# 17. Diversos 

Nível 1 Soluções

## 21 | Colorindo Mapas

No mapa da figura 21.1 a curva XY é uma das fronteiras. Países como I e II têm fronteira comum. O ponto $Y$ não é considerado fronteira, ou seja, países como I e V não têm fronteira comum. Você deve colorir o mapa fazendo países de fronteira comum terem cores diferentes.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d889f7c81233a28648eeg-1.jpg?height=234&width=311&top_left_y=1071&top_left_x=701)

Figura 21.1

(a) Qual é o número mínimo de cores para colorir o mapa? Mostre como colori-lo.

(b) Desenhe outro mapa de 6 países, que precise de pelo menos 4 cores para ser pintado. Mostre como colori-lo com cores A, B, C e D.

## Solução:

(a) No mínimo são necessárias duas cores, como mostrado na figura 21.2.

(b) As figuras 21.3 e 21.4 exibem dois mapas com seis países que precisam de no mínimo quatro cores para serem pintados.

## 22 | De Coco da Selva a Quixajuba

As cidades de Coco da Selva e Quixajuba estão ligadas por uma linha de ônibus. De Coco da Selva saem ônibus para Quixajuba de hora em hora e o primeiro parte à meia-noite em ponto. De Quixajuba saem ônibus para Coco da Selva de hora em hora e o primeiro parte à meianoite e meia em ponto. A viagem de ônibus é feita em exatamente 5 horas.

Se um ônibus sai de Coco da Selva ao meio-dia, quantos ônibus vindo de Quixajuba ele encontra durante o percurso?

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d889f7c81233a28648eeg-1.jpg?height=226&width=317&top_left_y=1643&top_left_x=1506)

Figura 21.2

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d889f7c81233a28648eeg-1.jpg?height=249&width=305&top_left_y=1943&top_left_x=1521)

Figura 21.3

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d889f7c81233a28648eeg-1.jpg?height=220&width=214&top_left_y=2260&top_left_x=1566)

Figura 21.4

Solução: Observemos que o ônibus que parte de Coco da Selva para Quixajuba encontra os ônibus que, no momento de sua saída, estão

Sugestão: Divida as moedas em três grupos de 16 moedas. no caminho de Quixajuba para Coco da Selva e mais os ônibus que partem nas cinco horas seguintes.

Os ônibus que estão na estrada são aqueles que partiram até 5 horas antes desse ônibus, enquanto os ônibus que ainda vão partir têm de fazê-lo até 5 horas depois. Assim o ônibus se encontrará com todos aqueles que partiram de Quixajuba entre $7 \mathrm{~h} 30 \mathrm{~min}$ e $16 \mathrm{~h} 30 \mathrm{~min}$, que são 10.

## 23 | O Baralho de João

João possui um baralho com 52 cartas numeradas de 1 até 52 . Um conjunto de três cartas é chamado sortudo se a soma dos algarismos em cada carta é a mesma. Qual é o número mínimo de cartas que João tem de pegar do baralho, sem olhar, de tal forma que entre as cartas que ele pegou necessariamente existam três cartas que formam um conjunto de cartas sortudo?

Solução: Primeiro observemos que a soma dos algarismos das cartas é no máximo $4+9=13$ o que somente acontece com a carta 49. Já para as somas que estão entre 1 e 12, há pelo menos duas cartas que satisfaçam cada soma, assim pegando a carta 49 mais duas cartas para cada soma entre 1 e 12 , isto é, $2 \times 12+1=25$ cartas, ainda não temos três cartas que formam um conjunto sortudo.

Agora, se pegamos 26 cartas, no mínimo 25 têm soma de seus algarismos entre 1 e 12. Logo, pelo menos, 3 cartas têm a mesma soma dos algarismos.

## 24 | Moedas e Pesagens

Ana possui 48 moedas aparentemente iguais. Porém, exatamente uma das moedas é falsa e tem peso diferente do peso das outras. Ela possui uma balança eletrônica que mede o peso total de qualquer quantidade de moedas. Mostre como ela pode determinar a moeda falsa realizando sete pesagens.

Solução: Dividimos as 48 moedas em três grupos de 16 moedas e realizamos três pesagens. A moeda falsa estará no grupo de peso diferente.

Além disso, já é possível determinar o peso da moeda falsa e das moedas boas.

Pegamos o grupo de 16 moedas que contém a moeda falsa e dividimos em dois grupos de 8. Escolhemos um grupo e o pesamos. Como sabemos qual é o peso que devemos obter se a moeda é falsa ou boa, podemos determinar se a moeda está nesse grupo ou no grupo que não foi pesado.

Pegamos novamente o grupo que contém a moeda falsa, dividimos em dois grupos com a mesma quantidade de moedas e pesamos um dos grupos. Realizando mais quatro vezes este processo, até pesar uma única moeda, podemos determinar a moeda falsa.

