# 51. ročník matematické olympiády 

## Úlohy II. kola kategorie C

1. Určete počet dvojic $(a, b)$ přirozených čísel $(1 \leqq a<b \leqq 86)$, pro které je součin $a b$ dělitelný třemi.
2. Necht́ kružnice sestrojené nad rameny lichoběžníku jako nad průměry mají vnější dotyk. Dokažte, že dotykový bod těchto kružnic leží na ose úhlu, který obě ramena lichoběžníku svírají.
3. Najděte všechna celá čísla $x$, pro která jsou obě čísla $(x-3)^{2}-2,(x-7)^{2}+1$ prvočísla.
4. V rovině jsou dány body $C, V, U$ takové, že $|C V|=3 \mathrm{~cm},|V U|=3,5 \mathrm{~cm}$ a $|C U|=$ $=4,5 \mathrm{~cm}$. Sestrojte ostroúhlý trojúhelník $A B C$ tak, aby byl $V$ průsečík jeho výšek a bod $U$ byl souměrně sdružený $\mathrm{s}$ bodem $A$ podle středu kružnice opsané trojúhelníku $A B C$.

II. kolo kategorie C se koná

v úterý 26. března 2002

tak, aby začalo dopoledne a aby soutěžící měli na řešení úloh 4 hodiny čistého času. Za každou úlohu může soutěžící získat 6 bodů, úspěšným řešitelem je ten žák, který získá 10 bodů nebo více. Tyto údaje se žákům sdělí před zahájením soutěže.

1. Nejprve spočteme, kolik je všech dvojic čísel takových, že $1 \leqq a<b \leqq 86$, a pak od tohoto počtu odečteme počet těch dvojic, pro něž součin $a b$ není třemi dělitelný.

Označme C množinu všech přirozených čísel nejvýše rovných 86 ,

$$
C=\{1,2, \ldots, 86\} .
$$

Množina $C$ má celkem 86 prvků. Č́slo $a$ z ní můžeme vybrat 86 způsoby a ke každému takto vybranému číslu $a$ existuje 85 čísel $b \in \mathrm{C}$ různých od $a$. Proto počet všech uspořádaných dvojic $(a, b)$ přirozených čísel $(1 \leqq a \neq b \leqq 86)$ je roven $86 \cdot 85$. Tuto množinu můžeme rozdělit na páry uspořádaných dvojic $(a, b)$ a $(b, a)$, proto právě pro polovinu dvojic platí $a<b$ (druhou polovinu tvoří dvojice, v nichž $a>b$ ). Počet všech dvojic $(a, b)$ přirozených čísel takových, že $1 \leqq a<b \leqq 86$, je tedy roven $\frac{1}{2} \cdot 86 \cdot 85=3655$. (Je to zároveň počet všech neuspořádaných dvojic přirozených čísel z množiny C, což je kombinační číslo $\left(\begin{array}{c}86 \\ 2\end{array}\right)=3655$.)

Součin $a b$ je dělitelný třemi, právě když je aspoň jeden z činitelů $a, b$ dělitelný třemi. Protože mezi čísly z množiny C je právě 28 čísel dělitelných třemi, je v C právě $86-28=$ $=58$ čísel, jež nejsou dělitelná třemi. Celkem tedy můžeme sestavit $\frac{1}{2} \cdot 58 \cdot 57=1653$ dvojic různých přirozených čísel $(a, b)$ takových, že $1 \leqq a<b \leqq 86$, a přitom součin $a b$ není dělitelný třemi.

Počet všech dvojic $(a, b)$ přirozených čísel $(1 \leqq a<b \leqq 86)$, pro které je součin $a b$ dělitelný třemi, je roven $3655-1653=2002$.

