# KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 

1. Přirozené číslo $m>1$ nazveme $k$-násobným dělitelem přirozeného čísla $n$, pokud platí rovnost $n=m^{k} q$, kde $q$ je celé číslo, které není násobkem čísla $m$. Určete, kolik sedminásobných dělitelư má číslo $100 !=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 100$.

Řešení. Odvodíme nejprve obecný vzorec pro počet $P_{k}(n)$ všech $k$-násobných dělitelů čísla $n$ s rozkladem $n=p_{1}^{a_{1}} p_{2}^{a_{2}} \ldots p_{N}^{a_{N}}$, kde $p_{i}$ jsou navzájem různá prvočísla a exponenty $a_{i}$ jsou celá nezáporná čísla. Platí $m^{k} \mid n$, právě když $m$ je tvaru $p_{1}^{b_{1}} p_{2}^{b_{2}} \ldots p_{N}^{b_{N}}$, kde celá $b_{i}$ splňují $0 \leq b_{i} \leq \frac{a_{i}}{k}$ pro každé $i$. Proto je takových čísel $m$ právě $\prod_{i=1}^{N}\left(1+\left[\frac{a_{i}}{k}\right]\right)$. Hodnotu $P_{k}(n)$ určíme, když od počtu čísel $m$ s vlastností $m^{k} \mid n$ odečteme počet těch z nich, pro které dokonce platí $m^{k+1} \mid n$, takže

$$
P_{k}(n)=\prod_{i=1}^{N}\left(1+\left[\frac{a_{i}}{k}\right]\right)-\prod_{i=1}^{N}\left(1+\left[\frac{a_{i}}{k+1}\right]\right)
$$

Nyní určíme rozklad čísla $100 !=2^{a_{1}} 3^{a_{2}} 5^{a_{3}} \ldots$ Podle vzorce (viz např. ŠMM sv. "O velkých číslach", str. 37) má prvočíslo $p$ v rozkladu čísla $n$ ! exponent rovný

$$
\left[\frac{n}{p}\right]+\left[\frac{n}{p^{2}}\right]+\left[\frac{n}{p^{3}}\right]+\left[\frac{n}{p^{4}}\right]+\ldots
$$

(pouze konečný počet sčítanců je nenulových). Takto můžeme stanovit prvočíselný rozklad $100 !=2^{97} 3^{48} 5^{24} 7^{16} 11^{9} 13^{7} 17^{5} \ldots$, kde tečky vyznačují další prvočísla, jejichž exponenty jsou menší než 7 , a tedy neovlivní hodnotu

$$
\begin{aligned}
& P_{7}(100 !)= \\
& =\left(1+\left[\frac{97}{7}\right]\right)\left(1+\left[\frac{48}{7}\right]\right)\left(1+\left[\frac{24}{7}\right]\right)\left(1+\left[\frac{16}{7}\right]\right)\left(1+\left[\frac{9}{7}\right]\right)\left(1+\left[\frac{7}{7}\right]\right)- \\
& -\left(1+\left[\frac{97}{8}\right]\right)\left(1+\left[\frac{48}{8}\right]\right)\left(1+\left[\frac{24}{8}\right]\right)\left(1+\left[\frac{16}{8}\right]\right)\left(1+\left[\frac{9}{8}\right]\right)= \\
& =14 \cdot 7 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2-13 \cdot 7 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2=4704-2184=2520 .
\end{aligned}
$$

Návodné úlohy. (N1) Určete a) násobnost každého dělitele čísla 144; b) všechny dvojnásobné dělitele čísla $10^{15}$. (N2) Odvod'te vzorce (1) a (2).

2. Základnou trojbokého hranolu $A B C A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ je pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník $A B C$ s odvěsnami $A B, A C$ dané délky $a$. Boční hrany $A A^{\prime}, B B^{\prime}, C C^{\prime}$ svírají s rovinami základen úhel $60^{\circ}$. Úhlopříčka $B C^{\prime}$ boční stěny $B C C^{\prime} B^{\prime}$ má délku $a \sqrt{6}$ a je kolmá na hranu $A C$. Určete objem hranolu.

