# 18. Desafios 

Nível 1 Soluções

## 31 | Vizinhos e Distantes

É possível escrever os números naturais de 1 a 100 sobre uma reta de modo que a diferença entre quaisquer dois números vizinhos seja maior ou igual a 50 ?

Solução: Observe que o único vizinho possível para o 50 é o número 100 e o único vizinho possível para o número 51 é o número 1. Portanto, 50 e 51 devem aparecer nas extremidades da configuração. Começando por 51, obtemos a configuração.

$$
51 \rightarrow 1 \rightarrow 52 \rightarrow 2 \rightarrow 53 \rightarrow \cdots \rightarrow 100 \rightarrow 50
$$

É possível demonstrar que esta configuração e a que contém os números na ordem inversa, são as únicas possíveis.

De fato, os únicos possíveis vizinhos de 52 são o 1 e o 2, logo os vizinhos de 1 são 51 e 52 . Como 1 não é vizinho de 53, então os únicos possíveis vizinhos de 53 são 2 e 3.

Do mesmo modo descobrimos que os únicos vizinhos possíveis de 54 são o 3 e o 4 (pois o 2 e o 1 já têm vizinhos) e continuando esse processo mostramos que esta é a única sequência possível.

Observe que a configuração é formada intercalando os números dos conjuntos $\{51,52, \ldots, 100\}$ e $\{1,2, \ldots 50\}$.

## 32 | Truque com Cartas

Um mágico com os olhos vendados dá 29 cartas numeradas de 1 a 29 para uma mulher da plateia. Ela esconde duas cartas no bolso e devolve as restantes para a assistente do mágico.

A assistente escolhe duas cartas dentre as 27 e um homem da plateia lê, na ordem que quiser, o número destas cartas para o mágico. Após isto, o mágico adivinha o número das cartas que foram escondidas pela mulher.

Como o mágico e sua assistente podem combinar uma estratégia para realizarem esse truque?

Solução: Existem várias estratégias possíveis. Vamos apresentar

Sugestão: Analise os possíveis vizinhos do número 50 e do número 51 .
![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_f834661fc4998f822873g-1.jpg?height=912&width=508&top_left_y=1378&top_left_x=1430)

Figura 32.1 uma.

Separemos em dois casos:

- Primeiro Caso: A mulher escolheu duas cartas não consecutivas (estamos supondo que 29 e 1 são consecutivos). Nesse caso, a assistente escolhe as duas cartas posteriores às escolhidas pela mulher.

Sugestão: O número máximo de pontos no campeonato é três vezes a quantidade de jogos. A cada empate, este número diminui em uma unidade.

- Segundo Caso: A mulher escolheu duas cartas consecutivas. Nesse caso, a assistente escolhe as duas cartas posteriores à maior carta. No caso em que a mulher escolhe as cartas 29 e 1, a assistente pega as cartas 2 e 3.

Para realizar o truque, o mágico precisa somente dizer as duas cartas anteriores em qualquer dos casos.

## 33 | Campeonato de Quixajuba

A tabela mostra a classificação final do campeonato de futebol de Quixajuba. Neste campeonato cada time jogou com cada um dos outros quatro vezes. Cada time ganha 3 pontos por vitória, 1 por empate e não ganha pontos em caso de derrota.

| Equipe | Pontos |
| :---: | :---: |
| Bissetriz | 22 |
| Primo | 19 |
| Potência | 14 |
| MDC | 12 |

(a) Quantas partidas foram disputadas no campeonato?

(b) Quantas partidas terminaram empatadas?

## Solução:

(a) Existem 6 possíveis confrontos entre os quatro times (Bissetriz $\times$ Primo), (Bissetriz $\times$ Potência), (Bissetriz $\times$ MDC), (Primo $\times$ Potência), (Primo $\times$ MDC) e (Potência $\times$ MDC). Cada um destes confrontos aconteceu 4 vezes e logo o número de partidas é igual a $4 \times 6=24$.

(b) O número máximo de pontos do campeonato é igual a 3 vezes o número de jogos, isto é, $3 \times 24=72$. Cada vez que acontece um empate este número diminui uma unidade. Como o número total de pontos ao final do campeonato foi $22+19+14+12=67$, o número de partidas que terminaram empatadas é $72-67=5$.

