# 48. ročník matematické olympiády 

## Úlohy školní - klauzurní části I. kola kategorie B

1. Na hřišti je méně než 500 dětí. Přitom počet procent chlapců ze všech dětí se rovná počtu všech děvčat. Kolik chlapců a kolik děvčat je na hřišti? Najděte všechny možnosti.
2. V trojúhelníku $A B C$ známe $a=|B C|$, poloměr $\varrho$ kružnice vepsané a poloměr $\varrho_{a}$ kružnice vně připsané straně $B C$. Dokažte, že vzdálenost středů obou kružnic se rovná $\sqrt{a^{2}+\left(\varrho_{a}-\varrho\right)^{2}}$.
3. Kvadratická rovnice $x^{2}-35 x+334=0$, jejíž koeficienty jsou zapsány v číselné soustavě o základu $z(z \geqq 6)$, má dva různé reálné kořeny. Určete $z$ a oba kořeny.

Školní - klauzurní část I. kola kategorie B se koná

## v úterý 26. ledna 1999

tak, aby začala dopoledne a aby soutěžící měli na řešení úloh 4 hodiny čistého času. Za každou úlohu může soutěžící získat 6 bodů, úspěšným řešitelem je ten žák, který získá 10 bodů nebo více. Tyto údaje se žákům sdělí před zahájením soutěže.

1. Označme po řadě $c, d$ počet chlapců a dívek na hřršti. Potom platí

$$
\frac{100 c}{c+d}=d
$$

Odtud

$$
c=\frac{d^{2}}{100-d}=\frac{100^{2}-\left(100^{2}-d^{2}\right)}{100-d}=\frac{10000}{100-d}-d-100 .
$$

Jelikož $c$ je celé nezáporné číslo, musí být $100-d$ kladným dělitelem čísla 10000 , tj. výraz $100-d$ může nabývat pouze hodnot: $1,2,4,5,8,10,16,20,25,40,50,80$. Navíc ale podle zadání musí být splněna podmínka $c+d<500$, tedy

$$
\frac{10000}{100-d}<600
$$

odkud plyne $100-d>16$. Pro hodnoty $100-d$ rovné $20,25,40,50,80$ tak dostaneme postupně všechna řešení

$$
(c, d)=(320,80),(225,75),(90,60),(50,50),(5,20)
$$

Za úplné řešení je 6 bodů, z toho 1 bod za sestavení rovnice, nejvýše 3 body za úvahy vedoucí $\mathrm{k}$ poznatku, že číslo $100-d$ dělí číslo 10000,2 body za následné určení všech dvojic $(c, d)$.

2. Označme podle obr. 1 odpovídající úseky tečen k oběma vepsaným kružnicím

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_17_1047864d9c6d7e4e9ecfg-2.jpg?height=528&width=914&top_left_y=1384&top_left_x=584)

Obr. 1

$|A T|=|A R|=x,|B T|=|B S|=y,|B U|=|B V|=z$. Navíc ještě platí $|C R|=|C S|$, $|C W|=|C V|$, takže

$$
\begin{aligned}
|A W| & =|A R|+|R C|+|C W|=|A R|+|R C|+|C S|+|S V|= \\
& =x+2|C S|+y-z
\end{aligned}
$$

a zároveň

$$
|A W|=|A U|=x+y+z \text {. }
$$

Je tedy $|C S|=z$ a také

$$
a=|C B|=z+y=|T U|=|O P| \text {. }
$$

Z pravoúhlého trojúhelníku $O P O_{a}$ podle Pythagorovy věty pak plyne

$$
\left|O O_{a}\right|=\sqrt{|O P|^{2}+\left|P O_{a}\right|^{2}}=\sqrt{a^{2}+\left(\varrho_{a}-\varrho\right)^{2}},
$$

což bylo dokázati.

Za úplné řešení je 6 bodů. Za důkaz vztahu $|T U|=a$ dejte 4 body. Pokud řešitel přijde na to, že se úkol redukuje na důkaz rovnosti $|T U|=a$, tu ale nedokáže, udělte 2 body. Zbývající výpočet použitím Pythagorovy věty oceňte 2 body.

## 3. Daná rovnice

$$
x^{2}-(3 z+5) x+\left(3 z^{2}+3 z+4\right)=0
$$

má dva různé reálné kořeny, právě když je její diskriminant $D$ kladný,

$$
\begin{aligned}
D & =(3 z+5)^{2}-4\left(3 z^{2}+3 z+4\right)=-3 z^{2}+18 z+9= \\
& =-3\left(z^{2}-6 z-3\right)=-3\left((z-3)^{2}-12\right)>0
\end{aligned}
$$

odkud $z<3+\sqrt{12}$. Podle zadání je však $z \geqq 6$, proto vyhovuje jedině $z=6$. Daná rovnice má pak v desítkové soustavě tvar

$$
x^{2}-23 x+130=0
$$

$\mathrm{s}$ kořeny $x_{1}=10, x_{2}=13$. ( $\mathrm{V}$ soustavě o základu $z=6$ budou mít nalezené kořeny zápis $x_{1}=14, x_{2}=21$.)

Za úplné řešení je 6 bodů, z toho 2 body za správný přepis koeficientů dané rovnice jako mnohočlenů proměnné $z, 1$ bod za výpočet diskriminantu $D, 2$ body za řešení nerovnosti $D>0 \mathrm{v}$ oboru celých čísel $z \geqq 6,1$ bod za výpočet kořenů $x_{1,2} \mathrm{v}$ případě $z=6$.