_{18 \text { vezes }}
$$

por 1000. Mas este número é

$$
84+18 \times 777=84+13986=14070
$$

Assim, o resto é 70.

## 6 | Somando Idades

Cada pessoa de um grupo de dez pessoas calcula a soma das idades das outras nove integrantes do grupo. As dez somas obtidas foram $82,83,84,85,87,89,90,90,91$ е 92 .

Determine a idade da pessoa mais jovem.

Solução: Observe que a idade de cada pessoa aparece como parcela em 9 dos 10 números. Assim, se somarmos os 10 números obteremos nove vezes a soma de todas as idades. Portanto, a soma das idades das dez pessoas é

$$
\frac{82+83+84+85+87+89+90+90+91+92}{9}=\frac{873}{9}=97
$$

A pessoa mais jovem obteve a maior soma, que corresponde à soma das idades dos nove mais velhos, portanto sua idade é $97-92=5$ anos.

## 7 | Menor Soma Positiva

O produto de 50 números inteiros consecutivos é zero e a soma desses números é positiva. Qual o menor valor que pode assumir essa soma?

Solução: Como o produto é igual a zero, um dos números tem de ser zero. Assim, para minimizar a soma devemos ter a maior quantidade de números negativos mas de forma que a soma ainda seja positiva.

Assim, a quantidade de números negativos deve ser menor que a quantidade de números positivos. Logo, entre os 49 números não nulos 24 são negativos e 25 são positivos. Portanto, a soma mínima é

$$
\begin{gathered}
-24+(-23)+(-22)+\cdots+(-1)+0+1+\cdots+25= \\
25+(-24+24)+(-23+23)+\cdots+(-1+1)+0=25
\end{gathered}
$$

Sugestão: Observe que a partir do número 777 , todos os números deixam o mesmo resto na divisão por 1000 .
Sugestão: Observe a quantidade de vezes que a idade de uma pessoa foi considerada nas dez somas.
Sugestão: Se o produto dos números é igual a zero, então um dos números deve ser igual a zero.

Sugestão: Observe o que ocorre com a soma dos algarismos do número quando se faz a operação descrita no problema.

Fatos que Ajudam: A média aritmética de dois números $a$ e $b$ é dada por

$$
\frac{a+b}{2}
$$

(1) $2(3) 4 \quad 5 \quad 6 \quad 7 \quad 8 \quad 9$

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(6) 2203401689

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8d3dbea621321b3cd252g-4.jpg?height=74&width=449&top_left_y=1511&top_left_x=148)

$\begin{array}{lllllllll}8 & 2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\end{array}$

Sugestão: Analise os restos dos números da sequência quando são divididos por 3.

Fatos que Ajudam: Um número e a soma de seus algarismos deixam o mesmo resto quando divididos por 3.

## 8 | Média dos Algarismos

Paulinho escreveu um número no quadro e depois inventou a seguinte brincadeira: escolhe dois algarismos do número que sejam ambos pares ou ambos ímpares e troca cada um deles pela sua média aritmética. Ele repete este processo quantas vezes quiser, desde que o número disponha de dois algarismos com a mesma paridade. Por exemplo, ele escreveu o número 1368 e obteve a sequência na qual foram destacados os algarismos que serão trocados no passo seguinte.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8d3dbea621321b3cd252g-4.jpg?height=137&width=986&top_left_y=691&top_left_x=729)

(a) Com esta brincadeira, é possível obter o número 434434 a partir do número 324561 ?

(b) Paulinho escreveu o número 123456789 no quadro. Mostrar que com este processo, selecionando os números adequadamente, ele pode obter um número maior que 800000000 .

## Solução:

(a) Observemos que com este processo a soma dos algarismos do número não muda. Como a soma dos algarismos de 324561 é 21 e a soma dos algarismos de 434434 é 22, segue que é impossível obter 434434 a partir de 324561.

(b) Apresentamos uma sequência de passos que gera, a partir do número 123456789, um número maior que 800000000 .

## 9 | Sequência Numérica I

Todo termo de uma sequência, a partir do segundo, é igual à soma do anterior com a soma de seus algarismos. Os primeiros elementos da sequência são

$$
1,2,4,8,16,23,28,38,49, \ldots
$$

É possível que 793210041 pertença a essa sequência?

Solução: Sabemos que um número e a soma de seus algarismos deixam o mesmo resto quando divididos por 3 . Em cada caso, se o número deixa resto 1 na divisão por 3 , então o número mais a soma de seus algarismos deixa resto 2 na divisão por 3 , e se o número deixa resto dois, então a soma dele com a soma de seus algarismos deixa resto 1 porque $2+2=4$ deixa resto 1 .

Calculando os restos da sequência quando dividimos por 3 , obtemos uma nova sequência

$$
1,2,1,2,1, \ldots
$$

isto é, uma sequência periódica onde aparecem unicamente os restos 1 e 2. Como o número 793210041 é divisível por 3, então ele não pertence à sequência.

## 10 | Estrelas em Geometrix

Estrelix, um habitante de Geometrix, decidiu colocar os inteiros positivos seguindo a disposição indicada na figura.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8d3dbea621321b3cd252g-5.jpg?height=300&width=651&top_left_y=455&top_left_x=471)

Figura 10.1

Em quais estrelas aparece o número 2011? Posicione todos os números que aparecem nas referidas estrelas.

Solução: Consideremos que cada estrela tem em sua composição 11 números e outros dois números, que serão contados na estrela seguinte, conforme a figura 10.2. Dividindo 2011 por 11, obtemos quociente 182 e resto 9. Assim, o número 2011 é o nono número da $183^{\mathrm{a}}$ estrela, que está representada na figura 10.3.
Sugestão: Separe as estrelas deixando os números compartilhadas sempre na estrela à direita.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8d3dbea621321b3cd252g-5.jpg?height=288&width=486&top_left_y=1078&top_left_x=1433)

números com-

partilhados

Figura 10.2

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8d3dbea621321b3cd252g-5.jpg?height=396&width=443&top_left_y=1561&top_left_x=1452)

Figura 10.3