# 20. Geometria 

| Nível 2 | Soluções |
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## 51 | Colar de Ouro

Arqueólogos encontraram um colar de ouro feito de placas no formato de pentágonos regulares. Cada uma destas placas está conectada a outras duas placas, como ilustra a figura.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_64d7a736a938f072abd8g-1.jpg?height=332&width=600&top_left_y=1002&top_left_x=565)

Figura 51.1

Quantas placas formam o colar?

Solução: O ângulo interno de um pentágono regular mede $108^{\circ}$. Assim, o ângulo interno do polígono determinado pelo colar mede $360^{\circ}-108^{\circ}-108^{\circ}=144^{\circ}$. Devemos então encontrar $n$ tal que

$$
\frac{180^{\circ}(n-2)}{n}=144^{\circ}
$$

Resolvendo esta equação, obtemos $n=10$. Portanto, dez placas formam o colar.

## 52 | AP x BN

$A B C D$ é um retângulo, $A D=5$ e $C D=3$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_64d7a736a938f072abd8g-1.jpg?height=297&width=408&top_left_y=2079&top_left_x=664)

Figura 52.1
Solução: Vamos calcular a área do triângulo APB de dois modos diferentes.
Sugestão: Calcule o ângulo interno do polígono determinado pelo colar.

Fatos que Ajudam: A medida do ângulo interno de um polígono regular de $n$ lados é dada pela fórmula $\frac{180^{\circ}(n-2)}{n}$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_64d7a736a938f072abd8g-1.jpg?height=288&width=446&top_left_y=1301&top_left_x=1453)

Sugestão: Calcule a área do triângulo APB de dois modos distintos.

Fatos que Ajudam: A área de um triângulo é igual a metade do produto da medida da base pela medida da altura relativa à essa base.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_64d7a736a938f072abd8g-2.jpg?height=300&width=425&top_left_y=250&top_left_x=176)

Figura 52.2

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_64d7a736a938f072abd8g-2.jpg?height=297&width=400&top_left_y=725&top_left_x=200)

Figura 52.3
Sugestão: Trace a diagonal AC.

Fatos que Ajudam: Triângulos com mesma base e mesma altura possuem áreas iguais.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_64d7a736a938f072abd8g-2.jpg?height=322&width=417&top_left_y=1598&top_left_x=183)

Figura 53.2
Seja $Q$ o pé da altura relativa ao lado $A B$ no triângulo $A P B$. Então a área do triângulo APB é igual a

$$
\frac{\text { base } \times \text { altura }}{2}=\frac{\mathrm{AB} \times \mathrm{PQ}}{2}=\frac{\mathrm{AB} \times \mathrm{AD}}{2}=\frac{3 \times 5}{2}=\frac{15}{2}
$$

Porém, podemos calcular a área do triângulo APB escolhendo por base o lado AP e, neste caso, BN é a altura. Assim,

$$
\frac{\mathrm{AP} \times \mathrm{BN}}{2}=\frac{15}{2}
$$

donde $A P \times B N=15$.

Segunda Solução: Os ângulos BÂN e APAD possuem a mesma medida, porque ambos são o complemento do ângulo DÂP. Então os triângulos ANB e PDA são semelhantes, pois possuem dois pares de ângulos de mesma medida. Portanto,

$$
\frac{B A}{A P}=\frac{B N}{A D}
$$

e segue que $A P \times B N=B A \times A D=15$.

## 53 | Dois Quadrados

Na figura, $A B C D$ e CEFG são quadrados e o lado do quadrado CEFG mede $12 \mathrm{~cm}$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_64d7a736a938f072abd8g-2.jpg?height=389&width=443&top_left_y=1416&top_left_x=978)

Quais são os possíveis valores da área do triângulo AEG?

Solução: Traçamos a diagonal $A C$ do quadrado $A B C D$. Como as retas AC e GE formam ângulo de $45^{\circ}$ em relação à reta BE, concluímos que AC e GE são paralelas.