Deste modo, precisamos de três pesagens iniciais e mais quatro pesagens dividindo os grupos pela metade. Ao todo, precisamos de sete pesagens.

## 25 | Distribuindo Maçãs

Noventa e nove maçãs são distribuídas entre alguns garotos de tal forma que todos recebem quantidades diferentes de maçãs.

(a) Qual o número máximo de garotos que pode haver nesse grupo?

(b) Havendo dez garotos, qual o número máximo de maçãs que recebe o garoto que ganhou menos maçãs?

## Solução:

(a) Para maximizar o número de garotos temos de minimizar o número de maçãs que cada um pode receber. Neste caso, os primeiros números naturais $1,2,3,4, \ldots$, correspondem às quantidades de maçãs que cada garoto deverá receber, exceto o último garoto. Como

$$
1+2+3+\cdots+12+13=91
$$

e

$$
1+2+3+\cdots+13+14=105
$$

o número máximo de garotos é 13 .

(b) Observemos que

$$
1+2+\cdots+10=55
$$

é o número mínimo de maçãs que recebem os dez garotos. Para cada maçã que damos ao garoto com menor número de maçãs, temos de dar uma maçã a cada um dos outros para que todos fiquem com quantidades distintas de maçãs.

Como $99-55=44$ podemos dar 4 maçãs a mais para todos os garotos. Portanto, o garoto com menos maçãs pode receber no máximo 5 maçãs (Observe que $5+6+\cdots+14=95$ e $6+7+\cdots+15=$ 105).

## 26 | Maria e seus Convidados

Maria convidou nove garotos e oito garotas para sua festa de aniversário. Ela preparou camisetas com os números de 1 a 18, ficou com a de número 1 e distribuiu as demais para seus convidados. Durante uma dança, ela observou que a soma dos números de cada casal era um quadrado perfeito. Quais pares estavam dançando?

Solução: Observe inicialmente que a maior soma possível para um casal é $18+17=35<6^{2}$, donde obtemos os pares $\{18,7\},\{17,8\}$ e $\{16,9\}$. Consideremos agora dois casos:

- O par do 15 é o 10.

Segue que o par do 6 é o 3 e não há escolha para o par do 1.

- O par do 15 é o 1.

Segue que o par do 10 é o 6 , o par do 2 é o 14 , o par do 3 é o 13 , o par do 12 é o 4 e o par do 5 é o 11. Portanto, existe somente uma solução:

$$
\{1,15\},\{2,14\},\{3,13\},\{4,12\},\{5,11\},\{6,10\},\{7,18\},\{8,17\},\{9,16\}
$$

Sugestão: Para maximizar o número de garotos temos de minimizar o número de maçãs que cada um recebe.
Sugestão: Determine inicialmente o maior quadrado perfeito que é a soma de dois números dentre os citados.

Sugestão: Comece comparando os cartões de $A$ e de $B$.

## 27 | Cartões de Apostas

Três apostadores A, B e C preenchem individualmente um cartão de apostas, dos possíveis resultados de cinco jogos de futebol ( $C=$ vitória do time da casa, $\mathrm{E}=$ empate, $\mathrm{V}=$ vitória do visitante). Os cartões preenchidos foram:
![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d889f7c81233a28648eeg-4.jpg?height=310&width=988&top_left_y=530&top_left_x=707)

Finalizadas as partidas, observou-se que $A$ obteve três acertos, $B$ obteve três acertos e C obteve dois acertos. Construa um cartão com cinco acertos.

Solução: A e B obtiveram juntos 6 acertos, mas só há 5 jogos, logo

|  | $C$ | $E$ | $V$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 1 | $\times$ |  |  |
| 2 | $\times$ |  |  |
| 3 | $\times$ |  |  |
| 4 |  | $\times$ |  |
| 5 | $\times$ |  |  |

houve pelo menos um jogo em que ambos acertaram. Comparando seus cartões, apenas no jogo 4 houve respostas iguais. Logo, esse jogo está certo e dos outros quatro jogos, A acertou 2 e B acertou outros 2 .

Comparando o cartão do B com o cartão do C, em todos os jogos suas respostas foram diferentes, então os 2 acertos de $C$ também são acertos de $A$. Mas os cartões de A e $C$ unicamente coincidem nos jogos 1 e 2, que devem ser os resultados corretos dos jogos. Portanto os jogos 3 e 5 foram acertados por B, obtendo a tabela ao lado.

## 28 | Números de 1 a 16

Sugestão: Encontre todos os possíveis vizinhos do número 16 . (a) Mostre que os números de 1 a 16 podem ser escritos numa reta, de tal modo que a soma de quaisquer dois números vizinhos seja um quadrado perfeito.