Řešení. Objem našeho hranolu je $V=a^{2} \cdot v / 2$, kde $v$ je neznámá vzdálenost jeho podstav. Obě přímky $B C^{\prime}$ a $A B$, a tedy i rovina $A B C^{\prime}$, jsou kolmé na přímku
$A C$. Je-li $P$ kolmý průmět bodu $C^{\prime}$ na přímku $A B$, pak obě přímky $A B$ a $A C$, a tedy i rovina $A B C$, jsou kolmé na přímku $C^{\prime} P$. Hledaná vzdálenost $v$ je proto rovna $\left|C^{\prime} P\right|$ a oba úhly $C P C^{\prime}, A P C^{\prime}$ jsou pravé. Navíc $\left|\varangle P C C^{\prime}\right|=60^{\circ}$, takže $v=|C P| \sqrt{3}$. Označme $x$ souřadnici bodu $P$ na př́mce $A B$ v soustavě, ve které $A=[0]$ a $B=[-a](\mathrm{tj} . x= \pm|A P|$, kde znaménko - resp. + vezmeme podle toho, zda $P$ padne na polopř́mku $A B$ či na polopř́mku opačnou.) Pak z $\triangle A C P$ plyne $|C P|^{2}=a^{2}+x^{2}$, takže $v^{2}=3\left(a^{2}+x^{2}\right)$. Protože $\left|B C^{\prime}\right|=a \sqrt{6}$, má Pythagorova věta pro $\triangle B P C^{\prime}$ tvar $6 a^{2}=(a+x)^{2}+3\left(a^{2}+x^{2}\right)$. Tato rovnice má dva kořeny $x_{1}=a / 2$, $x_{2}=-a$. Podmínky úlohy proto splňují dva hranoly (obr. 1,2 ) o výškách

$$
v_{1}=\sqrt{3\left(a^{2}+\frac{a^{2}}{4}\right)}=\frac{a \sqrt{15}}{2} \quad \text { respektive } \quad v_{2}=\sqrt{3\left(a^{2}+a^{2}\right)}=a \sqrt{6},
$$

ověřte. Jejich objemy jsou $V_{1}=a^{3} \sqrt{15} / 4$ respektive $V_{2}=a^{3} \sqrt{6} / 2$.

3. Úhel $A C B$ trojúhelníka $A B C$ má velikost $140^{\circ}$. Osa úhlu $A B C$ protne stranu $A C$ v bodě $X$. Bod $Y$ leží na straně $A B$ tak, že úhel $Y C B$ má velikost $100^{\circ}$. Určete velikost úhlu $Y X B$.

Řešení. Necht $P$ značí kolmý průmět bodu $X$ na přímku $B C$ (obr. 3). Protože platí $|\varangle X C Y|=40^{\circ}=|\varangle X C P|$, leží bod $X$ nejen na ose úhlu $A B C$, ale také na ose úhlu $Y C P$. Proto má bod $X$ stejnou vzdálenost od tří přímek $A B, B C$ a $C Y$, takže leží i na ose úhlu $A Y C$, tj. $|\varangle A Y X|=|\varangle A Y C|$ : 2. Označíme-li $\beta=|\varangle A B C|$, pak $|\varangle C Y B|=80^{\circ}-\beta,|\varangle A Y C|=100^{\circ}+\beta$ a $|\varangle A Y X|=50^{\circ}+\frac{\beta}{2}$, tedy $|\varangle X Y B|=130^{\circ}-\frac{\beta}{2}$. $\mathrm{Z} \triangle X Y B$ konečně plyne $|\varangle Y X B|=180^{\circ}-\left(130^{\circ}-\frac{\beta}{2}\right)-\frac{\beta}{2}=50^{\circ}$.

4. Pro která celá $n>2$ existují racionální čísla $p$ a $q$ taková, že $\sqrt[3]{n}=p+q \sqrt[3]{2}$ ?

Řešení. Umocněním na třetí dostaneme ekvivalentní rovnost

$$
n=\left(p^{3}+2 q^{3}\right)+3 p^{2} q \sqrt[3]{2}+3 p q^{2} \sqrt[3]{4} .
$$

Zabývejme se nejdříve případem $n=4$. Je-li $\sqrt[3]{4}=p+q \sqrt[3]{2}$, pak z (1) plyne

$$
4=\left(p^{3}+2 q^{3}\right)+3 p^{2} q \sqrt[3]{2}+3 p q^{2}(p+q \sqrt[3]{2})
$$

neboli $4-p^{3}-2 q^{3}-3 p^{2} q^{2}=\sqrt[3]{2}\left(3 p^{2} q+3 p q^{3}\right)$. Protože $\sqrt[3]{2}$ je iracionání číslo, je poslední rovnost možná, jen když $4-p^{3}-2 q^{3}-3 p^{2} q^{2}=0$ a $3 p q\left(p+q^{2}\right)=0$. $\mathrm{Z}$ druhé rovnice plyne $p=0, q=0$ nebo $p=-q^{2}$, dosazením do první pak po řadě $q^{3}=2, p^{3}=4$ resp. $q^{6}+q^{3}-2=0$. Protože čísla $p$ a $q$ jsou racionální, je z poslední trojice splnitelná jen třetí podmínka, která znamená, že $q^{3}=-2$ nebo $q^{3}=1$. Dostáváme tak jedinou dvojici $(p, q)=(-1,1)$, pro kterou sice platí $(2)$, ne však $\sqrt[3]{4}=p+q \sqrt[3]{2}$. Proto poslední rovnost nesplňují žádná racionální $p$ a $q$.

