# Úlohy domácího kola kategorie B 

1. Magický čtverec je čtvercová tabulka přirozených čisel, v níž je součet všech čisel v každém řádku, v každém sloupci i na obou úhlopřrčkách stejný. $N a$ jděte všechny magické čtverce $3 \times 3$, pro které je součin čtyř čisel $v$ rohových polich roven 3465.

ŘEŠENí. Označme přirozená čísla v magickém čtverci písmeny $a, b, c, d, e$, $f, g, h, i$ jako na obr. 1.1 a písmenem $S$ označme součet tří čísel v každém řádku, sloupci i úhlopříčce. Ukážeme, že je $S=3 e$ : Sečteme-li totiž čísla v prvním a třetím řádku a od výsledku odečteme čísla v prostředním sloupci, dostaneme rovnost

$$
S+S-S=a+c+g+i-e \text {. }
$$

| $a$ | $b$ | $c$ |
| :--- | :--- | :--- |
| $d$ | $e$ | $f$ |
| $g$ | $h$ | $i$ |

Obr. 1.1

Odtud vzhledem k rovnostem $a+i=c+g=S-e$ plyne

$$
S=(S-e)+(S-e)-e, \quad \text { neboli } \quad S=3 e \text {. }
$$

Důsledkem jsou rovnosti

$$
a+i=c+g=2 e \text {. }
$$

Hledejme tedy čtyři přirozená čísla $a, i, c, g$, jejichž součin je roven číslu 3465 , a přitom $a+i=c+g$. Probrat konečnou množinu řešení rovnice aicg $=$ $=3465$ můžeme tak, že nejprve vypíšeme všechny možné rozklady čísla $3465=$ $=3^{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11$ na součin dvou činitelů $M$ a $N$ (jež by měly odpovídat součinům ai a $c g$ ):

$$
\begin{aligned}
3465 & =1 \cdot 3465=3 \cdot 1155=5 \cdot 693=7 \cdot 495=9 \cdot 385= \\
& =11 \cdot 315=15 \cdot 231=21 \cdot 165=33 \cdot 105=35 \cdot 99= \\
& =45 \cdot 77=55 \cdot 63 .
\end{aligned}
$$

Nyní pro jednotlivé dvojice $M, N$ snadno vyhledáme rozklady $M=a i$ a $N=c g$ s vlastností $a+i=c+g$ (pro prvních osm dvojic takové rozklady zřejmě neexistují). Jediné dva vyhovující rozklady jsou

$$
3465=(5 \cdot 11) \cdot(7 \cdot 9)=(3 \cdot 15) \cdot(7 \cdot 11) .
$$

V prvním případě $2 e=16$, tedy $e=8$; v druhém $2 e=18$, tedy $e=9$. Snadno dopočteme i ostatní č́sla magického čtverce (obr. 1.2).

| 5 | 12 | 7 |
| :---: | :---: | :---: |
| 10 | 8 | 6 |
| 9 | 4 | 11 |


| 3 | 17 | 7 |
| :---: | :---: | :---: |
| 13 | 9 | 5 |
| 11 | 1 | 15 |

Obr. 1.2

Protože čtyři rohová čísla můžeme do tabulky umístit osmi způsoby, je každá tabulka na obr. 1.2 zástupcem osmi tabulek, jež z ní vzniknou „překlopením" podle os souměrnosti čtverce. Jiná řešení úlohy neexistují.

PRŮPRAVNÁ A DOPLŇUJÍcí ÚLOHA:

1. Podrobně zdůvodněte žákům, že středové číslo magického čtverce $3 \times 3$ je aritmetickým průměrem čísel v rohových polích, ale také aritmetickým průměrem zbylých čtyř čísel v prostředním řádku a sloupci magického čtverce.
2. Dokažte, že každý magický čtverec $3 \times 3$ vypadá jako na obr. 1.3.

| $e-x$ | $e+x+y$ | $e-y$ |
| :---: | :---: | :---: |
| $e+x-y$ | $e$ | $e-x+y$ |
| $e+y$ | $e-x-y$ | $e+x$ |

Obr. 1.3
2. $V$ rovině je dána přímka $q$ a bod $A$, který na ní neleži. Určete $v$ této rovině množinu středi $S$ všech čtverců $A B C D$ takových, že bod $B$ leži na přímce $q$.

