# Úlohy domácího kola kategorie B 1. Řešte v oboru kladných čısel soustavu rovnic $$ \begin{aligned} & 3 x+y_{10}=598,6, \\ & x_{10}+2 y=723,4, \end{aligned} $$ $v$ níž $x_{10}$ a $y_{10}$ označují po řadě čísla $x$ a y zaokrouhlená na desítky. ŘEŠENÍ. Necht́ $$ \begin{gathered} x=x_{10}+m, \quad y=y_{10}+n, \quad-5 \leqq m, n \leqq 5, \\ a=3 x_{10}+y_{10}, \quad b=x_{10}+2 y_{10} . \end{gathered} $$ Čísla $a, b$ jsou násobky deseti a původní soustavu rovnic můžeme přepsat ve tvaru $$ a=598,6-3 m, \quad b=723,4-2 n \text {. } $$ Č́sla $m, n$ jsou z intervalu $\langle-5,5)$, proto $a \in\{590,600,610\}$ a $b \in\{720,730\}$. Dále ze (2) dostáváme $$ x_{10}=\frac{1}{5}(2 a-b), \quad y_{10}=\frac{1}{5}(3 b-a) . $$ Vidíme, že čísla $2 a-b$ a $3 b-a$ musejí být dělitelná padesáti, a proto přicházejí v úvahu jen dvojice $[a, b]=[590,730],[a, b]=[610,720]$. Nalezené hodnoty čísel $a, b$ postupně dosadíme do (4) a (3). Pomocí (1) určíme $x$ a $y$ : V prvním případě je $x_{10}=90, y_{10}=320, m=\frac{43}{15}, n=-3,3, x=\frac{1393}{15}=92,8 \overline{6}$ a $y=316,7$, ve druhém $x_{10}=100, y_{10}=310, m=-3,8, n=1,7, x=96,2$ a $y=311,7$. POMOCNÉ ÚLOHY: 1. V oboru reálných čísel řešte rovnici $3 x^{3}-[x]=3$. $[40-\mathrm{B}-\mathrm{I}-1]$ 2. Dokažte, že funkce $f(x)=k x-[x]$ definovaná na množině $\mathbb{R}$ není pro $k>\frac{1}{2}$ prostá. $[40-\mathrm{B}-\mathrm{II}-1]$ 3. Na povrchu krychle $A B C D E F G H$ je sestrojena lomená čára složená ze čtyř shodných úseček ve stěnách $A B F E, B C G F, C D H G$ a $G H E F$, která vychází z vrcholu $A$ a konči ve vrcholu $E$. Určete, v jakém poměru dělí tato lomená čára hranu $C G$. ŘEŠEní. Označme $K, L, M$ body dané lomené čáry, jež po řadě leží na úsečkách $B F, C G, G H$. Délku hrany krychle položme rovnu jedné a patu kolmice z bodu $K$ na hranu $C G$ označme $P$ (obr. 1). Pravoúhlé trojúhelníky $A K B, K L P$ a $E M H$ se shodují v přeponách $A K, K L$ a $E M$ a v jednotkových odvěsnách $A B, K P$ a $E H$. Jsou tedy podle věty $S$ su shodné a platí $|B K|=|L P|=|M H|=u$. Z pravoúhlých trojúhelníků ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_17_045b0e2a593b4c2fb99eg-2.jpg?height=436&width=637&top_left_y=102&top_left_x=386) Obr. 1 ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_17_045b0e2a593b4c2fb99eg-2.jpg?height=431&width=635&top_left_y=104&top_left_x=1081) Obr. 2 $L M G$ a $A B K(|G L|=1-2 u,|G M|=1-u)$ vyjádříme pomocí Pythagorovy věty druhé mocniny délek jejich přepon a porovnáme je: $1+u^{2}=(1-u)^{2}+(1-2 u)^{2}$. Rovnice má jediný kořen menší než $1: u=\frac{1}{4}(3-\sqrt{5})$. Poměr $|C L|:|L G|=2 u$ : $:(1-2 u)=\frac{1}{2}(\sqrt{5}-1)$ je roven poměru zlatého řezu. Pro polohu bodu $L$ na hraně $C G$ je ještě jedna možnost, znázorněná na stejné části sítě krychle na obr. 2. Zřejmě jsou pak body $C$ a $L$ totožné a $u=|B K|=|G M|=$ $=|M H|=\frac{1}{2}$, přičemž poměr $|C L|:|L G|$ vyjde nulový. ## DOPLŇUJÍCÍ ÚLOHY: 1. Je dána krychle $A B C D E F G H, U$ je střed její horní stěny $E F G H, V$ je střed její přední stěny $A B F E$. Sestrojte na povrchu krychle lomenou čáru $V X Y U$ složenou ze tří shodných úseček a procházející přes stěnu $B C G F$. 