# Úlohy domácího kola kategorie A 1. Necht’ $P(x), Q(x)$ jsou kvadratické trojčleny takové, že tři z kořenů rovnice $P(Q(x))=0$ jsou čísla $-22,7,13$. Určete čtvrtý kořen této rovnice. ŘEŠENí. Vzhledem k tomu, že rovnice $P(Q(x))=0$ má reálný kořen, má kvadratická rovnice $P(x)=0$ dva reálné kořeny $r_{1}, r_{2}$ (nevylučujeme, že $\left.r_{1}=r_{2}\right)$. Mnohočlen $P(Q(x))$ lze proto zapsat ve tvaru $$ P(Q(x))=a\left(Q(x)-r_{1}\right)\left(Q(x)-r_{2}\right), $$ kde $a$ je reálné číslo $a \neq 0$. Rovnice $P(Q(x))=0$ má podle zadání čtyři reálné kořeny, proto každá z kvadratických rovnic $Q(x)-r_{1}=0, Q(x)-r_{2}=$ $=0$ musí mít dva reálné kořeny. Z Viètových vzorců plyne, že součet kořenů v obou kvadratických rovnicích je týž, nebot obě rovnice mají stejný koeficient u lineárního členu. Přitom tři ze čtyř reálných kořenů obou kvadratických rovnic $Q(x)-r_{1}=0, Q(x)-r_{2}=0$ jsou dle zadání čísla $-22,7,13$, čtvrtý kořen označme $q$. Dále mohou nastat tři možnosti: (i) Jedna z kvadratických rovnic má kořeny $-22,7$, druhá má kořeny 13 a $q$. Pak platí $-22+7=13+q$, tedy $q=-28$. (ii) Jedna z kvadratických rovnic má kořeny $-22,13$, druhá má kořeny 7 a $q$. Pak platí $-22+13=7+q$, tedy $q=-16$. (iii) Jedna z kvadratických rovnic má kořeny 13,7 , druhá má kořeny -22 a $q$. Potom však platí $13+7=-22+q$, tedy $q=42$. Je zřejmé, že v každém z případů (i), (ii), (iii) existují příslušné kvadratické trojčleny $P(x)$ a $Q(x)$. Má-li mít jedna z kvadratických rovnic $Q(x)-r_{1}=0$, $Q(x)-r_{2}=0$ kořeny $-22,7$ a druhá $13,-28$, položíme $Q(x)=x^{2}+15 x$, $r_{1}=(-22) \cdot 7=-154, r_{2}=13 \cdot(-28)=-364, P(x)=(x+154)(x+364)=$ $=x^{2}+518 x+56056$. Obdobně lze postupovat ve zbývajících případech. Čtvrtým kořenem rovnice $P(Q(x))=0$ může být kterékoliv z čísel -28 , $-16,42$. JINÉ ŘEŠENÍ. Úvahy o koeficientu u lineárního členu s využitím Viètových vztahů lze nahradit následující úvahou o grafech kvadratických funkcí. Protože grafy kvadratických funkcí $f_{1}: y=Q(x)-r_{1}$ a $f_{2}: y=Q(x)-$ - $r_{2}$ mají tutéž osu souměrnosti a přitom existují čtyři reálné kořeny rovnice $P(Q(x))=0$, jsou tyto kořeny na ose $x$ po dvou středově souměrné podle průsečíku os souměrnosti grafů obou funkcí $f_{1}$ a $f_{2}$ s osou $x$. Vzhledem k poloze daných tří kořenů na ose $x$ lze dále uvažovat tři možnosti stejně jako v předcházejícím řešení. Např. (i) Střed souměrnosti je $-7,5=\frac{-22+7}{2}$, čtvrtý kořen leží na ose $x$ a je symetrický s obrazem čísla 13 dle středu souměrnosti v bodě $-7,5$. Čtvrtým hledaným kořenem je tudíž číslo -28 . Podobně lze postupovat ve zbylých dvou případech a dospějeme tak ke stejnému výsledku. NÁVODNÉ ÚLOHY: 1. Odvod'te vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické (kubické) rovnice. 