Seja $X$ um ponto arbitrário sobre $A C$. Os triângulos AGE e XGE possuem a mesma área, pois ambos têm a mesma base GE e a mesma altura que corresponde à distância entre as retas paralelas AC e GE. Tomando $X=C$, concluímos que a área do triângulo $A G E$ é igual à área de CGE, isto é, $12 \times 12 / 2=72 \mathrm{~cm}^{2}$.

## 54 | O Tesouro do Pirata

Um pirata resolveu enterrar um tesouro em uma ilha. Para tal, ele caminhou da árvore $A$ para a rocha $R_{1}$, e depois a mesma distância e na mesma direção até o ponto $X$. Ele fez o mesmo em relação a entrada da caverna $C$ e em relação à rocha $R_{2}$, alcançando os pontos $Y$ e Z, respectivamente. Ele enterrou o tesouro em $T$, ponto médio de AZ.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_64d7a736a938f072abd8g-3.jpg?height=394&width=440&top_left_y=614&top_left_x=637)

Figura 54.1

Ao voltar à ilha para desenterrar o tesouro, o pirata encontrou as rochas e a caverna, mas não encontrou a árvore. Como o pirata pode descobrir o tesouro?

Solução: A chave para o pirata encontrar o tesouro está no seguinte fato geométrico:

Afirmação: Em todo quadrilátero, os pontos médios dos lados são vértices de um paralelogramo.

Isto significa que a posição $T$ do tesouro independe da posição da árvore. No quadrilátero $A X Y Z, R_{1}, C, R_{2}$ e $T$ são os pontos médios dos lados. Portanto, $\mathrm{R}_{1} \mathrm{CR}_{2} \mathrm{~T}$ é um paralelogramo.

O pirata pode começar de um ponto qualquer e repetir os procedimentos, ou pode determinar $T$ traçando uma reta paralela a $R_{1} C$ por $R_{2}$ e uma paralela a $C R_{2}$ por $R_{1}$. O ponto de interseção das paralelas é o ponto $T$, localização do tesouro.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_64d7a736a938f072abd8g-3.jpg?height=412&width=458&top_left_y=1270&top_left_x=1438)

Figura 54.2

Demonstração da Afirmação: Seja $A B C D$ um quadrilátero convexo e $\mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{P}$ e $\mathrm{Q}$ os pontos médios dos lados $\mathrm{AB}, \mathrm{BC}, \mathrm{CD}$ e DA, respectivamente. Vamos provar que MNPQ é um paralelogramo.

Considerando o triângulo $A B C$, o segmento $M N$ é a base média relativa ao lado AC, sendo paralelo ao mesmo e medindo a metade de $A C$.

Analogamente, olhando para o triângulo $C D A$, o segmento $P Q$ é a base média relativa ao lado $A C$, e portanto é paralelo a $A C$ e mede a metade de AC.

Sugestão: Mostre que a posição T do tesouro não depende do ponto inicial A.

Fatos que Ajudam: Em todo quadrilátero, os pontos médios dos lados são vértices de um paralelogramo.

Segue que os segmentos $M N$ e PQ são iguais e paralelos, mostrando que o quadrilátero MNPQ é um paralelogramo.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_64d7a736a938f072abd8g-3.jpg?height=408&width=440&top_left_y=1806&top_left_x=1456)

Figura 54.3

Sugestão: Mostre que CAF e BAE são triângulos isósceles.

Fatos que Ajudam: A bissetriz de um ângulo o divide em dois ângulos de mesma medida.

## 55 | Bissetrizes

Seja $A B C$ um triângulo com $A B=13, B C=15$ e $A C=9$. Seja $r$ a reta paralela a $B C$ traçada por $A$. A bissetriz do ângulo $A \widehat{B C}$ corta a reta $r$ em $E$ e a bissetriz do ângulo $A \widehat{C} B$ corta $r$ em $F$. Calcular a medida do segmento EF.