ŘEŠENí. Uvažujme přímku $p$, která prochází bodem $A$ a je kolmá na přímku $q$. Označme $P$ patu kolmice $p$. S každým čtvercem daných vlastností lze uvažovat čtverec, který je s ním symetrický podle přímky $p$ a rovněž vyhovuje podmínkám úlohy. Odtud plyne, že vyšetřovaná množina středů $S$ všech čtverců $A B C D$ daných vlastností je rovinný útvar, který je symetrický podle přímky $p$. Uvažujme nyní takový čtverec, jehož vrcholy jsou označeny $A, B, C, D$ proti směru chodu hodinových ručiček.

Dále rozlišíme tři př́ípady polohy jeho vrcholů $C, D$ v rovině:

a) oba vrcholy $C, D$ leží v polorovině $q A$ (obr. 2.1),

b) pouze vrchol $D$ leží v polorovině $q A$ (obr. 2.2),

c) žádný z vrcholů $C, D$ neleží v polorovině $q A$ (obr. 2.3).

$\mathrm{V}$ případě a) označme $K, L$ po řadě paty kolmic ze středu $S$ uvažovaného čtverce $A B C D$ na přímky $p, q$. Vzhledem k tomu, že platí $|\nless A S B|=|\nless K S L|=$ $=90^{\circ}$, je pravoúhlý trojúhelník $B S L$ obrazem pravoúhlého trojúhelníku $A S K$ v otočení se středem $S$ o úhel $+90^{\circ}$. Proto platí $|S K|=|S L|$. Stejný závěr

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_17_58307ef1dbfef8c2dad1g-3.jpg?height=444&width=440&top_left_y=163&top_left_x=270)

Obr. 2.1

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_17_58307ef1dbfef8c2dad1g-3.jpg?height=440&width=428&top_left_y=676&top_left_x=270)

Obr. 2.3

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_17_58307ef1dbfef8c2dad1g-3.jpg?height=432&width=438&top_left_y=163&top_left_x=790)

Obr. 2.2

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_17_58307ef1dbfef8c2dad1g-3.jpg?height=452&width=472&top_left_y=680&top_left_x=757)

Obr. 2.4

zdůvodníme obdobně i v případech b) a c) (obr. 2.2 a 2.3). Střed $S$ uvažovaného čtverce $A B C D$ tudíž vždy leží na ose $o$ úhlu $K P L$.

Naopak ke každému bodu $S$ př́imky o lze snadno sestrojit čtverec $A B C D$, jehož středem je bod $S$ a jehož vrchol $B$ leží na přímce $q$.

Závěr: Hledanou množinou bodů je dvojice vzájemně kolmých přímek $o$ a $o^{\prime}$, které procházejí bodem $P$ a svírají s přímkami $p$ a $q$ úhel $45^{\circ}$ (obr. 2.4).

JINÉ ŘEŠENí. Využijeme vlastností obvodových úhlů, a to pro všechny tři výše popsané případy. I zde ukážeme řešení pouze pro případ z obr.2.1.

Vzhledem k tomu, že platí $|\Varangle A S B|=|\Varangle A P B|=90^{\circ}$, je možno čtyř́uhelníku $A P B S$ opsat kružnici. Odtud na základě věty o obvodových úhlech dostáváme $|\Varangle A P S|=|\Varangle A B S|=45^{\circ}$. Střed $S$ uvažovaného čtyřúhelníku $A B C D$ leží tedy na ose úhlu $A P B$.