2. Je dán pravidelný čtyřstěn $A B C D, P$ je těžiště trojúhelníku $A B C, Q$ střed úsečky omezené vrcholem $D$ a tě̌̌ištěm trojúhelníku $A B D$. Určete délku nejkratší lomené čáry spojující po povrchu čtyřstěnu body $P$ a $Q$, jestliže tato čára prochází a) přes stěny $A B C, A B D, \mathrm{~b}$ ) přes stěny $A B C, B C D, A B D, \mathrm{c})$ pres stěny $A B C, B C D, A C D$, $A B D$. [Obě úlohy viz Hradecký, Koman, Vyšín: Několik úloh z geometrie jednoduchých těles, ŠMM 1, MF, Praha 1963, 1977.] 3. Do každého pole čtvercové tabulky $n \times n$ vepišeme jedno $z$ čísel $1,2, \ldots, n$ tak, aby $v$ každém řádku i v každém sloupci byla bud’ všechna čisla stejná, nebo všechna rĩzná. Příkladem pro $n=5$ je následující tabulka | 5 | 4 | 1 | 2 | 3 | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | | 4 | 1 | 2 | 5 | 3 | | 1 | 2 | 5 | 4 | 3 | | 2 | 5 | 4 | 1 | 3 | Označme $S$ součet všech čísel tabulky. Kolik rưzných hodnot $S$ pro dané n existuje? ŘEŠENí. Podle způsobu obsazení řádků rozdělíme všechny zkoumané tabulky do tří skupin: (a) V žádném řádku tabulky není $n$ stejných čísel. Sčítáním čísel po řádcích v této situaci zjistíme, že $$ S=n(1+2+\ldots+n)=\frac{1}{2} n^{2}(n+1) . $$ (b) V právě jednom řádku tabulky je $n$ stejných čísel $a$. V každém z ostatních řádků jsou čísla $1,2, \ldots, n$, takže $S=n a+(n-1)(1+2+\ldots+n)$ a po úpravě $$ S=n a+\frac{1}{2} n\left(n^{2}-1\right), \quad a \in\{1,2, \ldots, n\} $$ (c) V některém řádku tabulky je $n$ stejných čísel $b$ a $\mathrm{v}$ jiném $n$ stejných čísel $c$. Pokud je $b=c$, vyskytuje se číslo $c$ v každém sloupci aspoň dvakrát, a tedy právě $n$-krát. V tom případě platí $$ S=n^{2} c, \quad c \in\{1,2, \ldots, n\} . $$ Pokud jsou $b, c$ různá čísla, jsou i v každém sloupci tabulky dvě různá čísla, a tedy jsou v něm všechna čísla navzájem různá. Sčítáním po sloupcích zjistíme, že součet $S$ má hodnotu (5). Dosazením daného $n$ a postupně všech možných hodnot čísel $a, c$ do vztahů (5), (6) a (7) dostaneme celkem $2 n+1$ součtů, z toho $n$ součtů typu (6) je navzájem různých a $n$ součtů typu (7) je navzájem různých. Musíme tedy ještě vyšetřit, zda není možná pro nějaké hodnoty čísel $a, c$ rovnost součtů (5) a (6), nebo (5) a (7), nebo (6) a (7). $\mathrm{V}$ prvém případě z rovnice $\frac{1}{2} n^{2}(n+1)=n a+\frac{1}{2} n\left(n^{2}-1\right)$ zjistíme, že rovnost nastane pro $a=\frac{1}{2}(n+1)$, to znamená, jen když $n$ je liché. Ve druhém případě dojdeme analogicky $\mathrm{k}$ závěru, že (5) a (7) se rovnají opět jen pro $n$ liché a $c=\frac{1}{2}(n+1)$. Ve třetím případě upravíme rovnici $n a+\frac{1}{2} n\left(n^{2}-1\right)=n^{2} c$ na tvar $2 a-1=n(2 c-n)$, z něhož plyne, že pokud taková dvě č́sla $a, c \in\{1,2, \ldots, n\}$ existují, je čislo $n$ nutně liché a číslo $2 a-1$ je jeho násobkem. Je však $2 a-1 \leqq 2 n-1$, proto může být jedině $2 a-1=n$ a $2 c-n=1$. Odtud $a=\frac{1}{2}(n+1)=c$. Shrnutím všech tří situací můžeme konstatovat, že pro $n$ sudé je