2. Zjistěte, pro která reálná čísla $p$ má rovnice $$ x^{3}+p x^{2}+2 p x=3 p+1 $$ tři různé reálné kořeny $x_{1}, x_{2}$ a $x_{3}$ takové, že $x_{1} x_{2}=x_{3}^{2}$. [45. MO, B-I-1] 3. Dokažte, že rovnice $x^{3}-1996 x^{2}+r x-1995=0$ má pro každý reálný koeficient $r$ nejvýše jeden celočíselný kořen. [45. MO, B-II-3] 4. Najděte všechny dvojice mnohočlenů $$ f(x)=x^{2}+a x+b, \quad g(x)=x^{2}+c x+d $$ které splňují tyto podmínky 1) Každý z mnohočlenů $f, g$ má dva různé reálné kořeny. 2) Je-li $s$ libovolný kořen $f$, je i $g(s)$ kořen $f$. 3) Je-li $s$ libovolný kořen $g$, je i $f(s)$ kořen $g$. [46. MO, A-I-2] 5. Najděte všechna reálná čísla $p$, pro něž jsou všechny kořeny $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ rovnice $$ x^{3}-12 x^{2}+p x-64=0 $$ reálné a nezáporné. [35. MO, A-S-2] 2. Necht̉ K, L, $M$ jsou po řadě vnitřní body stran $B C, C A, A B$ daného trojúhelniku $A B C$ takové, že kružnice vepsané dvojicím trojúhelniku $A B K$ a CAK, BCL a $A B L, C A M$ a BCM maji vnějši dotyk. Pak platí $$ |B K| \cdot|C L| \cdot|A M|=|C K| \cdot|A L| \cdot|B M| . $$ ## Dokažte. Poznámka. $Z$ uvedené rovnosti plyne na základě Cèvovy věty, že přímky $A K, B L, C M$ procházeji týmž bodem. ŘEŠENí. Uvnitř strany $B C$ trojúhelníku $A B C$ uvažujme bod $K$ takový, že kružnice vepsané trojúhelníkům $B K A$ a $C K A$ mají vnější dotyk v bodě $D$. Necht̉ dále (při obvyklém označení délek stran trojúhelníku $A B C$ ) platí označení podle obrázku 1 , tj. $$ \left|A D_{b}\right|=\left|A D_{c}\right|=x,\left|B D_{c}\right|=y,\left|C D_{b}\right|=z,|B K|=y+u,|C K|=z+u . $$ ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_17_9572f547fcb3c5845226g-03.jpg?height=525&width=679&top_left_y=141&top_left_x=403) Obr. 1 Z předešlého obrázku snadno vidíme, že platí následující soustava rovnic $$ \begin{aligned} & y+z=a-2 u \\ & z+x=b \\ & x+y=c \end{aligned} $$ Jednoduchou úpravou odtud dostáváme $2 y+2 u=a-b+c$ (analogicky vyjádříme $2 z+2 u$ ), a tudíž platí $$ \begin{aligned} & |B K|=y+u=\frac{1}{2}(a-b+c)=s-b \\ & |C K|=z+u=\frac{1}{2}(a+b-c)=s-c \end{aligned} $$ kde $2 s=a+b+c$. To značí (viz první návodná úloha), že bod $K$ je bodem dotyku kružnice vepsané trojúhelníku $A B C$ se stranou $B C$. Pro body $L$ a $M$ platí využitím analogického postupu následující vztahy: $$ |C L|=s-c, \quad|A L|=s-a, \quad|A M|=s-a, \quad|B M|=s-b . $$ $\mathrm{Z}$ předešlých rovností již bezprostředně plyne $$ |B K| \cdot|C L| \cdot|A M|=(s-a)(s-b)(s-c)=|C K| \cdot|A L| \cdot|B M| \text {. } $$ Tím je důkaz ukončen. NÁVODNÉ ÚLOHY: 1. Pomocí délek stran $a, b, c$ daného trojúhelníku $A B C$ vyjádřete a) vzdálenosti vrcholů a bodů dotyku kružnice tomuto trojúhelníku vepsané, které leží na přilehlých stranách; b) vzdálenosti vrcholů a bodů dotyku kružnic vně připsaných přilehlým stranám (které leží na těchto stranách); c) vzdálenosti středů jeho stran a bodů dotyku kružnice danému trojúhelníku vepsané (vně připsané), které leží na jednotlivých stranách daného trojúhelníku. 