JINÉ ŘEŠENí. Uvažujme libovolný bod $B$ přímky $p$ (obr. 2.5). Ke každému takovému bodu můžeme sestrojit čtverec $A B C D$ dvěma způsoby. Protože troj-

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_17_58307ef1dbfef8c2dad1g-4.jpg?height=442&width=541&top_left_y=138&top_left_x=498)

Obr. 2.5

úhelník $A S B$, resp. $A S^{\prime} B$ je rovnoramenný pravoúhlý s úhlem $45^{\circ}$ při vrcholu $A$, dostaneme střed $S$ každého takového čtverce $A B C D$ složením otočení kolem středu $A$ o úhel $\pm 45^{\circ}$ a stejnolehlosti se středem $A$ a koeficientem $\frac{|A S|}{|A B|}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Středy $S$ všech uvažovaných čtverců $A B C D$ tedy vyplní dvě (navzájem kolmé) př́mky $q^{\prime}=A S$ a $q^{\prime \prime}=A S^{\prime}$, které dostaneme jako obraz přímky $q$ v popsaných zobrazeních.

NÁVODNÁ ÚLOHA:

Je dán čtverec $A B C D$. Úhlopřička čtverce $K L M N$ je shodná se stranou čtverce $A B C D$ a vrcholy $K$ a $M$ leží na obvodě čtverce $A B C D$. Určete množinu všech vrcholů $L$ všech takových čtverců $K L M N$. [19. MO, B-I-5]

3. Dokažte, že pro každou trojici $x$, y, z kladných čísel platí nerovnost

$$
\sqrt{x y z}\left(\frac{2}{x+y}+\frac{2}{y+z}+\frac{2}{z+x}\right) \leqq \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z} .
$$

Zjistěte, kdy nastane rovnost.

ŘEŠENí. Podle pomocné úlohy 1 pro každá dvě kladná čísla $a, b$ platí nerovnost $a+b \geqq 2 \sqrt{a b}$ neboli $\frac{2}{a+b} \leqq \frac{1}{\sqrt{a b}}$, přičemž rovnost nastává, právě když $a=b$. Zapíšeme-li tuto nerovnost pro každý z odpovídajících sčítanců na levé straně dané nerovnosti, dostaneme tři nerovnosti

$$
\frac{2}{x+y} \leqq \frac{1}{\sqrt{x y}}, \quad \frac{2}{y+z} \leqq \frac{1}{\sqrt{y z}}, \quad \frac{2}{z+x} \leqq \frac{1}{\sqrt{z x}}
$$

a jejich sečtením nerovnost, kterou po vynásobení obou stran kladným číslem $\sqrt{x y z}$ převedeme na nerovnost ze zadání úlohy.

Rovnost nastává, jedině když platí $x=y=z$.

## POMOCNÁ ÚLOHA:

Dokažte nerovnost $a+b \geqq 2 \sqrt{a b}$ pro libovolnou dvojici nezáporných čísel $a, b$. Zjistěte, kdy platí rovnost.

## DOPLŇUJÍcí ÚLOHY:

1. Pro každou trojici $x, y, z$ nezáporných čísel platí nerovnost

$$
x+y+z \geqq \sqrt{x y}+\sqrt{y z}+\sqrt{z x}
$$

Dokažte a zjistěte, kdy platí rovnost.

2. Dokažte, že pro každou trojici $x, y, z$ nezáporných čísel platí nerovnost

$$
x(x-\sqrt{y z})+y(y-\sqrt{z x})+z(z-\sqrt{x y}) \geqq 0 .
$$

Zjistěte, kdy platí rovnost. [17. MO, A-II-2]

4. Je dán čtyřstěn, v němž každé dvě protilehlé hrany jsou shodné. Uvnitř čtyřstěnu existuje bod $M$, který je stejně vzdálen od všech jeho stěn. Dokažte, že každá výška daného čtyřstěnu je rovna čtyřnásobku vzdálenosti bodu $M$ od jeho stěn.