(b) Mostre que os números de 1 a 16 não podem ser escritos ao redor de uma circunferência, de tal modo que a soma de quaisquer dois números vizinhos seja um quadrado perfeito.

Solução: A observação-chave que ajuda a resolver (a) e resolve (b) é procurar os possíveis vizinhos para o número 16.

Um vizinho de 16 é um número que somado a 16 resulte em um quadrado perfeito. Um candidato é o número 9 , pois $16+9=5^{2}$.

Não existem outros, pois o próximo quadrado perfeito após o 25 é o 36 e a maior soma que podemos obter dentre dois números de 1 a 16 é $15+16=31$.

(a) Como o 16 só tem um vizinho possível, ele deve ficar numa extremidade. Começando com o 16 obtemos a solução abaixo.

$16-9-7-2-14-11-5-4-12-13-3-6-10-15-1-8$

(b) Para que fosse possível colocar todos os números de 1 a 16 ao redor de uma circunferência, todo número deveria ter dois vizinhos. Mas o único vizinho possível para o 16 é 9, impossibilitando a construção circular.

## 29 | Calculando Somas

Considere um tabuleiro com 11 linhas e 11 colunas.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d889f7c81233a28648eeg-5.jpg?height=349&width=349&top_left_y=408&top_left_x=682)

Figura 29.1

(a) Quantas casas formam este tabuleiro?

(b) A diagonal cujas casas estão sombreadas separa o tabuleiro em duas regiões: uma acima e outra abaixo. Quantas casas formam cada região? É possível calcular esse número sem contar casa por casa?

(c) Com a ajuda do tabuleiro, é possível calcular a soma $1+2+\cdots+10$. Explique como.

(d) Com a ajuda de outro tabuleiro, com o raciocínio semelhante ao do item anterior, é possível calcular a soma $1+2+\cdots+100$. Qual deve ser a quantidade de linhas e colunas do tabuleiro? Qual o valor da soma?

## Solução:

(a) Como há 11 casas em cada linha do tabuleiro e este possui 11 linhas, o total de casas é $11 \times 11=121$.

(b) Como há uma casa da diagonal em cada linha do tabuleiro e este possui 11 linhas, o total de casas da diagonal é 11. Por outro lado, a diagonal é um eixo de simetria, separando duas regiões iguais. Existem $11 \times 11$ casas no tabuleiro e destas 11 estão na diagonal. O número de casas que formam cada região é então $(11 \times 11-11) / 2=55$.

(c) Vamos contar o número de casas em cada peça por linha (veja a figura 29.2). A primeira linha contém 1 casa, a segunda 2, a terceira 3 e assim por diante, até a última linha, que contém 10 casas. Portanto, a soma $1+2+\cdots+10$ é o total de casas de cada peça, as quais contêm 55 casas:

$$
1+2+\cdots+10=\frac{11 \times 11-11}{2}=55
$$

Sugestão: Observe que as duas regiões formadas são iguais. No item (c), conte as casas de cada peça por linha.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d889f7c81233a28648eeg-5.jpg?height=363&width=331&top_left_y=1977&top_left_x=1502)

(d) Vamos considerar um tabuleiro com 101 linhas e 101 colunas e considerar a diagonal que o separa em duas regiões iguais. A diagonal contém 101 casas e cada região contém $(101 \times 101-$ 101) $/ 2=5050$ casas. Por outro lado, contando o número de casas por linha, obtemos $1+2+\cdots+100$. Portanto,

$$
1+2+\cdots+100=5050
$$

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d889f7c81233a28648eeg-6.jpg?height=343&width=388&top_left_y=314&top_left_x=206)

Figura 29.3

## Problema Relacionado

Considere o tabuleiro com 10 linhas e 10 colunas, da figura 29.3. Ele está dividido em dez peças no formato $\square$ coloridas alternadamente de branco e cinza. A primeira peça é formada somente por uma casa.

(a) Quantas casas formam a sétima peça? E a décima peça?

(b) É possível calcular a soma $1+3+\cdots+19$ com a ajuda deste tabuleiro. Como?

(c) Com um raciocínio semelhante a este e com o auxílio de outro tabuleiro é possível calcular a soma $1+3+5+\cdots+99$. Quantas linhas e colunas deve ter o tabuleiro? Qual o valor da soma?

## 30 | Herança para Cinco Filhos

Divida a figura 30.1 em cinco partes do mesmo formato e com áreas iguais de tal modo que cada parte contenha exatamente um quadrado cinza.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d889f7c81233a28648eeg-6.jpg?height=309&width=368&top_left_y=925&top_left_x=1021)

Figura 30.1

Solução: A figura 30.2 mostra a solução do problema.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d889f7c81233a28648eeg-6.jpg?height=320&width=391&top_left_y=1465&top_left_x=1004)

Figura 30.2