$\mathrm{Z}$ dokázaného plyne: platí-li (1) pro některá racionální $n, p$ a $q$, pak koeficient $3 p q^{2}$ u členu $\sqrt[3]{4}$ musí být roven nule. $\mathrm{V}$ opačném případě by šlo $\mathrm{z}(1)$ vyjádřit

$$
\sqrt[3]{4}=\frac{n-p^{3}-2 q^{3}}{3 p q^{2}}-\frac{p}{q} \cdot \sqrt[3]{2}
$$

což by byl spor. Proto platí $3 p q^{2}=0$, tj. $p=0$ nebo $q=0$. Pak ovšem $n=p^{3}$ nebo $n=2 q^{3}$. Je-li navíc číslo $n$ celé, musí být v posledních dvou rovnostech i čísla $p, q$ celá. Odpověd: $n=k^{3}$ nebo $n=2 k^{3}$, kde $k>1$ je celé číslo.

Návodné a doplňující úlohy. (N1) Dokažte, že čísla $\sqrt[3]{2}$ a $\sqrt[3]{4}$ jsou iracionální.

(N2) Je-li $p$ racionální a některé $\mathrm{z}$ čísel $p^{3}, 2 p^{3}, 4 p^{3}$ je celé, pak i číslo $p$ je celé, dokažte. (N3) Odpovězte na otázku z úlohy nejprve pro $n=4$.

(D1) Pro která celá $n$ je číslo $(1+\sqrt[3]{2})^{n}$ racionální?

(D2) Platí-li rovnost $\sqrt[3]{x}=p+q \sqrt[3]{2}+r \sqrt[3]{4}$ pro racionální $x, p, q$ a $r$, pak aspoň dvě z čísel $p, q, r$ jsou rovna nule, dokažte. (Návod: $x=A+B \sqrt[3]{2}+C \sqrt[3]{4}$, kde racionální koeficienty $A, B, C$ závisí na $p, q, r$ tak, že $r B-q C=p\left(4 r^{3}-3 q^{3}\right)$. Podle úlohy musí platit $B=C=0$.)

5. Najděte nejmenší reálné číslo $p$, při kterém nerovnost

$$
a+b-p \cdot \sqrt{a b} \leq \sqrt{a^{2}+b^{2}}
$$

platí pro libovolnou dvojici kladných čísel $a, b$.

Rešení. Dosadíme-li do (1) $a=b=1$, dostaneme nutnou podmínku na číslo $p$ : $p \geq 2-\sqrt{2}(>0)$. Ukažme, že pro $p=2-\sqrt{2}$ nerovnost (1) platí. Pro $p>0$ lze nerovnost $a+b \leq p \cdot \sqrt{a b}+\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ ekvivalentně umocnit na druhou, po úpravě dostaneme $\left(2-p^{2}\right) a b \leq 2 p \sqrt{a b\left(a^{2}+b^{2}\right)}$. Dosadíme-li sem $p=2-\sqrt{2}$, dostaneme (po dělení dvěma) nerovnost $2(\sqrt{2}-1) a b \leq(2-\sqrt{2}) \sqrt{a b\left(a^{2}+b^{2}\right)}$. Protože $2-\sqrt{2}=\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)$, je možné poslední po dělení kladným výrazem $(\sqrt{2}-1) \sqrt{2 a b}$ zjednodušit na $\sqrt{2 a b} \leq \sqrt{a^{2}+b^{2}}$. Tato nerovnost platí pro libovolná kladná $a$, $b$, nebot je ekvivalentní s $2 a b \leq a^{2}+b^{2}$, neboli $0 \leq(a-b)^{2}$. Hledané nejmenší $p$ je tedy rovno $2-\sqrt{2}$.

Návodné a doplňujicí úlohy. (N) Zjistěte, pro která reálná čísla $p$ platí nerovnost $p \cdot a b \leq a^{2}+b^{2}$ s libovolnými kladnými čísly $a, b$.

(D) Pro každou z nerovností $a^{4}+b^{4} \geq p\left(a^{3} b+a b^{3}\right)$, $a \sqrt{a}+b \sqrt{b} \geq p(a \sqrt{b}+b \sqrt{a})$ a $2\left(a^{2}+b^{2}\right)+a+b \geq p(a b+a \sqrt{b}+b \sqrt{a})$ řešte stejný úkol jako $\mathrm{v}(\mathrm{N})$.