ŘEŠEnÍ. Uvažujme čtyřstěn $A B C D$, pro jehož délky hran podle zadání platí

$$
|A B|=|C D|=p, \quad|B C|=|D A|=q, \quad|C A|=|B D|=r .
$$

Stěny uvažovaného čtyřstěnu jsou tvořeny čtyřmi shodnými trojúhelníky (o stranách $p, q, r$ ), tudíž ze vzorce pro objem jehlanu plyne, že všechny čtyři tělesové výšky mají stejnou velikost $v$. Uvažujme dále uvnitř čtyřstěnu $A B C D$ bod $M$, který má od všech jeho stěn stejnou vzdálenost $d$. Vzhledem k tomu, že čtyřstěny $A B C M, A B D M, B C D M$ a $C A D M$ mají shodné výšky z vrcholu $M$ i odpovídající protilehlé stěny, mají i stejný objem, který se tudíž rovná čtvrtině objemu celého čtyřstěnu $A B C D$. Protože čtyřstěny $A B C D$ a $A B C M$ mají společnou stěnu $A B C$, musí platit $v=4 d$. Tím je do̊kaz ukončen.

POMOCNÉ ÚLOHY:

1. Zopakujte se žáky vzorec pro výpočet objemu $V$ jehlanu o podstavě s obsahem $P$ a výškou $v\left(V=\frac{1}{3} P v\right)$. Jeho užitím řešte následující úlohy:
2. Necht̉ $T$ je těžiště stěny $A B C$ daného čtyřstěnu $A B C D$. Dokažte, že čtyřstěny $A B D T, B C D T$ a $C A D T$ mají stejný objem.
3. Je dán pravidelný čtyřstěn o hraně délky $h$. Dokažte, že všechny jeho vnitřní body mají týž součet vzdáleností od všech stěn daného čtyřstěnu. Vyjádřete tento součet pomocí délky $h$.
4. V oboru reálných čı́sel řešte soustavu rovnic

$$
\begin{aligned}
& x+2 y+3 z=x^{2}-z^{2}+p \\
& y+2 z+3 x=y^{2}-x^{2}+p \\
& z+2 x+3 y=z^{2}-y^{2}+p
\end{aligned}
$$

kde $p$ je reálný parametr. Proved'te diskusi o počtu řešení vzhledem $k$ parametru $p$.

ŘEŠENí. Sečtením všech tří rovnic dostaneme

$$
6(x+y+z)=3 p, \quad \text { tj. } \quad x+y+z=\frac{p}{2} .
$$

Dosadíme-li tuto hodnotu do levých stran jednotlivých rovnic soustavy upravených podle vzoru

$$
a+2 b+3 c=2(a+b+c)+c-a,
$$

obdržíme po úpravě následující soustavu rovnic (už bez parametru $p$ ):

$$
z-x=x^{2}-z^{2}, \quad x-y=y^{2}-x^{2}, \quad y-z=z^{2}-y^{2}
$$

$\mathrm{Z}$ první rovnice snadno zjistíme, že platí $z-x=0$ nebo $z+x+1=0$. Podobně z druhé, resp. třetí rovnice dostáváme $x-y=0$ nebo $x+y+1=0$, resp. $y-z=0$ nebo $y+z+1=0$. Protože daná soustava rovnic se nemění cyklickou permutací neznámých $x, y, z$, stačí rozlišit dva případy:

(i) $x=y=z . \mathrm{Z}$ výchozí soustavy pak snadno určíme, že jediným řešením je trojice

$$
(x, y, z)=\left(\frac{p}{6}, \frac{p}{6}, \frac{p}{6}\right) .
$$

(ii) $x=y$ a $z=-x-1$. Pro takové trojice neznámých je daná soustava ekvivalentní $\mathrm{s}$ jedinou rovnicí $2 x=p+2$ (o tom se snadno přesvědčíme dosazením), takže platí

$$
x=y=1+\frac{p}{2} \quad \text { a } \quad z=-2-\frac{p}{2} .
$$

Permutováním trojice $(x, y, z)$ v případě (i) žádné další řešení nedostaneme, v případě (ii) jsou výsledkem řešení

$$
\left(1+\frac{p}{2}, 1+\frac{p}{2},-2-\frac{p}{2}\right),\left(-2-\frac{p}{2}, 1+\frac{p}{2}, 1+\frac{p}{2}\right),\left(1+\frac{p}{2},-2-\frac{p}{2}, 1+\frac{p}{2}\right) .
$$

Řešení dané soustavy je jediné, právě když

$$
\frac{p}{6}=1+\frac{p}{2}=-2-\frac{p}{2}
$$

To nastane pouze pro $p=-3$. Pro každé jiné $p$ má soustava právě čtyři řešení, nebot žádná dvě z čísel $\frac{1}{6} p, 1+\frac{1}{2} p,-2-\frac{1}{2} p$ se pro $p \neq-3$ nerovnají.