Jiné řešení. Označme A, resp. B množinu všech těch dvojic $(a, b)(1 \leqq a<b \leqq 86)$, ve kterých je číslo $a$, resp. $b$ dělitelné třemi. Mezi čísly v množině $C=\{1,2, \ldots, 86\}$ existuje 28 čísel dělitelných třemi (jsou to čísla $3,6,9, \ldots, 84$ ). Ke každému číslu $a \in \mathrm{C}$ existuje $86-a$ čísel $b \in \mathrm{C}$ takových, že $a<b$. Proto počet všech prvkư množiny A je roven

$$
\begin{aligned}
(86- & 3)+(86-6)+(86-9)+\cdots+(86-84)= \\
& =28 \cdot 86-3 \cdot(1+2+3+\cdots+28)= \\
& =28 \cdot 86-3 \cdot \frac{1}{2}((1+28)+(2+27)+(3+26)+\cdots+(28+1))= \\
& =28 \cdot 86-3 \cdot \frac{1}{2} \cdot 29 \cdot 28=2408-1218=1190 .
\end{aligned}
$$

Ke každému číslu $b \in \mathrm{C}$ existuje $b-1$ čísel $a \in \mathrm{C}$ takových, že $a<b$. Proto počet všech prvků množiny $B$ je roven

$$
\begin{aligned}
(3-1)+(6-1)+(9-1)+\cdots+(84-1) & =3 \cdot(1+2+\cdots+28)-28= \\
& =1218-28=1190 .
\end{aligned}
$$

Průnik množin A a B obsahuje takové dvojice čísel $(a, b)$, v nichž jsou obě složky $a$ i $b$ dělitelné třemi, přičemž $a<b$. Těchto dvojic je podle úvahy z úvodního řešení $\frac{1}{2} \cdot 28 \cdot 27=378$. Počet prvků sjednocení množin A a B, tj. počet všech dvojic $(a, b)$ přirozených čísel $(1 \leqq a<b \leqq 86)$, pro které je součin $a b$ dělitelný třemi, je roven součtu prvků množin A a B zmenšený o počet prvků jejich průniku, tj. $1190+1190-378=2002$. Za úplné řešení je 6 bodů.

2. Necht̉ $A B C D$ je takový lichoběžník se základnami $A B$ a $C D$ (obr. 1). Označme $P$ střed ramene $A D, Q$ střed ramene $B C$ a $I$ dotykový bod kružnic sestrojených nad

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_17_8524beeda8712b5accf7g-3.jpg?height=591&width=978&top_left_y=217&top_left_x=541)

Obr. 1

rameny jako průměry. Bod $P$ je středem kružnice sestrojené nad ramenem $A D$, proto jsou úsečky $P A$ a $P I$ shodné a $A P I$ je rovnoramenný trojúhelník se základnou $A I$. Odtud plyne, že úhly $P A I$ a $A I P$ jsou shodné. Protože bod dotyku dvou kružnic leží na středné těchto kružnic, je $I$ bodem střední př̌ćcy $P Q$ lichoběžníku $A B C D$, která je rovnoběžná s jeho základnami. Úhly $P I A$ a $I A B$ jsou střídavé a mají proto stejnou velikost. Tedy úhly $P A I$ a $I A B$ jsou shodné a $A I$ je osou úhlu $D A B$. Bod $I$ leží na ose tohoto úhlu, proto má stejnou vzdálenost od jeho ramen $A D$ a $A B$. Podobně se ukáže, že $I B$ je osou úhlu $A B C$ a bod $I$ má stejnou vzdálenost od přímek $A B$ a $B C$. Odtud již plyne, že bod $I$ má stejnou vzdálenost od ramen $A D$ a $B C$, a leží proto na ose úhlu, který tato ramena svírají.

Za úplné řešení udělte 6 bodů. Za odhalení faktu, že $I$ je bodem střední příčky, udělte 2 body.