2. Seznamte žáky s následující variantou Cèvovy věty: Necht $K, L, M$ jsou po řadě vnitřní body stran $B C, C A, A B$ daného trojúhelníku $A B C$. Usečky $A K, B L, C M$ se protínají v jednom bodě uvnitř trojúhelníku $A B C$, právě když platí $$ \frac{|A M|}{|M B|} \cdot \frac{|B K|}{|K C|} \cdot \frac{|C L|}{|L A|}=1 $$ Větu dokažte, například podle [Švrček J., Vanžura J.: Geometrie trojúhelníka, SNTL Praha (1988)]. Poznámka. Úsečky $A K, B L, C M$ vyhovující podmínkám úlohy se tedy protínají podle Cèvovy věty v jediném bodě $G$, zvaném Gergonnuv bod daného trojúhelníku $A B C$. 3. V oboru kladných čisel řešte soustavu $$ \begin{aligned} & \sqrt{x y}+\sqrt{x z}-x=a, \\ & \sqrt{y z}+\sqrt{y x}-y=b, \\ & \sqrt{z x}+\sqrt{z y}-z=c \end{aligned} $$ kde $a, b, c$ jsou daná kladná čissla. ŘEŠENí. Z textu úlohy plyne, že neznámé $x, y, z$ jsou kladná čísla, lze proto danou soustavu upravit do následujícího tvaru $$ \begin{aligned} -\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z} & =\frac{a}{\sqrt{x}} \\ \sqrt{x}-\sqrt{y}+\sqrt{z} & =\frac{b}{\sqrt{y}} \\ \sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{z} & =\frac{c}{\sqrt{z}} \end{aligned} $$ Sečteme-li po dvojicích jednotlivé rovnice předešlé soustavy, dostaneme tak soustavu $$ \begin{aligned} & \frac{b}{\sqrt{y}}+\frac{c}{\sqrt{z}}=2 \sqrt{x}, \\ & \frac{c}{\sqrt{z}}+\frac{a}{\sqrt{x}}=2 \sqrt{y}, \\ & \frac{a}{\sqrt{x}}+\frac{b}{\sqrt{y}}=2 \sqrt{z} . \end{aligned} $$ Dále po snadné úpravě $$ \begin{aligned} & b \sqrt{z}+c \sqrt{y}=2 \sqrt{x y z}, \\ & c \sqrt{x}+a \sqrt{z}=2 \sqrt{x y z}, \\ & a \sqrt{y}+b \sqrt{x}=2 \sqrt{x y z} . \end{aligned} $$ Odečtením první a třetí, resp. druhé a třetí rovnice poslední soustavy dále získáme $$ \begin{aligned} b \sqrt{z}+(c-a) \sqrt{y} & =b \sqrt{x} \\ a \sqrt{z}-a \sqrt{y} & =(b-c) \sqrt{x} . \end{aligned} $$ Obě strany první rovnice předešlé soustavy násobíme číslem $a$, obě strany druhé rovnice pak násobíme číslem $-b$. Sečteme-li obě takto upravené rovnice, obdržíme $$ a(b+c-a) \sqrt{y}=b(c+a-b) \sqrt{x}, $$ obdobným způsobem dostaneme rovněž $$ a(b+c-a) \sqrt{z}=c(a+b-c) \sqrt{x} . $$ Jestliže pro kladná čísla $a, b, c$ platí vztah $b+c-a=0$, pak z predešlých dvou rovnic plyne, že také $a+b-c=0, c+a-b=0$. Potom však $a=b=c=0$, což není možné. Je tudíž $b+c-a \neq 0$. Z poslední dvojice rovnic vyjádříme $\sqrt{y}$ a $\sqrt{z}$ pomocí $\sqrt{x}$ následujícím způsobem: $$ \begin{aligned} & \sqrt{y}=\frac{b(c+a-b)}{a(b+c-a)} \sqrt{x} \\ & \sqrt{z}=\frac{c(a+b-c)}{a(b+c-a)} \sqrt{x} \end{aligned} $$ Odtud snadno vidíme, že výrazy $b+c-a, c+a-b, a+b-c$ jsou současně všechny kladné nebo všechny záporné. Po dosazení $\sqrt{y}$ a $\sqrt{z}$ do původní soustavy rovnic získáme (po úpravách) řešení $(x, y, z)$, kde $$ \begin{aligned} & x=\frac{a^{2}(b+c-a)}{(c+a-b)(a+b-c)}, \\ & y=\frac{b^{2}(c+a-b)}{(b+c-a)(a+b-c)}, \\ & z=\frac{c^{2}(a+b-c)}{(c+a-b)(b+c-a)} . \end{aligned} $$ Vzhledem $\mathrm{k}$ tomu, že jsme $\mathrm{k}$ řešení soustavy