## Solução:

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_64d7a736a938f072abd8g-4.jpg?height=394&width=762&top_left_y=725&top_left_x=750)

Como a reta EF é paralela ao lado $\mathrm{BC}$, os ângulos alternos internos gerados pela transversal CF são iguais, isto é, FĈB $=C \hat{F} A$. Por outro lado, como CF é bissetriz, temos FCEB $=F \hat{C A}$ e assim, $F \hat{C A}=C \hat{F} A$, donde o triângulo CAF é isósceles de base CF. Portanto, $A F=A C=$ 9.

Analogamente, concluímos que o triângulo $B A E$ é isósceles de base $B E$ e $A E=A B=13$. Assim, $E F=E A+A F=22$.

## 56 | Ângulos e Ângulos!

Sugestão: Mostre que o triângulo BEC é isósceles.

Fatos que Ajudam: A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a $180^{\circ}$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_64d7a736a938f072abd8g-4.jpg?height=454&width=402&top_left_y=1903&top_left_x=193)

No interior de um triângulo $A B C$, toma-se um ponto $E$ tal que $A E=$ $B E$ e $A B=E C$. Se $A \hat{B E}=\alpha=E \hat{C A}, E \hat{A} C=2 \alpha$ e $E \hat{B C}=5 \alpha$, determine $\alpha$.

## Solução:

Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo é $180^{\circ}$ obtemos

$$
\left\{\begin{array}{l}
A \hat{E} B=180^{\circ}-(\alpha+\alpha)=180^{\circ}-2 \alpha \\
A \hat{E} C=180^{\circ}-(\alpha+2 \alpha)=180^{\circ}-3 \alpha
\end{array}\right.
$$

Assim, temos que

$$
\begin{aligned}
\mathrm{C} \hat{\mathrm{E}} \mathrm{B} & =360^{\circ}-(\mathrm{A} \hat{\mathrm{E}} \mathrm{C}+\mathrm{A} \hat{\mathrm{E}} \mathrm{B})= \\
& =360^{\circ}-\left(180^{\circ}-3 \alpha+180^{\circ}-2 \alpha\right)=5 \alpha
\end{aligned}
$$

Como o ângulo $E \hat{B C}$ também mede $5 \alpha$, segue que o triângulo $B E C$ é isósceles. Assim, $A B=C E=B C$, isto é, o triângulo $A B C$ também é isósceles.

Logo, $\mathrm{BC} A=B \hat{A} C=3 \alpha$ e $B \hat{C} A+C \hat{A} B+A \hat{B C}=180^{\circ}$, isto é, $3 \alpha+$ $3 \alpha+6 \alpha=180^{\circ}$, o que resulta em $\alpha=15^{\circ}$.

## 57 | Quadrado, Pentágono e Icoságono

A figura mostra parte de um polígono regular de 20 lados (icoságono) $A B C D E F$..., um quadrado BCYZ e um pentágono regular DEVWX.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_64d7a736a938f072abd8g-5.jpg?height=411&width=648&top_left_y=457&top_left_x=538)

Figura 57.1

(a) Determine a medida do ângulo YD̂C.

(b) Mostre que o vértice $X$ está sobre a reta DY.

## Solução:

(a) O ângulo interno do icoságono regular mede $\frac{180^{\circ} \times 18}{20}=162^{\circ}$. Segue que YCिD $=162^{\circ}-90^{\circ}=72^{\circ}$. Como $Y C=C D$, o triângulo YCD é isósceles de base YD. Assim, ŶिC $=$ DŶC $=$ $\frac{180^{\circ}-72^{\circ}}{2}=54^{\circ}$.