všech $2 n+1$ součtů $S$ rưzných, kdežto pro $n$ liché se mezi těmito součty vyskytují právě tři stejné. Odpověd': Součet $S$ všech čísel tabulky nabývá bud' $2 n+1$ hodnot (když $n$ je sudé), nebo $2 n-1$ hodnot (když $n$ je liché). PomocnÁ ÚLOHA: Dokažte, že pro součet $S_{n}$ prvních $n$ přirozených čísel platí: $$ S_{n}=1+2+\ldots+n=\frac{1}{2} n(n+1) . $$ 4. Necht’ k je kružnice opsaná trojúhelniku $A B C, D$ je priơsečík těžnice na stranu $A B$ s kružnicí $k$. Tečny ke kružnici $k$ v bodech $A, B, C, D$ vytvářeji čtyřúhelník $P Q R S$. Zjistěte, pro které trojúhelniky $A B C$ je čtyřúhelnik $P Q R S$ tětivový. ŘEŠENí. Neché $O$ je střed kružnice opsané trojúhelníku $A B C$. Při označení podle obrázku 3 jsou úhly $P A O$ a $P D O$ pravé a velikost středového úhlu $A O D$ je dvojnásobkem velikosti př́slušného obvodového úhlu $A C D$. Ve čtyřúhelníku $A P D O$ je tedy $|\Varangle A P D|=180^{\circ}-2|\Varangle A C D|$. Analogicky $|\Varangle B R C|=180^{\circ}-2|\Varangle B A C|$. Čtyř́uhelník $P Q R S$ je tětivový, právě když $|\Varangle S P Q|+|\Varangle S R Q|=180^{\circ}, \mathrm{tj} .180^{\circ}-2|\Varangle A C D|+180^{\circ}-$ $-2|\Varangle B A C|=180^{\circ}$. Odtud vychází pro to, aby čtyřúhelník $P Q R S$ byl tětivový, nutná a postačující podmínka $|\Varangle A C D|+|\Varangle B A C|=90^{\circ}$. Při označení podle obr. 3 to znamená $|\Varangle A C E|+|\Varangle E A C|=90^{\circ}$, tj. tě̌̌nice $C D$ je kolmá na $A B$, jak je vidět z trojúhelníku $A C E$. Je tedy $|A C|=|B C|$, protože trojúhelníky $A E C$ a $B E C$ jsou shodné podle věty sus. ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_17_045b0e2a593b4c2fb99eg-4.jpg?height=577&width=737&top_left_y=281&top_left_x=672) Obr. 3 Závěr: Čtyřúhelník $P Q R S$ je tětivový jen tehdy, je-li trojúhelník $A B C$ rovnoramenný se základnou $A B$. ## Pomocné ÚLOHY: 1. Dokažte, že v trojúhelníku $A B C$ je těžnice $A S$ kolmá na stranu $B C$, právě když platí $|A B|=|A C|$. [Je-li $A S$ kolmá na $B C$, jsou trojúhelníky $A B S$ a $A C S$ shodné podle věty sus, a proto $|A B|=|A C|$. Platí-li naopak $|A B|=|A C|$, jsou trojúhelníky $A B S$ a $A C S$ shodné podle věty sss. Pak ale $|\Varangle A S B|=|\Varangle A S C|$ a $|\Varangle A S B|+|\Varangle A S C|=180^{\circ}$. Tedy $|\Varangle A S B|=|\Varangle A S C|=90^{\circ}$.] 2. Dokažte, že obrazy ortocentra trojúhelníku v osových souměrnostech podle jeho stran leží na kružnici tomuto trojúhelníku opsané. [Necht $P$ a $Q$ jsou po řadě paty výšek z vrcholů $A$ a $B$ v ostroúhlém trojúhelníku $A B C$, jehož ortocentrum je $V$. Ta tětiva kružnice opsané, která leží na stejné přímce jako úsečka $A V$, necht je $A D$. S využitím vlastností obvodových úhlů a podobnosti pravoúhlých trojúhelníků $A C P$ a $B C Q$ dostáváme: $|\Varangle V B P|=|\Varangle Q B C|=|\Varangle P A C|=|D A C|=|\Varangle D B C|=|\Varangle D B P|$. Trojúhelníky $V B P$ a $D B P$ se tedy shodují ve vnitřních úhlech při vrcholu $B$, v pravých úhlech při vrcholu $P$ a ve společné odvěsně $B P$. Jsou tedy shodné a bod $D$ je obrazem ortocentra $V$ v souměrnosti podle přímky $B C$. V případě, kdy je například úhel $B A C$ tupý, se postupuje podobně. Je však zapotřebí si uvědomit, že bod $D$ může ležet uvnitř poloroviny $A C B$, nebo uvnitř poloroviny opačné, nebo mohou být body $A, D$ totožné. Pro pravoúhlý trojúhelník $A B C$ je důkaz zřejmý.] 