rovnic dospěli výhradně ekvivalentními úpravami, není třeba zkoušku provádět. Soustava má přitom výše uvedené řešení v oboru kladných čísel, právě když současně platí následující podmínky $b+c-a>0, c+a-b>0, a+b-c>0$, tj. právě když kladná čísla $a, b, c$ jsou délkami stran trojúhelníku. NÁVODNÉ ÚLOHY: 1. Řešte soustavu $$ \begin{aligned} & \sqrt{x y}+\sqrt{x}=8, \\ & \sqrt{y x}-\sqrt{y}=3 . \end{aligned} $$ $$ [x=16, y=1 \text { nebo } x=4, y=9] $$ 2. Rešte soustavu $$ \begin{aligned} & \frac{1}{x y}+\frac{1}{x z}-\frac{1}{y z}=8 \\ & \frac{1}{y x}+\frac{1}{y z}-\frac{1}{x z}=4, \\ & \frac{1}{z x}+\frac{1}{z y}-\frac{1}{x y}=4 . \end{aligned} $$ $\left[x=\frac{1}{3}, y=\frac{1}{2}, z=\frac{1}{2}\right.$ nebo $\left.x=-\frac{1}{3}, y=-\frac{1}{2}, z=-\frac{1}{2}\right]$ 3. V oboru reálných čísel řešte soustavu rovnic $$ \begin{aligned} & x(y+z)=1 \\ & y(z+x)=1 \\ & z(x+y)=p \end{aligned} $$ s parametrem $p$. Proved'te diskusi vzhledem k parametru $p$. [41. MO, A-II-1] 4. V rovině je dáno 1999 shodných trojúhelnikui o obsahu 1, které jsou obrazy téhož trojúhelniku v rüzných posunutích. Je-li pri̊nikem všech daných trojúhelníki množina $\mathrm{M}$, která obsahuje těžiště každého z nich, je obsah množiny M alespoň $\frac{1}{9}$. Dokažte. ŘEŠEní. Necht $A_{s} B_{s} C_{s}$, kde $s \in\{1,2, \ldots, 1999\}$, jsou trojúhelníky vyhovující podmínkám úlohy a $X Y Z$ necht značí polorovinu s hraniční přímkou $X Y$ a vnitřním bodem $Z$. Každý z daných trojúhelníků $A_{s} B_{s} C_{s}$ je průnikem vždy tří polorovin $A_{s} B_{s} C_{s}, B_{s} C_{s} A_{s}$ a $C_{s} A_{s} B_{s}$, proto je (neprázdná) množina M průnikem 3 $1999=5997$ takových polorovin. Vzhledem k tomu, že poloroviny $A_{s} B_{s} C_{s}$, kde $s \in\{1,2, \ldots, 1999\}$, se navzájem liší jen posunutím, je jejich průnikem polorovina $A_{i} B_{i} C_{i}$, kde $i$ je pevný index z množiny $\{1,2, \ldots, 1999\}$. Podobně průnikem všech polorovin $B_{s} C_{s} A_{s}$ je určitá polorovina $B_{j} C_{j} A_{j}$ a průnikem všech polorovin $C_{s} A_{s} B_{s}$ je určitá polorovina $C_{k} A_{k} B_{k}$, kde $j, k \in\{1,2, \ldots, 1999\}$. Množina $\mathrm{M}$ je proto průnikem tří výše zmíněných polorovin $A_{i} B_{i} C_{i}$, $B_{j} C_{j} A_{j}$ a $C_{k} A_{k} B_{k}$, M je tedy trojúhelník $A B C$, kde $A$ je průsečík přímek $A_{i} B_{i}$ a $C_{k} A_{k}, B$ je průsečík přímek $A_{i} B_{i}$ a $B_{j} C_{j}$ a konečně $C$ je průsečík přímek $B_{j} C_{j}$ a $C_{k} A_{k}$. Tento trojúhelník je podobný všem trojúhelníkům $A_{s} B_{s} C_{s}$, přičemž pro poměr podobnosti $\lambda$ platí $0<\lambda \leqq 1$. (Případ $A=B=C$ lze dle textu úlohy vyloučit.) Vzhledem $\mathrm{k}$ tomu, že obsah trojúhelníku $A B C$ je $\lambda^{2}$, stačí dokázat, že $\lambda \geqq \frac{1}{3}$. Označme $v$ výšku z vrcholu $C_{i}$ na stranu $A_{i} B_{i}$ v trojúhelníku $A_{i} B_{i} C_{i}$. Protože přímka $A_{i} B_{i}$ je totožná $\mathrm{s}$ přímkou $A B$, je