POMOCNÉ ÚLOHY:

1. Určete všechna reálná čísla $a$, pro něž má soustava rovnic

$$
x^{2}-2 y=y^{2}-2 x=a
$$

jediné řešení. [44. MO, C-II-2]

2. Určete všechna reálná čísla $a$, pro která existuje právě jedna dvojice $(x, y)$ reálných čísel takových, že

$$
x+\frac{1}{y}-\frac{y}{x}=y+\frac{1}{x}-\frac{x}{y}=a \text {. }
$$

[44. MO, B-II-1]

6. Jaký největši obsah může mít konvexní čtyřúhelnik, v němž obě úsečky spojujici středy protilehlých stran jsou shodné a maji danou délku d?

ŘEŠENí. Označme $A B C D$ uvažovaný konvexní čtyřúhelník a $K, L, M$ a $N$ označme po řadě středy jeho stran $A B, B C, C D$ a $D A$. Čtyřúhelník $K L M N$ je vždy rovnoběžník (někdy nazývaný Varignonův rovnoběžník čtyřúhelníku $A B C D$ ), nebot jeho strany $K L, L M, M N, N K$ jsou po řadě středními př́čkami v trojúhelnících $A B C, B C D, C D A, D A B$. Platí tedy $K L\|A C\| M N$ a $L M\|B D\| N K$. Mají-li obě úhlopříčky $K M$ a $L N$ v rovnoběžníku $K L M N$ tutéž délku $d$, je $K L M N$ pravoúhelník, v němž platí $K L \perp L M$, a je tudíž i $A C \perp B D$. Dokázali jsme, že úhlopřičky $A C$ a $B D$ čtyřúhelníku $A B C D$ jsou navzájem kolmé.

Obsah rovnoběžníku $K L M N$ je roven polovině obsahu čtyřúhelníku $A B C D$ (viz pomocnou úlohu 1), proto má čtyř́uhelník $A B C D$ největší obsah, právě když má největší obsah příslušný pravoúhelník $K L M N$. Mezi všemi pravoúhelníky o dané úhlopřičce $d$ má největší obsah čtverec, jehož obsah je $\frac{1}{2} d^{2}$. Největší možný obsah čtyř́uhelníku $A B C D$ je tedy $d^{2}$. Takový obsah má každý uvažovaný čtyřúhelník, který má shodné a navzájem kolmé úhlopřičcy délky $d \sqrt{2}$ (například ten na obr.6.1).

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_17_58307ef1dbfef8c2dad1g-7.jpg?height=432&width=440&top_left_y=1374&top_left_x=516)

Obr. 6.1

## POMOCNÉ ÚLOHY:

1. Dokažte, že Varignonův rovnoběžník každého konvexního čtyřúhelníku má obsah rovný polovině obsahu celého čtyřúhelníku. [Dvojice trojúhelníků $A K N, C M L$ a $B L K, D N M$ (obr. 6.1) mají dohromady obsah $\frac{1}{4}$ obsahu celého čtyřúhelníku (jak plyne z vlastností střední přičky trojúhelníku), takže celkem je obsah všech čtyř uvedených trojúhelníků roven polovině obsahu celého čtyřúhelníku.]
2. Ukažte, že mezi všemi pravoúhelníky o dané délce úhlopřičky má největší obsah čtverec.
3. Necht̉ kolmé průměty průsečíku úhlopřiček daného konvexního čtyřúhelníku na jednotlivé jeho strany leží uvnitř těchto stran. Dokažte, že uvažované průměty leží na téže kružnici, právě když středy stran daného čtyřúhelníku leží na kružnici. [30. MO, B-II-2]