6. Zjistěte všechna čísla, která jsou cifernými součty druhých mocnin přirozených čísel (zapsaných v dekadické soustavě).

Řešení. Ciferný součet $S(n)$ každého čísla $n$ dává při dělení devíti týž zbytek jako samo číslo $n$. Protože číslo $n^{2}$ je tvaru $9 k$ nebo $3 k+1$ (podle toho zda $3 \mid n$ či nikoliv), leží každé číslo $S\left(n^{2}\right)$ v množině $\{9,18,27, \ldots\} \cup\{1,4,7,10, \ldots\}$. Nyní je třeba zjistit, pro která $k$ mají rovnice $S\left(n^{2}\right)=9 k$ resp. $S\left(n^{2}\right)=3 k+1$ aspoň jedno řešení $n$. Ukážeme, že je tomu tak pro každé $k$. Předně $S\left(1^{2}\right)=1$. Dále pozorujme příklady

$$
\begin{aligned}
& 3^{2}=9,33^{2}=1089,333^{2}=110889,3333^{2}=11108889, \ldots \\
& 2^{2}=4,32^{2}=1024,332^{2}=110224,3332^{2}=11102224, \ldots
\end{aligned}
$$

Označme $e_{k}$ číslo zapsané $k$ jedničkami a vyslovme hypotézu, že $S\left(n^{2}\right)=9 k$ pro $n=3 e_{k}$ a $S\left(n^{2}\right)=3 k+1$ pro $n=3 e_{k}-1$. K jejímu důkazu stačí oveř̌it rovnosti

$$
\begin{gathered}
\left(3 e_{k}\right)^{2}=\underbrace{11 \ldots 1}_{k-1} 0 \underbrace{88 \ldots 8}_{k-1} 9=10^{k+1} e_{k-1}+80 e_{k-1}+9, \\
\left(3 e_{k}-1\right)^{2}=\underbrace{11 \ldots 1}_{k-1} 0 \underbrace{22 \ldots 2}_{k-1} 4=10^{k+1} e_{k-1}+20 e_{k-1}+4 .
\end{gathered}
$$

I když rovnosti (1) je možné ověrit dosazením formulí $e_{m}=\left(10^{m}-1\right) / 9$ pro $m=k$ a $m=k-1$, je možný jiný postup: Protože $9 e_{k}=10^{k}-1$, platí $9 e_{k}^{2}=\left(10^{k}-1\right) e_{k}$, a tedy

$$
\begin{aligned}
\left(3 e_{k}\right)^{2} & =10^{k} e_{k}-e_{k} \\
\left(3 e_{k}-1\right)^{2} & =9 e_{k}^{2}-6 e_{k}+1=10^{k} e_{k}-7 e_{k}+1
\end{aligned}
$$

Dekadický zápis pravých stran (2) už lze snadno zjistit užitím pravidel pro písemné sčítání a odčítání - proved'te sami.

Návodné a doplňující úlohy. (N1) S pomocí tabulek nebo kalkulaček určete čísla $S\left(n^{2}\right)$ pro všechna dvojciferná $n$ a pak vyslovte hypotézu o tvaru hledaných čísel.

(N2) Pro které cifry $a, b$ dokážete popsat ciferný zápis druhé mocniny čísla $\overline{a a \ldots a b} \mathrm{~s}$ libovolným počtem cifer $a$ ? (Experimentujte s kalkulačkou.)

(D1) Která čísla jsou cifernými součty čísel $n^{2}, n=1,2, \ldots$, zapsaných ve dvojkové soustavě? (Návod: $S_{2}\left(n^{2}\right)=k$ pro $n=2^{k}-1$ s libovolným celým $k \geq 1$.)
$\mathrm{V}$ případě volného místa doplnit o Leischnerovy náměty:

Př́prava k úloze č. 2: Odvárko, Matematika pro 2. roč. G, , SPN 1985, str. 323 př. 2 a str. 338 př. 2 .

Návod k úloze č. 3: Trik úlohy je v tom, že není ze zadání příliš "vidět", že bod $X$ leží na ose vnějšího úhlu $\triangle C Y B$, a tedy je středem kružnice připsané ke straně $C Y$. Řešitele můžeme $\mathrm{k}$ tomuto zjištění navést např. otázkou, zda dokáži porovnat vzdálenosti bodu $X$ od přímek $A B, B C$ a $C Y$. Jako doplněk možno procvičovat vlastnosti kružnic vepsaných a připsaných danému trojúhelníku (délky úseků od vrcholů $\mathrm{k}$ bodům dotyku stran a kružnic, velikosti úhlů mezi spojnicemi vrcholů a středů kružnic).