vzdálenost těžiště $T_{i}$ trojúhelníku $A_{i} B_{i} C_{i}$ od přímky $A B$ rovna $\frac{1}{3} v$. Podle zadání obsahuje množina $\mathrm{M}$ těžiště všech trojúhelníků $A_{s} B_{s} C_{s}$, musí tudíž obsahovat těžiště $T_{i}$ trojúhelníku $A_{i} B_{i} C_{i}$. Vzdálenost vrcholu $C$ trojúhelníku $A B C$ od jeho strany $A B$ je tedy alespoň $\frac{1}{3} v$. Porovnáním velikostí výšek z vrcholů $C_{i}$ a $C$ v podobných trojúhelnících $A_{i} B_{i} C_{i}$ a $A B C$ dostáváme již přímo žádanou nerovnost $\lambda \geqq \frac{1}{3}, \mathrm{tj} . \lambda^{2} \geqq \frac{1}{9}$, což jsme chtěli dokázat. ## DOPLŇUJÍCÍ ÚLOHY: 1. V rovině je dáno 1999 shodných obdélníků o obsahu 1, které jsou obrazy téhož obdélníku v různých posunutích. Je-li průnikem všech daných obdélníků množina $\mathrm{M}$, která obsahuje průsečík úhlopříček každého z nich, je obsah množiny $M$ alespoň $\frac{1}{4}$. Dokažte. 2. Je dána úsečka $A B$. Množina bodů $\mathrm{M}$ je definována takto: a) M obsahuje body $A, B$. b) Obsahuje-li $\mathrm{M}$ body $X$ a $Y$, obsahuje i bod $Z$ úsečky $X Y$, pro který platí $|Y Z|=3|X Z|$. 3. Dokažte, že každá úsečka, která je částí úsečky $A B$, obsahuje alespoň jeden bod množiny M. [17. MO, A-I-1] 4. Je dána funkce $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ taková, že $f(n)=1$, je-li $n$ liché, a $f(n)=k$ pro každé sudé číslo $n=2^{k} l$, kde $k$ je přirozené č́slo a l čislo liché. Určete největši přirozené čisslo $n$, pro něě platí $$ f(1)+f(2)+\ldots+f(n) \leqq 123456 . $$ ŘEŠENí. Označme $$ S(n)=f(1)+f(2)+\ldots+f(n) $$ Ze zadání plyne $S(1)=1$. Protože $f(n) \geqq 1$ pro všechna přirozená čísla $n$, je $S: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ rostoucí funkce. Je-li $n$ přirozené číslo tvaru $n=2^{k}$, kde $k$ je přirozené, určíme součet $S(n)$ následujícím způsobem: Počet lichých čísel, která nejsou větší než $n$, je $2^{k-1}$. Každé liché číslo se na součtu $S(n)$ podílí hodnotou 1. Počet sudých čísel, která nejsou větší než $n$, je rovněž $2^{k-1}$, přitom každé sudé č́slo se na součtu $S(n)$ podílí hodnotou minimálně 1 . Je-li navíc toto číslo dělitelné čtyřmi, podílí se na součtu další 1. Je-li dále číslo dělitelné osmi, podílí se další 1 , atd. (Hodnotu $S(n)$ tak tvoříme načítáním hodnot 1 „po vrstvách“). Celkem je tedy $$ \begin{aligned} S\left(2^{k}\right) & =2^{k-1}+2^{k-1}+2^{k-2}+\ldots+2+1=2^{k-1}+\frac{2^{k}-1}{2-1}= \\ & =2^{k}+2^{k-1}-1=3 \cdot 2^{k-1}-1 . \end{aligned} $$ Necht̉ $p$ je přirozené číslo, které lze zapsat ve tvaru $p=2^{m} s$, kde $m$ je celé nezáporné číslo a $s$ liché přirozené číslo. Necht $k$ je přirozené číslo takové, že $p<2^{k}$ (tedy $mm$, a $l$ liché číslo, platí podle předcházejícího odstavce $$ \begin{aligned} S\left(2^{k} l+2^{m}\right)= & f(1)+f(2)+\ldots+f\left(2^{k} l\right)+f\left(2^{k} l+1\right)+f\left(2^{k} l+2\right)+\ldots+ \\ & +f\left(2^{k} l+2^{m}\right)= \\ = & f(1)+f(2)+\ldots+f\left(2^{k} l\right)+f(1)+f(2)+\ldots+f\left(2^{m}\right)= \\ = & S\left(2^{k} l\right)+S\left(2^{m}\right) . \end{aligned} $$ A odtud již matematickou indukcí lehce dokážeme, že jsou-li $k_{1}>k_{2}>\ldots>k_{i}$ nezáporná celá čísla, pak platí $$ S\left(2^{k_{1}}+2^{k_{2}}+\ldots+2^{k_{i}}\right)=S\left(2^{k_{1}}\right)+S\left(2^{k_{2}}\right)+\ldots+S\left(2^{k_{i}}\right) $$ Největší nezáporné celé číslo $k_{1}$ takové, že $3 \cdot 2^{k_{1}-1}-1=S\left(2^{k_{1}}\right) \leqq 123456$, je $k_{1}=16$. Přitom $S\left(2^{16}\right)=98303$. Největší nezáporné celé číslo $k_{2}$ takové, že $3 \cdot 2^{k_{2}-1}-1=S\left(2^{k_{2}}\right) \leqq 123456-$ $-98303=25153$, je $k_{2}=14$. Přitom $S\left(2^{14}\right)=24575$. Největší nezáporné celé číslo $k_{3}$ takové, že $3 \cdot 2^{k_{3}-1}-1=S\left(2^{k_{3}}\right) \leqq 25153-$ $-24575=578$, je $k_{3}=8$. Přitom $S\left(2^{8}\right)=383$. Největší nezáporné celé číslo $k_{4}$ takové, že $3 \cdot 2^{k_{4}-1}-1=S\left(2^{k_{4}}\right) \leqq 578-$ $-383=195$, je $k_{4}=7$. Přitom $S\left(2^{7}\right)=191$. Největší nezáporné celé číslo $k_{5}$ takové, že $3 \cdot 2^{k_{5}-1}-1=S\left(2^{k_{5}}\right) \leqq 195-$ $-191=4$, je $k_{5}=1$. Přitom $S\left(2^{1}\right)=2$. Největší nezáporné celé číslo $k_{6}$ takové, že $S\left(2^{k_{6}}\right) \leqq 4-2=2$, je $k_{6}=0$. Přitom $S\left(2^{0}\right)=1$. Tedy $$ \begin{aligned} S(82307) & =S\left(2^{16}+2^{14}+2^{8}+2^{7}+2+1\right)= \\ & =S\left(2^{16}\right)+S\left(2^{14}\right)+S\left(2^{8}\right)+S\left(2^{7}\right)+S(2)+S(1)= \\ & =123455 \leqq 123456 . \end{aligned} $$ Přitom $S(82308)=S(82307)+f(82308)=123455+2=123457>123456$. Největší přirozené číslo $n$, pro něž platí $S(n) \leqq 123456$, je $n=82307$. JINÉ ŘEŠENí. Na základě úvahy o načítání hodnot „po vrstvách“ jako v předešlém řešení zjistíme, že $$ S(n)=n+\left\lfloor\frac{n}{4}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{n}{8}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{n}{16}\right\rfloor+\ldots $$ Přitom $\lfloor r\rfloor$ znamená celou část reálného čísla $r$, což je největší celé číslo, které není větší než $r$. Protože pro každé reálné číslo $r$ platí $\lfloor r\rfloor \leqq r$, platí též $$ S(n) \leqq n+\frac{n}{4}+\frac{n}{8}+\ldots=\frac{n}{2}+\frac{n}{2}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\ldots\right)=\frac{n}{2}+n=\frac{3 n}{2} . $$ Největší přirozené číslo $n$, pro něž platí, že $\frac{3 n}{2} \leqq 123456$, je $n=82304$. Přitom $$ \begin{aligned} S(82304)= & 82304+\left\lfloor\frac{82304}{4}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{82304}{8}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{82304}{16}\right\rfloor+\ldots+ \\ & +\left\lfloor\frac{82304}{65536}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{82304}{131072}\right\rfloor+\ldots= \\ = & 82304+20576+10288+5144+2572+1286+643+ \\ & +321+160+80+40+20+10+5+2+1+0+0+\ldots= \\ = & 123452 . \end{aligned} $$ Dále $$ \begin{aligned} & S(82305)=S(82304)+f(82305)=123452+1=123453, \\ & S(82306)=S(82305)+f(82306)=123453+1=123454, \\ & S(82307)=S(82306)+f(82307)=123454+1=123455, \\ & S(82308)=S(82307)+f(82308)=123455+2=123457 . \end{aligned} $$ Největší přirozené číslo $n$, pro něž $S(n) \leqq 123456$, je tedy $n=82307$. DOPLŇUJÍCí ÚLOHY: 1. Necht’ $m$ je přirozené číslo, $p$ prvočíslo. Označme $$ m ! != \begin{cases}1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot m & \text { pro } m \text { liché } \\ 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot m & \text { pro } m \text { sudé }\end{cases} $$ tzv. dvojný faktoriál. Určete nejvyšší mocninu prvočísla $p$, která ještě dělí číslo $m$ !! [34. MO, A-I-2] 2. Je dána funkce $f$ spojitá na intervalu $\langle 0,1\rangle$ a s hodnotami $f(0)=f(1)=1$, jež pro každá dvě čísla $x \leqq y$ z intervalu $\langle 0,1\rangle$ splňuje rovnici $$ f\left(\frac{x+y}{2}\right)=\frac{2}{3} f(x)+\frac{1}{3} f(y) $$ Určete $f\left(\frac{1}{7}\right) .[40 . \mathrm{MO}, \mathrm{A}-\mathrm{I}-6]$ 6. Je dán čtyřboký jehlan $A B C D V$ s podstavou $A B C D$. Jeho hrany $A B$, $C D$ jsou rovnoběžné a roviny $A B V$ a $C D V$ vzájemně kolmé. Označme $P$ patu výšky $z$ vrcholu $V$ na stranu $A B$ v trojúhelníku $A B V$ a $Q$ patu výšky $z$ vrcholu $V$ na stranu $C D$ v trojúhelníku $C D V$. Dokažte nerovnost $$ |A V|^{2}+|B V|^{2}+|C V|^{2}+|D V|^{2} \geqq|P Q|^{2}+2\left(S_{A B V}+S_{C D V}+S_{P Q V}\right) $$ $k d e S_{X Y Z}$ značí obsah trojúhelníku $X Y Z$. Zjistěte rovněž, kdy platí rovnost. ŘEŠENí. Přímka $A B$ je průsečnicí roviny $A B V$ s rovinou podstavy $A B C D$ čtyřbokého jehlanu $A B C D V$, podobně přímka $C D$ je průsečnicí roviny $C D V$ $\mathrm{s}$ rovinou podstavy $A B C D$ uvažovaného jehlanu. Vzhledem $\mathrm{k}$ tomu, že obě průsečnice jsou dle zadání rovnoběžné, je rovněž průsečnice $s$ rovin $A B V$ a $C D V$ $\mathrm{s}$ nimi rovnoběžná (obr. 2). Rovina kolmá k přímce $s$, procházející vrcholem $V$ daného jehlanu, protíná přímky $A B, C D$ po řadě v bodech $P, Q$, které jsou patami výšek z vrcholu $V$ po řadě na strany $A B, C D$ v trojúhelnících $A B V$, $C D V$. Roviny $A B V$ a $C D V$ jsou podle zadání vzájemně kolmé, trojúhelník $P Q V$ má proto pravý úhel u vrcholu $V$. Pata $M$ výšky z vrcholu $V$ na přeponu $P Q$ je přitom totožná s patou tělesové výšky z vrcholu $V$ jehlanu $A B C D V$. Pro polohu bodů $P$ a $Q$ na přímce $A B$, resp. $C D$, je treba dále rozlišit tři případy: (i) Oba body $P$ a $Q$ leží na odpovídajících hranách $A B, C D$. (ii) Jeden z bodů $P, Q$ leží na odpovídající hraně, druhý na prodloužení odpovídající hrany. (iii) Žádný z bodů $P, Q$ neleží na odpovídající hraně. ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_17_9572f547fcb3c5845226g-11.jpg?height=521&width=817&top_left_y=353&top_left_x=380) Obr. 2 Dokážeme dále nerovnost z textu úlohy pro případ (i). Zaved’me označení ve shodě s obrázkem $2, \mathrm{tj}$. $$ |A P|=x,|B P|=y,|C Q|=z,|D Q|=u,|V P|=p,|V Q|=q \text {. } $$ Využitím Pythagorovy věty v pravoúhlých trojúhelnících $A P V, B P V, C Q V$, $D Q V$ a $P Q V$ dostáváme postupně vztahy: $$ \begin{gathered} |A V|^{2}=x^{2}+p^{2}, \quad|B V|^{2}=y^{2}+p^{2}, \quad|C V|^{2}=z^{2}+q^{2}, \\ |D V|^{2}=u^{2}+q^{2}, \quad|P Q|^{2}=p^{2}+q^{2} . \end{gathered} $$ Pro obsahy trojúhelníků $A B V, C D V$ a $P Q V$ platí vzorce $$ 2 S_{A B V}=(x+y) p, \quad 2 S_{C D V}=(z+u) q, \quad 2 S_{P Q V}=p q $$ Dosadíme-li nyní za $|A V|^{2},|B V|^{2},|C V|^{2},|D V|^{2},|P Q|^{2}$ a $2 S_{A B V}, 2 S_{C D V}$, $2 S_{P Q V}$ do nerovnosti v textu úlohy, dostáváme po snadné úpravě $$ x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}+p^{2}+q^{2} \geqq x p+y p+z q+u q+p q . $$ Nyní dokážeme, že předešlá nerovnost platí pro libovolná nezáporná reálná čísla $x, y, z, u$ a libovolná kladná čísla $p, q$. Vynásobením rozdílu levé a pravé strany této nerovnosti číslem 4 dostáváme po úpravě $$ \begin{aligned} & \left(4 x^{2}-4 x p+p^{2}\right)+\left(4 y^{2}-4 y p+p^{2}\right)+\left(4 z^{2}-4 z q+q^{2}\right)+\left(4 u^{2}-4 u q+q^{2}\right)+ \\ & \quad+2\left(p^{2}-2 p q+q^{2}\right)=(2 x-p)^{2}+(2 y-p)^{2}+(2 z-q)^{2}+(2 u-q)^{2}+2(p-q)^{2} \geqq 0 . \end{aligned} $$ Vzhledem $\mathrm{k}$ tomu, že všechny provedené úpravy byly ekvivalentní, platí též nerovnost uvedená v textu úlohy, což jsme měli dokázat. Podobně lze postupovat i v případech (ii) a (iii). Odlišné je zde pouze vyjádření hodnot $2 S_{A B V}$ a $2 S_{C D V}$. Rovnost může nastat pouze $\mathrm{v}$ případě (i), ve zbylých dvou případech je vyloučena. V případě (i) přitom rovnost nastává, právě když platí $$ 2 x=2 y=2 z=2 u=p=q, $$ tj. právě když podstavou daného čtyřbokého jehlanu $A B C D V$ je obdélník $A B C D$, pata $M$ výšky $V M$ uvažovaného jehlanu je průsečíkem úhlopřiček $A C$ a $B D$ v obdélníku $A B C D$ a současně platí $$ |A B|:|B C|:|V M|=4: 2 \sqrt{2}: \sqrt{2} . $$ ## NÁVODNÉ ÚLOHY: 1. Dokažte, že pro libovolná reálná čísla $x, y$ platí nerovnost $$ 5 x^{2}+y^{2}+1 \geqq 2 x(2+y) . $$ Zjistěte, kdy nastává rovnost. [Rovnost nastává, právě když $x=y=\frac{1}{2}$ ] 2. Označme $a, b, c, d, e, f$ velikosti hran čtyřstěnu a $S$ jeho povrch. Dokažte nerovnost $$ S \leqq \frac{\sqrt{3}}{6}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2}+f^{2}\right) $$ [41. MO, A-III-2] 3. Dokažte, že pro libovolná reálná čísla $a, b, c, d$, e platí nerovnost $$ a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2} \geqq(a+b+c+d) e . $$ Zjistěte, kdy nastává rovnost. [Rovnost nastává, právě když $2 a=2 b=2 c=$ $=2 d=e$.] 4. Dokažte, že pro libovolná kladná čísla $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ platí nerovnost $$ \left(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}\right)^{2} \geqq 4\left(x_{1} x_{2}+x_{2} x_{3}+x_{3} x_{4}+x_{4} x_{5}+x_{5} x_{1}\right) . $$