(b) Cada ângulo interno de um pentágono regular mede $\frac{180^{\circ} \times 3}{5}=$ $108^{\circ}$. Assim, $\mathrm{CDX}=162^{\circ}-108^{\circ}=54^{\circ}$. Como as retas XD e YD formam o mesmo ângulo com a reta $C D$, segue que os pontos $X$, $\mathrm{Y}$ e $\mathrm{D}$ pertencem a uma mesma reta.

(c) Este problema não tem item (c), mas poderíamos ter perguntado: Qual a única letra do alfabeto que ainda poderíamos usar nesta figura?

## Resposta:

¿Sелат sęue]

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_64d7a736a938f072abd8g-5.jpg?height=45&width=991&top_left_y=1945&top_left_x=390)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_64d7a736a938f072abd8g-5.jpg?height=46&width=991&top_left_y=1987&top_left_x=390)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_64d7a736a938f072abd8g-5.jpg?height=42&width=991&top_left_y=2035&top_left_x=390)

Sugestão: Para o item (b), determine a medida do ângulo CDOX.

Fatos que Ajudam: A medida do ângulo interno de um polígono regular de $n$ lados é dada pela fórmula $\frac{180^{\circ}(n-2)}{n}$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_64d7a736a938f072abd8g-5.jpg?height=311&width=491&top_left_y=1192&top_left_x=1431)

Figura 57.2

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_64d7a736a938f072abd8g-5.jpg?height=334&width=491&top_left_y=1643&top_left_x=1431)

Figura 57.3

## Problema Relacionado

Construímos dois triângulos equiláteros: $\mathrm{ABE}$ interno e BFC externo ao quadrado $A B C D$. Prove que os pontos D, E e F se localizam na mesma reta.

Sugestão: No item (b), prolongue os lados $A B$ e ED, determinando o ponto de interseção X.

Fatos que Ajudam: A soma das medidas dos ângulos de um polígono de $n$ lados é dada pela fórmula $180^{\circ}(n-2)$. A medida do ângulo interno de um polígono regular de $n$ lados é dada pela fórmula $\frac{180^{\circ}(n-2)}{n}$.

## 58 | Eneágono Regular

A figura ilustra um polígono regular de 9 lados. A medida do lado do polígono é a, a medida da menor diagonal é b e a medida da maior diagonal é d.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_64d7a736a938f072abd8g-6.jpg?height=400&width=388&top_left_y=497&top_left_x=1005)

Figura 58.1

(a) Determine a medida do ângulo BÂE.

(b) Mostre que $d=a+b$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_64d7a736a938f072abd8g-6.jpg?height=409&width=511&top_left_y=1149&top_left_x=133)

Figura 58.2

## Solução:

(a) A medida do ângulo interno do eneágono regular (9 lados) é igual a $180^{\circ} \times 7 / 9=140^{\circ}$.

Considere agora o pentágono $A B C D E$, como indicado na figura. A soma de seus ângulos internos é $180^{\circ}(5-2)=540^{\circ}$. Sabemos que $A \hat{B C}=\hat{B C D}=\hat{C D E}=140^{\circ}$ e pela simetria da figura sabemos que $E \hat{A} B=A \hat{E} D=\alpha$. Portanto,

$$
2 \alpha+3 \times 140^{\circ}=540^{\circ}
$$

donde $\alpha=60^{\circ}$.

(b) Seja $X$ o ponto de interseção das retas $A B$ e DE. Como XÂE = $X \hat{E} A=60^{\circ}$, o triângulo $A X E$ é equilátero. O triângulo $B X D$ também é equilátero, pois a reta $A E$ é paralela à reta $B D$.

Assim, temos $A X=A E$ e $B X=B D$. Como $A X=A B+B X$, temos $A E=A B+B D$, ou seja, $d=a+b$.

## 59 | Hexágono Equiangular

Todos os ângulos de um hexágono $A B C D E F$ são iguais. Mostre que $\mathrm{AB}-\mathrm{DE}=\mathrm{EF}-\mathrm{BC}=\mathrm{CD}-\mathrm{FA}$.