## 34 | Tabuleiro 6 x 6

Você dispõe de doze peças em formato de L, como a mostrada na figura 34.1. Cada figura é formada por três quadrados de lado 1. Mostre como cobrir um quadrado $6 \times 6$ com essas peças, de modo que nenhum retângulo $2 \times 3$ seja formado por exatamente duas de tais peças.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_f834661fc4998f822873g-2.jpg?height=146&width=140&top_left_y=2234&top_left_x=1141)

Solução: A figura 34.2 exibe uma possível divisão.

## 35 | Somando Algarismos

Quantos números naturais de três algarismos são tais que a soma destes é igual a 24 ?

Solução: Se todos os algarismos forem menores que 8 , a soma será menor que $3 \times 8=24$.

Se um deles for igual a 8 , a soma dos outros dois será 16 e temos as possibilidades: $16=8+8=7+9$. Obtemos então sete soluções 888 , $789,798,879,897,978$ e 987.

Se um dos algarismos for igual a 9, a soma dos outros dois será 15 e temos as possibilidades: $15=7+8=6+9$. A primeira igualdade leva a soluções já encontradas. A outra resulta nos números 699, 969 e 996.

Existem então dez naturais com a propriedade desejada: 888, 789, $798,879,897,978,987,699,969$ е 996.

## 36 | Contando Quadrados

Doze pontos são marcados sobre uma grade de pontos, como mostrado na figura 36.1.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_f834661fc4998f822873g-3.jpg?height=224&width=235&top_left_y=1239&top_left_x=748)

Figura 36.1

Quantos quadrados podem ser formados ligando quatro desses pontos?

Solução: No total existem 11 quadrados, como indicado abaixo.

- 5 quadrados pequenos, como na figura 36.2.
- 4 quadrados maiores, como na figura 36.3.
- E 2 quadrados maiores ainda, mostrados na figura 36.4.
Sugestão: Observe que todos os algarismos não podem ser menores que 8 .

Sugestão: Verifique que existem quadrados inclinados, de dois tamanhos diferentes.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_f834661fc4998f822873g-3.jpg?height=220&width=214&top_left_y=1529&top_left_x=1566)

Figura 36.2

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_f834661fc4998f822873g-3.jpg?height=223&width=218&top_left_y=1833&top_left_x=1567)

Figura 36.3

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_f834661fc4998f822873g-3.jpg?height=214&width=211&top_left_y=2143&top_left_x=1568)

Figura 36.4

## 37 | A Moeda Falsa

Temos 25 moedas aparentemente iguais, mas sabemos que exatamente uma delas é falsa e tem o peso diferente do peso das outras. Não sabemos qual é a moeda falsa. Todas as outras 24 moedas possuem o mesmo peso.

Queremos determinar, utilizando uma balança de pratos, se a moeda falsa é mais leve ou mais pesada que as outras.

Como podemos alcançar este objetivo realizando duas pesagens em uma balança de pratos?

- Não queremos encontrar a moeda falsa. Queremos saber se ela é mais leve ou mais pesada que as outras.
- Nesse tipo de balança podemos comparar os pesos colocados nos dois pratos, ou seja, a balança pode equilibrar ou pender para o lado mais pesado.

Solução: Separe uma das moedas e coloque as outras 24 na balança, com 12 em cada prato. Temos duas possibilidades:

(1) A balança equilibra. Neste caso, concluímos que a moeda falsa é a que não está na balança e todas as que estão na balança são verdadeiras. Basta realizar uma nova pesagem com a moeda falsa e uma outra moeda qualquer.

(2) A balança não equilibra. Pegamos as 12 moedas do prato mais leve e colocamos novamente na balança com 6 moedas em cada prato. Temos novamente dois casos.

(a) Se a balança equilibrar, então todas as 12 moedas são verdadeiras e podemos concluir que a moeda falsa era uma das outras 12 do grupo mais pesado. Portanto, neste caso, a moeda falsa é mais pesada.