3. Obě č́sla 3 a 7 jsou lichá, proto pro libovolné celé číslo $x$ mají čísla $x-3$ a $x-7$ (a tedy i čísla $(x-3)^{2}$ a $\left.(x-7)^{2}\right)$ stejnou paritu. Čísla -2 a 1 mají různou paritu, proto čísla $(x-3)^{2}-2,(x-7)^{2}+1$ mají různou paritu, jedno z nich je tedy sudé. Protože jediné sudé prvočíslo je číslo 2 , je jedno z čísel $(x-3)^{2}-2,(x-7)^{2}+1$ rovno 2 .

a) Necht $(x-3)^{2}-2=2$. Potom $(x-3)^{2}=4$, tj. $x=5$ nebo $x=1$. Pro $x=5$ je hodnota výrazu $(x-7)^{2}+1$ rovna 5 , což je prvočíslo, pro $x=1$ je hodnota tohoto výrazu rovna 37 , což je také prvočíslo.

b) Necht $(x-7)^{2}+1=2$. Potom $(x-7)^{2}=1$, tj. $x=8$ nebo $x=6$. Pro $x=8$ je hodnota výrazu $(x-3)^{2}-2$ rovna 23 , což je prvočíslo, pro $x=6$ je hodnota tohoto výrazu rovna 7 , což je také prvočíslo.

Hledanými celými čísly $x$ jsou všechny prvky množiny $\{1,5,6,8\}$.

Za úplné řešení udělte 6 bodů. Za poznatek, že zkoumaná čísla mají různou paritu, udělte 4 body, za diskusi každé z možností a) a b) udělte po jednom bodu.

4. Necht̉ $A B C$ je ostroúhlý trojúhelník, $S$ střed kružnice $k$ jemu opsané a $V$ průsečík jeho výšek (obr. 2). Necht̃ $U$ je bod souměrně sdružený s bodem $A$ podle $S$. Bod $U$ leží na kružnici $k$ uvnitř toho oblouku $B C$, který neobsahuje bod $A$. Úsečka $A U$ je průměrem kružnice $k$, proto podle Thaletovy věty jsou úhly $U C A$ a $U B A$ pravé. Jelikož výška $B V$ je kolmá na stranu $A C$ trojúhelníku $A B C$, jsou úsečky $B V$ a $U C$ rovnoběžné. Z podobného důvodu jsou rovnoběžné i úsečky $C V$ a $U B$, takže $B U C V$ je rovnoběžník. Úsečky $B C$ a $U V$ mají tudíž společný střed.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_17_8524beeda8712b5accf7g-4.jpg?height=777&width=805&top_left_y=468&top_left_x=627)

Obr. 2

Odtud již plyne konstrukce. Sestrojíme bod $B$ souměrně sdružený s bodem $C$ podle středu úsečky $U V$. Bod $A$ pak určíme jako průsečík kolmice k přímce $B U$ procházející bodem $B$ a kolmice k př́mce $C U$ procházející bodem $C$.

Ukažme nyní, že takto sestrojený trojúhelník $A B C$ má všechny požadované vlastnosti. Bod $B$ je sestrojen tak, že platí $B V \| U C$ a $C V \| U B$. Bod $A$ je sestrojen tak, že platí $A B \perp U B$ a $A C \perp U C$, což znamená, že body $B$ a $C$ leží na Thaletově kružnici nad průměrem $A U$. Body $A$ a $U$ jsou tudíž souměrně sdružené podle středu této kružnice, která je opsána trojúhelníku $A B C$. Ze vztahů $A C \perp U C$ a $B V \| U C$ plyne $B V \perp A C$, takže bod $V$ leží na výšce z vrcholu $B$ ke straně $A C$ sestrojeného trojúhelníku. Podobně ze vztahů $A B \perp U B$ a $C V \| U B$ plyne, že bod $V$ leží na výšce z vrcholu $C$ ke straně $A B$. Bod $V$ je tedy průsečík výšek trojúhelníku $A B C$.

Úloha má za daných podmínek právě jedno řešení.

Za úplné řešení včetně konstrukce udělte 6 bodů. Za důkaz toho, že $C V B U$ je rovnoběžník, udělte 3 body, 2 body za popis konstrukce a 1 bod za důkaz její správnosti.