# 22. Diversos 

## 70 | Números no W

Em cada uma das casas do $W$ da figura, escrevemos um número inteiro de 1 a 9 de modo que a soma dos três números de cada uma das quatro linhas seja a mesma.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_7cb6fb53e49999d79ff3g-1.jpg?height=223&width=508&top_left_y=1005&top_left_x=608)

Figura 70.2

Já estão escritos o 6 e o 9. Como devem ser posicionados os outros números?

Solução: Seja $S$ a soma dos três números de cada linha e seja $x 0$ número mostrado na figura 70.3. Como o 9 , o 6 e $x$ estão em duas linhas, a soma de todas as somas das linhas é

$$
(1+2+\cdots+9)+(9+6+x)=45+(15+x)=60+x
$$

que também é igual a 4S. Assim,

$$
4 S=60+x \Longleftrightarrow S=15+\frac{x}{4}
$$

Como a soma $S$ é um número inteiro, $x$ deve ser divisível por 4 e como $x$ é um algarismo, temos que $x=4$ ou $x=8$, os quais correspondem a valores de $S$ iguais a 16 ou 17 , respectivamente.

Se $x=4$, o número que falta na linha que contém o 6 deve ser

$$
16-6-4=6
$$

o que não é possível, pois não podemos repetir números.

Logo, a única possibilidade é $x=8$ e a soma dos elementos de cada linha é 17. Agora, basta combinar os demais números nas linhas e obter a distribuição mostrada na figura 70.4 .

Sugestão: Determine os possíveis valores que podem ser colocados na casa vazia comum às duas linhas.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_7cb6fb53e49999d79ff3g-1.jpg?height=260&width=469&top_left_y=1041&top_left_x=1436)

Fatos que Ajudam: A soma dos 9 primeiros números inteiros positivos é

$$
1+2+\cdots+9=45
$$

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_7cb6fb53e49999d79ff3g-1.jpg?height=191&width=437&top_left_y=1658&top_left_x=1455)

Figura 70.3

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_7cb6fb53e49999d79ff3g-1.jpg?height=185&width=434&top_left_y=2089&top_left_x=1459)

Figura 70.4

Sugestão: Somar $i-1$ à primeira rodada equivale a somar 1 à rodada anterior.

## 71 | Montando Tabelas

Montar a tabela de um torneio em que todas as $n$ equipes se enfrentam ao longo de $n-1$ rodadas (como, por exemplo, em cada turno do Brasileirão) é um problema matemático bastante elaborado e que possui vários métodos de solução. Nesta questão, vamos conhecer uma dessas abordagens.

Vamos considerar um torneio com 6 equipes. Associaremos os números 1, 2, 3, 4, 5 e $\infty$ (infinito) a cada uma das equipes. A primeira rodada do torneio é $1 \times \infty, 2 \times 5,3 \times 4$. Para montarmos a rodada $i$ somamos $i-1$ a cada número envolvido nas partidas da rodada inicial, considerando que

- quando a soma ultrapassa 5, subtraímos 5 do resultado;
- $\infty$ adicionado a qualquer inteiro positivo é $\infty$. Por exemplo, a segunda rodada será:

$$
\begin{gathered}
(1+1) \times(\infty+1), \text { isto é, } 2 \times \infty \\
(2+1) \times(5+1) \text {, isto é, } 3 \times 1 \\
(3+1) \times(4+1) \text {, isto é, } 4 \times 5
\end{gathered}
$$

(a) Determine as 3 rodadas restantes do torneio, seguindo o método descrito acima.

(b) A partir do procedimento mostrado, exiba as 7 rodadas de um torneio com 8 equipes.

## Solução:

(a)

$$
\begin{gathered}
\left(\begin{array}{c}
1 \times \infty \\
2 \times 5 \\
3 \times 4
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{c}
2 \times \infty \\
3 \times 1 \\
4 \times 5
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{c}
3 \times \infty \\
4 \times 2 \\
5 \times 1
\end{array}\right) \rightarrow \\
\left(\begin{array}{c}
4 \times \infty \\
5 \times 3 \\
1 \times 2
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{c}
5 \times \infty \\
1 \times 4 \\
2 \times 3
\end{array}\right)
\end{gathered}
$$

(b)

$$
\begin{gathered}
\left(\begin{array}{c}
1 \times \infty \\
2 \times 7 \\
3 \times 6 \\
4 \times 5
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{c}
2 \times \infty \\
3 \times 1 \\
4 \times 7 \\
5 \times 6
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{c}
3 \times \infty \\
4 \times 2 \\
5 \times 1 \\
6 \times 7
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{c}
4 \times \infty \\
5 \times 3 \\
6 \times 2 \\
7 \times 1
\end{array}\right) \rightarrow \\
\left(\begin{array}{c}
5 \times \infty \\
6 \times 4 \\
7 \times 3 \\
1 \times 2
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{c}
6 \times \infty \\
7 \times 5 \\
1 \times 4 \\
2 \times 3
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{c}
7 \times \infty \\
1 \times 6 \\
2 \times 5 \\
3 \times 4
\end{array}\right)
\end{gathered}
$$

## 72 | Numerando os Vértices

Distribuímos nos vértices de um bloco retangular oito números dentre 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 de tal forma que a soma dos números de uma face qualquer seja igual a 18 .

(a) Quais os números descartados na distribuição?

(b) Exiba uma possível distribuição.