## Solução:

Prolonguemos os segmentos AF, BC e DE determinando os pontos de intersecção X, Y, Z, como mostrado na figura.

Como a soma dos ângulos internos de um hexágono convexo é $180^{\circ} \times$ $(6-2)=720^{\circ}$, cada ângulo interno deste hexágono mede $720^{\circ} / 6=$ $120^{\circ}$. Assim, $X \hat{A} B=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$ e do mesmo modo $X \hat{B A}=60^{\circ}$. Segue que o ângulo $A \hat{X} B$ mede $60^{\circ}$ e de igual forma os ângulos em $Y$ e Z medem $60^{\circ}$.

Portanto, os triângulos XAB, YCD, ZFE e XYZ são equiláteros. Em particular, $X Y=X Z$. Mas

$$
\begin{aligned}
& X Y=X B+B C+C Y=A B+B C+C D \\
& X Z=X A+A F+F Z=A B+A F+E F
\end{aligned}
$$

Igualando obtemos $B C+C D=A F+E F$, donde obtemos $E F-B C=$ $C D-F A$. Pelo mesmo processo, de $X Y=Y Z$, obtemos $A B-D E=$ $\mathrm{EF}-\mathrm{BC}$.

## 60 | Pentágono Equilátero

Mostre que é possível construir um pentágono com todos os lados de mesma medida e cujos ângulos internos meçam $60^{\circ}, 80^{\circ}, 100^{\circ}, 140^{\circ}$ e $160^{\circ}$, em alguma ordem.

## Solução:

Suponhamos que já construímos o pentágono $A B C D E$ e que o ângulo em $A$ mede $60^{\circ}$. Traçando a reta $B E$, concluímos que o triângulo $A B E$ é equilátero, pois $A B=A E$ e $E \hat{A} B=60^{\circ}$. Logo, $B E=A B$ e, portanto, $B C D E$ tem todos os seus lados com a mesma medida, isto é, BCDE é um losango.

Em particular, os ângulos opostos do losango são iguais. Isto implica que, no pentágono, o ângulo em B é igual ao ângulo em $D$ mais $60^{\circ} \mathrm{e}$ o ângulo em $\mathrm{E}$ é igual ao ângulo em $\mathrm{C}$ mais $60^{\circ}$.

Como $160^{\circ}=100^{\circ}+80^{\circ}$ e $140^{\circ}=80^{\circ}+60^{\circ}$, concluímos que os ângulos em C e D devem assumir os valores $80^{\circ}$ e $100^{\circ}$, não necessariamente nessa ordem, enquanto $B$ e $E$ assumem os respectivos valores de $\mathrm{D}$ e $\mathrm{C}$, adicionados de $60^{\circ}$.

Portanto, para construir tal pentágono basta construir um triângulo equilátero $A B E$ e um losango $B C D E$ com ângulos de medidas $100^{\circ} \mathrm{e}$ $80^{\circ}$.
Sugestão: Prolongue os lados do hexágono.

Fatos que Ajudam: A soma dos ângulos internos de um polígono com $n$ lados é igual a $180^{\circ}(n-2)$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_64d7a736a938f072abd8g-7.jpg?height=437&width=440&top_left_y=587&top_left_x=1436)

Figura 59.1
Sugestão: Suponha que o pentágono já foi construído; comece investigando pelo ângulo cuja medida é $60^{\circ}$.

Fatos que Ajudam: Se um quadrilátero possui os quatro lados de mesma medida, então ele é um losango. Em um losango, os ângulos opostos possuem a mesma medida.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_64d7a736a938f072abd8g-7.jpg?height=314&width=394&top_left_y=1828&top_left_x=1479)

Figura 60.1

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_64d7a736a938f072abd8g-7.jpg?height=368&width=468&top_left_y=2192&top_left_x=1431)

Figura 60.2