(b) Se a balança não equilibrar, a moeda falsa é uma destas 12 moedas e como este grupo é mais leve que o outro, concluímos que a moeda falsa é mais leve.

Sugestão: Cada peça do dominó sempre cobre uma casa preta e uma casa branca.

## 38 | O Tabuleiro Mutilado

A figura abaixo mostra um tabuleiro $8 \times 8$ no qual duas casas foram retiradas (a do canto inferior direito e a do canto superior esquerdo). É possível cobrir este tabuleiro com 31 dominós $2 \times 1$ ? Cada dominó pode ser colocado na horizontal ou na vertical cobrindo exatamente duas casas.
![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_f834661fc4998f822873g-4.jpg?height=552&width=414&top_left_y=2076&top_left_x=998)

Figura 38.1

Solução: Cada vez que colocamos uma peça de dominó no tabuleiro, cobrimos uma casa branca e uma casa preta. Deste modo, o número de casas pretas cobertas é igual ao número de casas brancas cobertas.

Como nosso tabuleiro tem 30 casas pretas e 32 casas brancas, não é possível colocarmos 31 dominós.

## 39 | Dividindo um Retângulo

(a) É possível dividir um retângulo $39 \times 55$ em retângulos $5 \times 11$ ?

(b) É possível dividir um retângulo $55 \times 27$ em retângulos $5 \times 11$ ?

## Solução:

(a) Suponha que seja possível fazer tal divisão. O lado de medida 39 será então escrito como soma de múltiplos de 5 e 11. É claro que serão utilizadas no máximo 3 parcelas 11. Vamos analisar as possibilidades:

(1) Não é possível usar somente múltiplos de 5 porque 39 não é divisível por 5.

(2) Não é possível usar um 11 porque 39 - 11 = 28 não é divisível por 5.

(3) Não é possível usar duas parcelas 11 porque $39-2 \times 11=17$ não é divisível por 5 .

(4) Não é possível usar três parcelas 11 porque $39-3 \times 11=6$ não é divisível por 5 .

Logo, não é possível dividir um retângulo 39 × 55 em retângulos $5 \times 11$.

(b) Já no caso do retângulo $55 \times 27$ podemos escrever

$$
27=5+11+11
$$

Como o lado de medida 55 pode ser coberto tanto por 5 lados de medida 11 quanto por 11 lados de medida 5, basta repetir a posição dos retângulos usados na cobertura do lado de medida 27 até completar o retângulo, conforme a figura 39.1
Sugestão: Analise a possibilidade de se obter 39 e 27 como soma de várias parcelas 5 e 11 .

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_f834661fc4998f822873g-5.jpg?height=286&width=488&top_left_y=1559&top_left_x=1435)

Figura 39.1

Sugestão: Comece preenchendo o tabuleiro pelas casas vizinhas a um canto.

## 40 | Números no Tabuleiro $4 \times 4$

Guilherme escreveu 0 ou 1 em cada casa de um tabuleiro $4 \times 4$. Ele colocou os números de modo que a soma dos números das casas vizinhas de cada casa do tabuleiro fosse igual a 1.

Por exemplo, na figura 40.1, considerando a casa marcada com $\bullet$, a soma dos números das casas sombreadas é igual a 1 .

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_f834661fc4998f822873g-6.jpg?height=331&width=297&top_left_y=571&top_left_x=1051)

Determine a soma de todos os 16 números do tabuleiro.

Solução: Cada casa só pode ter um vizinho com um número 1 e os outros vizinhos devem ser zeros, já que a soma dos vizinhos é 1 .

Começando do canto superior esquerdo, podemos supor sem perda de generalidade que preenchemos o tabuleiro como na figura 40.2.

Nos passos seguintes, as casas preenchidas são as vizinhas da casa marcada.

Em cada passo, os números preenchidos são únicos para respeitar as condições do problema.

A soma dos números nas casas preenchidas é 3. Fazendo uma análise semelhante, começando no canto inferior esquerdo ou no canto superior direito, concluímos que a soma dos números das outras casas também é igual a 3.

Portanto, a soma dos números colocados no tabuleiro é sempre igual a 6.