## Solução:

(a) Como o bloco possui seis faces, a soma dos números em todas as faces é $18 \times 6=108$, mas o número atribuído a cada vértice é contado três vezes nesta soma. Portanto, a soma dos números distribuídos é 108/3 = 36. Como a soma de todos os números de 1 a 10 é igual a 55, a soma dos dois números descartados é 19 . Concluímos que os números descartados são 9 e 10.

(b) Uma possível distribuição é exibida na figura 72.1.

## 73 | Corrida de São Paulo a Fortaleza

Numa corrida de São Paulo a Fortaleza participam quatro carros $A$, $B, C, D$ que largaram na seguinte ordem: primeiro $A$, segundo $B$, terceiro C e por último D. Durante a corrida, A e B trocaram de posição (ultrapassaram um ao outro) 9 vezes e B e C trocaram de posição 8 vezes.

Para saber em que ordem chegaram à Fortaleza, só é permitido fazer perguntas do tipo:

"Quantas vezes trocaram de posição os carros X e Y?"

Antes de fazer uma pergunta se conhece a resposta da pergunta anterior. Formule três perguntas que permitam determinar a ordem em que os quatro terminaram a corrida.

Solução: Inicialmente, observe que se dois carros trocaram de posição um número par de vezes, eles terminaram na mesma ordem em que começaram e se trocaram de posição um número ímpar de vezes, eles terminaram na ordem inversa. Isto nos leva a concluir que B terminou a corrida na frente de $A$ e de $C$.

Fazemos a primeira pergunta sobre os carros A e C. De acordo com a resposta saberemos quem terminou na frente.

Suponhamos que A chegou na frente de C (o outro caso é análogo). Falta determinar a posição de $\mathrm{D}$, para a qual há quatro possibilidades (à frente de B, entre B e $A$, entre $A$ e $C$ e atrás de $\mathrm{C}$ ). Fazemos a segunda pergunta para $A$ e $D$ e dependendo de $D$ chegar na frente ou atrás de $A$, perguntamos para $B$ e $D$ ou $C$ e $D$, respectivamente. Com a última resposta descobriremos entre quais carros $\mathrm{D}$ chegou, determinando a ordem de chegada.
Sugestão: Calcule as somas dos números de todas as faces do paralelepípedo e observe quantas vezes cada vértice está sendo contado nessa soma.

Fatos que Ajudam:

$1+2+\cdots+10=55$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_7cb6fb53e49999d79ff3g-3.jpg?height=243&width=331&top_left_y=855&top_left_x=1505)

Figura 72.1

Sugestão: Observe que se dois carros trocam de posição duas vezes, a ordem entre eles continua a mesma.

## 74 | Casas Pretas e Brancas

Considere um tabuleiro $6 \times 6$ com suas casas coloridas de branco ou preto. Duas casas são chamadas vizinhas se possuem um lado comum. A coloração do tabuleiro vai mudando a cada segundo, respeitando a seguinte condição: se num determinado segundo pelo menos duas casas vizinhas de uma determinada casa estão coloridas de preto, então no próximo segundo esta última casa será colorida de preto.

(a) A figura abaixo mostra uma possível coloração inicial. Como ficará o tabuleiro após 12 segundos? E após 13 segundos?

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_7cb6fb53e49999d79ff3g-4.jpg?height=317&width=320&top_left_y=732&top_left_x=1071)

(b) Exiba uma coloração inicial com 6 casas pretas de modo que, em algum momento, todas as casas fiquem pretas.

Solução: (a) Seguem as colorações do tabuleiro a cada segundo. Observe que a partir de 12 segundos todos os tabuleiros são iguais.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_7cb6fb53e49999d79ff3g-4.jpg?height=189&width=166&top_left_y=1356&top_left_x=682)

0

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_7cb6fb53e49999d79ff3g-4.jpg?height=160&width=160&top_left_y=1576&top_left_x=682)

5

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_7cb6fb53e49999d79ff3g-4.jpg?height=154&width=157&top_left_y=1782&top_left_x=687)

10
![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_7cb6fb53e49999d79ff3g-4.jpg?height=378&width=166&top_left_y=1368&top_left_x=905)

6
![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_7cb6fb53e49999d79ff3g-4.jpg?height=378&width=162&top_left_y=1366&top_left_x=1118)

7

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_7cb6fb53e49999d79ff3g-4.jpg?height=157&width=163&top_left_y=1783&top_left_x=1118)

11
![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_7cb6fb53e49999d79ff3g-4.jpg?height=374&width=160&top_left_y=1364&top_left_x=1345)

8

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_7cb6fb53e49999d79ff3g-4.jpg?height=177&width=163&top_left_y=1368&top_left_x=1569)

4
![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_7cb6fb53e49999d79ff3g-4.jpg?height=372&width=174&top_left_y=1572&top_left_x=1558)

12

(b) Colorimos inicialmente as casas de uma das diagonais. Após 5 segundos, todas as casas estarão pretas.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_7cb6fb53e49999d79ff3g-4.jpg?height=169&width=165&top_left_y=2143&top_left_x=680)

0

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_7cb6fb53e49999d79ff3g-4.jpg?height=192&width=160&top_left_y=2354&top_left_x=682)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_7cb6fb53e49999d79ff3g-4.jpg?height=166&width=163&top_left_y=2144&top_left_x=1118)

1

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_7cb6fb53e49999d79ff3g-4.jpg?height=194&width=169&top_left_y=2353&top_left_x=1115)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_7cb6fb53e49999d79ff3g-4.jpg?height=180&width=165&top_left_y=2143&top_left_x=1568)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_7cb6fb53e49999d79ff3g-4.jpg?height=192&width=163&top_left_y=2354&top_left_x=1552)