# 23. Desafios Nível 2 Soluções ## 75 | Ora Bolas! Cinco bolas iguais estão se movendo na mesma direção ao longo de uma reta fixa, mantendo uma certa distância de uma para outra. Na mesma direção, mas no sentido oposto, outras cinco bolas se movem de encontro às primeiras. As velocidades de todas as bolas são iguais. Quando duas bolas colidem, voltam na mesma velocidade de antes, ao longo da mesma direção. Quantas colisões entre bolas vão ocorrer? ## Solução: ## 0000000000 Uma solução clara para o problema seria fazer todo o percurso das bolas, mas adotaremos outra estratégia. Imagine que quando há a colisão de duas bolas, ao invés de gerar a volta das mesmas, uma bola se transforma na outra, como se não houvesse a colisão. Chamaríamos a esse processo de transmutação. É claro que cada colisão do problema inicial corresponde a uma transmutação na nossa interpretação. Mas o número de transmutações é bem mais fácil de calcular, porque as bolas não mudam de direção. As cinco bolas à esquerda encontrarão as cinco bolas à direita e o número procurado será então $5 \times 5=25$. ## 76 | Distância entre os Vilarejos A estrada que liga dois vilarejos em uma montanha é formada somente por trechos de subida ou descida. Um ônibus sempre viaja a $15 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ em trechos de subida e a $30 \mathrm{~km} / \mathrm{h} \mathrm{em}$ trechos de descida. Encontre a distância entre os vilarejos se o ônibus leva exatamente 4 horas para fazer a viagem completa de ida e volta. Solução: Observe que os trechos de subida no percurso de ida são exatamente os trechos de descida para a volta e vice-versa. Assim, em uma viagem de ida e volta a distância percorrida nas subidas é igual a distância percorrida nas descidas. Chamemos de $\mathrm{d}$ a distância entre os dois vilarejos. Como a distância total percorrida foi igual a $2 d$, então o tempo gasto subindo foi $d / 15$ Sugestão: Mostre que a situação do item (a) é possível e a do item (b) não. ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_9f6ce5ffa52bbf7500dfg-2.jpg?height=514&width=442&top_left_y=868&top_left_x=173) Sugestão: Perceba que para chegarem em até 2 h $40 \mathrm{~min}$, cada um deve fazer pelo menos metade do percurso de bicicleta. horas e o tempo gasto descendo foi $\mathrm{d} / 30$ horas. Como o tempo total foi 4 horas, temos $$ \frac{d}{15}+\frac{d}{30}=4 $$ Resolvendo a equação, encontramos $d=40$, ou seja, a distância entre os vilarejos é igual a $40 \mathrm{~km}$. ## 77 | Amigos que você pode Contar! Considere um grupo de 15 pessoas. É possível que cada uma delas conheça exatamente: (a) 4 pessoas do grupo? (b) 3 pessoas do grupo? (Admita que se $A$ conhece B então B conhece $A$.) ## Solução: (a) É possível. Representamos as 15 pessoas por pontos, conforme o diagrama ao lado. Um arco entre dois pontos significa que as duas pessoas representadas se conhecem. Como cada ponto está ligado a dois pontos à esquerda e a dois pontos à direita, saem quatro arcos de cada ponto, o que significa que é possível que cada pessoa conheça exatamente 4 pessoas do grupo. (b) Não é possível! Vamos representar as pessoas por pontos. Ligamos dois pontos se as pessoas representadas se conhecem. Quantos arcos vamos precisar traçar para representar todas as amizades? Cada ponto é extremidade de 3 arcos, resultando num total de $15 \times 3=45$ arcos que saem de todos os pontos. Porém, nesta contagem, cada arco foi contado duas vezes, nas duas extremidades. Portanto, o número de segmentos deve ser 45/2, o que é um absurdo, pois este número não é inteiro. ## 78 | Três Amigos e uma Bicicleta A distância entre Coco da Selva e Quixajuba é $24 \mathrm{~km}$. Dois amigos precisam ir de Quixajuba a Coco da Selva e um terceiro amigo precisa ir de Coco da Selva a Quixajuba. Eles possuem uma bicicleta que inicialmente está em Quixajuba. Cada um deles pode ir caminhando a velocidade de $6 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$, ou de bicicleta a velocidade de $18 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$. Além disso, podem deixar a bicicleta em qualquer ponto do trajeto. ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_9f6ce5ffa52bbf7500dfg-2.jpg?height=177&width=1012&top_left_y=2210&top_left_x=702) Mostre como eles podem proceder para chegarem a seus destinos em no máximo $2 \mathrm{~h} 40 \mathrm{~min}$. Solução: Chamaremos de A e B os amigos que estão em Quixajuba e C o que está em Coco da Selva. Nossos personagens podem seguir a seguinte estratégia: - Na primeira hora, A vai de bicicleta enquanto B e C irão caminhando. Depois dessa hora, $\mathrm{A}$ e $\mathrm{C}$ se encontram no quilômetro 18 (medido desde Quixajuba) e B está no quilômetro 6. - A continua caminhando e chegará a seu destino depois de uma hora. Enquanto isso, C continua de bicicleta e B fica parado esperando C chegar. Como a distância entre C e B é de $12 \mathrm{~km}$, isso acontecerá depois de 12/18 =2/3 h, isto é, 40 minutos. - Nesse ponto, C passa a bicicleta para B e cada um continua seu trajeto chegando a seus destinos em uma hora. Assim o tempo total empregado por $\mathrm{B}$ e $\mathrm{C}$ foi de $2 \mathrm{~h} 40 \mathrm{~min}$, enquanto A gastou $2 \mathrm{~h}$. ## 79 | Contando Polígonos Em uma circunferência foram marcados 15 pontos brancos e 1 ponto preto. Consideremos todos os possíveis polígonos (convexos) com seus vértices nestes pontos. Vamos separá-los em dois tipos: - Tipo 1: os que possuem somente vértices brancos. - Tipo 2: os que possuem o ponto preto como um dos vértices. Existem mais polígonos do tipo 1 ou do tipo 2? Quantos existem a mais? ## Solução: Observe que para cada polígono do tipo 1 podemos construir um polígono do tipo 2 adicionando o ponto preto. Por outro lado, se temos um polígono do tipo 2 e retirarmos o ponto preto, a única forma de não gerar um polígono é se sobrarem exatamente dois pontos brancos. Portanto, existem mais polígonos do tipo 2 do que do tipo 1. Para calcular a diferença, basta contar o número de pares de pontos brancos. Para isso, observe que cada ponto branco pode formar um par com cada um dos outros 14 pontos brancos. Assim, como existem 15 pontos brancos, teremos $15 \times 14$ pares ordenados. Segue que temos $15 \times 14 / 2=105$ pares de pontos. Observação: É possível determinar as quantidades de polígonos do tipo 1 e do tipo 2. Veja a caixa Contando Subconjuntos, na página 118. Sugestão: Construa um polígono do tipo 2 a partir de um polígono do tipo 1 . ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_9f6ce5ffa52bbf7500dfg-3.jpg?height=842&width=330&top_left_y=1124&top_left_x=1502) ## Sugestão: (a) Suponha $$ a \leqslant b \leqslant c \leqslant d \leqslant e $$ O que podemos dizer sobre $a+$ $b$ ? E sobre $d+e$ ? E sobre $a+c$ ? (b) Carlos não conseguirá alcançar seu objetivo porque existem dois conjuntos formados por quatro números que geram os números $10,20,22,24,26$ e 36 . ## 80 | Desafiando os Amigos! (a) Adriano escolheu secretamente cinco números a, b, c, d e e e informou a Bruna os dez números $24,28,30,30,32,34,36,36$, 40 e 42 obtidos pelo cálculo de todas as somas de dois números dentre os cinco escolhidos. O objetivo de Bruna é descobrir a, b, c, d, e. Bruna pode alcançar seu objetivo? (b) Adriano escolheu secretamente quatro números $\mathrm{m}, \mathrm{n}, \mathrm{p}$ e q e informou a Carlos os seis números 10, 20, 22, 24, 26 e 36 obtidos pelo cálculo de todas as somas de dois números dentre os quatro escolhidos. O objetivo de Carlos é descobrir m, n, p e q. Ele pode alcançar seu objetivo? ## Solução: (a) Suponha que $\mathrm{a} \leqslant \mathrm{b} \leqslant \mathrm{c} \leqslant \mathrm{d} \leqslant e$. Logo a menor soma é $\mathrm{a}+\mathrm{b}$ e $\mathrm{a}$ maior soma é $d+e$. A segunda menor é $a+c$ e a segunda maior é c $+e$. Assim, temos o sistema $$ \left\{\begin{array}{l} a+b=24 \\ a+c=28 \\ c+e=40 \\ d+e=42 \end{array}\right. $$ Por outro lado, cada número é utilizado em quatro somas e então $$ \begin{gathered} a+b+c+d+e= \\ \frac{24+28+30+30+32+34+36+36+40+42}{4}=83 \end{gathered} $$ Assim, $c=(a+b+c+d+e)-(a+b)-(d+e)=83-24-42=17$. Logo, $$ \begin{aligned} & \mathrm{a}=28-\mathrm{c}=11 \\ & \mathrm{~b}=24-\mathrm{a}=13 \\ & \mathrm{e}=40-\mathrm{c}=23 \\ & \mathrm{~d}=42-e=19 \end{aligned} $$ (b) Observe que os números 3, 7, 17 e 19 geram as somas 10, 20, 22, 24, 26 e 36 e o mesmo acontece com os números 4, 6, 16 e 20. Carlos não alcançará seu objetivo! ## Problema Relacionado Uma lista de seis inteiros positivos $p, q, r, s, t, u$ satisfaz $p