3. Úhlopříčky daného tětivového čtyřúhelníku $A B C D$ jsou navzájem kolmé a protínají se v bodě $E$. Označme $M$ průsečík kolmice z bodu $E$ na stranu $A B$ s protilehlou stranou $C D$. Určete poměr obsahů trojúhelníků $C M E$ a $M D E$. [44-B-II-4] 4. Určete všechny polynomy $P(x)$, které pro každé reálné čislo $x$ splňují rovnost $$ P(2 x)=8 P(x)+(x-2)^{2} . $$ ŘEŠENí. Stupeň polynomu $P$ je aspoň dva. Necht nejprve $P(x)=a x^{2}+b x+c$. Dosazením tohoto vyjádření do vztahu v zadání dostáváme $$ 4 a x^{2}+2 b x+c=(8 a+1) x^{2}+(8 b-4) x+8 c+4 . $$ Porovnáním koeficientů u stejných mocnin $x$ na levé a pravé straně dostaneme $4 a=$ $=8 a+1,2 b=8 b-4$ a $c=8 c+4$. Odtud $a=-\frac{1}{4}, b=\frac{2}{3}, c=-\frac{4}{7}$. Je-li dále stupeň $n$ polynomu $P$ větší než dva, zjistíme analogicky, že jeho člen $a_{n} x^{n}$ s nejvyšší mocninou $x$ splňuje vztah $2^{n} a_{n}=8 a_{n}$, tedy $n=3$, přičemž $a_{n} \neq 0$ je libovolné. Koeficienty mnohočlenu $P$ u mocnin $x^{2}, x^{1}$ a $x^{0}$ vyjdou stejně jako v předchozí situaci. Celkový závěr: $P(x)=a x^{3}-\frac{1}{4} x^{2}+\frac{2}{3} x-\frac{4}{7}$, kde $a$ je libovolné reálné číslo. POMOCNÉ ÚLOHY: 1. Metodou neurčitých koeficientů rozložte polynom $x^{4}+1$ na součin dvou kvadratických trojčlenů. 2. Metodou neurčitých koeficientů upravte výraz $\frac{4}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ na tvar $a+b \sqrt{2}+c \sqrt{3}+$ $+d \sqrt{6}$, kde $a, b, c, d$ jsou racionální čísla. [Obě úlohy viz M. Hejný: Teória vyučovania matematiky, SPN, Bratislava, 1990, str. 150.] 3. Sestrojte trojúhelník $A B C$ s obsahem $18 \mathrm{~cm}^{2}$ a následující vlastností: obvod každého pravoúhelníku $K L M N$, jehož vrcholy $K$, L leži na úsečce $B C$ a body $M, N$ po řadě na úsečkách $A C, A B$, je roven třem pětinám obvodu trojúhelníku $A B C$. ŘEŠENÍ. Uvažujme dva pravoúhelníky $K L M N, K_{1} L_{1} M_{1} N_{1}$ vepsané do trojúhelníku $A B C$ uvedeným způsobem. Necht $|K L|<$ $<\left|K_{1} L_{1}\right|$. Označme $Z$ průsečík rovnoběžky s $A C$ vedené bodem $N$ s úsečkou $N_{1} M_{1}, Q$ patu výšky z vrcholu $A$ na stranu $B C$ a $X, Y$ průsečíky hranice pravoúhelníku $K L M N$ s úsečkou $N_{1} M_{1}$ (obr.4). Obvody obou pravoúhelníků jsou si rovny, právě když $\left|N_{1} X\right|+\left|Y M_{1}\right|=|N X|$. To je ekvivalentní s podmínkou $|N X|=\left|N_{1} Z\right|$, nebot' $|X Z|=\left|Y M_{1}\right|$. Trojúhelníky $B C A, N_{1} Z N$ i $N M A$ si jsou podobné, proto $a=v_{a}$. A protože $S=a \cdot \frac{1}{2} v_{a}=18 \mathrm{~cm}^{2}$, plyne odtud rovnost $a=v_{a}=6 \mathrm{~cm}$. Obvod pravoúhelníku $K L M N$ je $2|N M|+$ $+2|K N|=2|A R|+2|R Q|=2 v_{a}=2 a=12 \mathrm{~cm}$. Obvod $2 s$ trojúhelníku $A B C$ je proto $\frac{5}{3} \cdot 12 \mathrm{~cm}=$ $=20 \mathrm{~cm}$. Odtud $b+c=2 s-a=14 \mathrm{~cm}$. ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_17_045b0e2a593b4c2fb99eg-5.jpg?height=646&width=612&top_left_y=1062&top_left_x=1212) Obr. 4 Máme tedy sestrojit trojúhelník $A B C$, je-li dáno $a, v_{a}, b+c$. Uvedeme několik postupů řešení. 1. možnost: Snadno vypočteme $s=10(\mathrm{~cm}), s-a=4, s-b=10-b, s-$ $-c=b-4$. Po dosazení do Heronova vzorce pro obsah trojúhelníku $A B C$ dostaneme $\sqrt{40 \cdot(10-b) \cdot(b-4)}=18$, což vede po úpravě na kvadratickou rovnici $10 b^{2}-140 b+$ $+481=0$. Vyřešením obdržíme $$ b=7+\frac{3}{\sqrt{10}}, \quad c=7-\frac{3}{\sqrt{10}}, \quad \text { nebo } \quad b=7-\frac{3}{\sqrt{10}}, \quad c=7+\frac{3}{\sqrt{10}} . $$ Obě řešení vyhovují a snadno je ze známých délek stran sestrojíme. Délku $d=3 / \sqrt{10}$ nalezneme eukleidovsky jako čtvrtou geometrickou úměrnou tak, že vztah přepíšeme na tvar $d: 1=3: \sqrt{10}$. Nejdřív ovšem sestrojíme $\sqrt{10}$ např. pomocí Eukleidovy věty o výšce. 2. možnost: Necht̉ $k(O, r)$ je kružnice vepsaná trojúhelníku $A B C$ a $T$ její bod dotyku se stranou $A C$ (obr.5). Pravoúhlý trojúhelník $A O T$ můžeme sestrojit, nebot známe délky jeho odvěsen $|A T|=x=s-a=4 \mathrm{~cm},|T O|=r=S / s=1,8 \mathrm{~cm}$, dále kružnici $k(O, r)$ a nad přeponou $A O$ ještě jeden pravoúhlý trojúhelník s odvěsnou $A E$ délky $v_{a}-r=4,2 \mathrm{~cm}$. (Tento trojúhelník zřejmě existuje - výpočtem délky přepony trojúhelníku $A O T$ pomocí Pythagorovy věty lze ověrit, že $|A O|>v_{a}-r$.) Úsečku $A E$ doplníme podle obrázku na úsečku $A Q$ délky $v_{a}$. Kolmice na $A Q$ v bodě $Q$ je přímka $t$. Její průsečíky s tečnami z bodu $A$ ke kružnici $k$ jsou hledané vrcholy $B, C$. Úloha má dvě řešení. Vzhledem k jednoznačně sestrojenému trojúhelníku $A O T$ nalezneme sice konstrukcí pomocí Thaletovy věty dva trojúhelníky $A O E$ a $A O E_{1}$, každý z výsledných trojúhelníků $A B_{k} C_{k}(k=1,2,3,4)$ se však v souhlasně označených prvcích shoduje $\mathrm{s}$ některým $\mathrm{z}$ překrývajících se trojúhelníků $A B_{1} C_{1}, A B_{2} C_{2}$ na obr. 5 . ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_17_045b0e2a593b4c2fb99eg-6.jpg?height=645&width=745&top_left_y=908&top_left_x=468) Obr. 5 ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_17_045b0e2a593b4c2fb99eg-6.jpg?height=894&width=442&top_left_y=651&top_left_x=1362) Obr. 6 3. možnost: Úsečka $C U$ na obr. 6 má délku $b+c$. Trojúhelník $U B A$ je tedy rovnoramenný se základnou $U B$, a proto $|\Varangle B U C|=\frac{1}{2} \alpha$. Tento úhel umíme sestrojit podle předchozího postupu, nebot je to úhel $O A T$ na obr. 5. Sestrojíme tedy nejprve trojúhelník $C U B$, ve kterém známe $|B C|,|C U|$ a $|\Varangle C U B|$. Bod $A$ je pak průsečík úsečky $C U$ s osou strany $B U$. Konstrukce vede opět na dvě rešení. PomOCNÁ ÚLOHA: V trojúhelníku $A B C$ známe výšku $v$ z vrcholu $A$ a délku strany $B C$. Určete obvod obdélníku $K L M N$, leží-li jeho strana $K L$ na úsečce $B C$, vrcholy $M, N$ na stranách $A C, A B$ a platí $$ |K L|:|L M|=3: 2 . $$ $[10 a v /(2 a+3 v) \cdot]$