# SCUOLA NORMALE SUPERIORE DI PISA
Progetto Olimpiadi di Matematica 1997
GARA di SECONDO LIVELLO
1) Non sfogliare questo fascicoletto finché l'insegnante non ti dice di farlo. NON E AMMESSO L'UTILIZZO D1 CALCOLATRICI TASCABILI.
2) La prova consiste di 17 problemi; i primi 15 sono a risposta multipla. Ogni domanda è seguita da cinque risposte indicate con le lettere A, B, C, D, E.
3) Ciascuna domanda ammette una sola risposta esatta. La lettera corrispondente alla risposta scelta dovrà, per ogni quesito, essere riportata nella relativa finestrella della griglia sottostante. Ogni risposta giusta vale 5 punti, ogni risposta errata vale 0 punti e ogni problema lasciato senza risposta vale 1 punto. Non sono ammesse cancellature o correzioni sulla griglia.
4) Gli ultimi due problemi richiedono invece una dimostrazione. Ti invitiamo a formulare la soluzione in modo chiaro e conciso usufruendo dello spazio riservato e consegnando soltanto i fogli di questo fascicoletto. Ciascuno di questi problemi verrà valutato con un punteggio da 0 a 15.
5) Quando l'insegnante dà il via, comincia a lavorare. Hai 3 ore di tempo. Buon lavoro!
Da riempirsi da parte dello studente
NOME:
COGNOME:
INDIRIZZO: CITTA:
SCUOLA:
CITTA:
Risposte ai primi 15 quesiti
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $\square$ | $\square$ | $\square$ | $\square$ | | | | | | | | | | | |
| $\square$ | $\square$ | $\square$ | $\square$ | $\square$ | | | | | | | | | | |
| $\square$ | | | | | | | | | | | | | | |
PUNTEGGIO (da riempirsi a cura dell'insegnante)
Numero delle risposte esatte
Numero degli esercizi senza risposta
Valutazione esercizio n. 16
Valutazione esercizio n. 17
PUNTEGGIO TOTALE
Si ringraziano per la collaborazione AGIP PETROLI, INTEL
1. Vi sono cinque sagome di cartoncino identiche che sono bianche da un lato e nere dall'altro lato. Poste su un tavolo esse si trovano nelle posizioni in figura, quattro mostrano la faccia nera e una quella bianca. Qual è la sagoma bianca?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
2. Un antiquario ha comprato una coppia di comodini per 1 milione e mezzo. Ne vende uno ad Aldo e uno a Berto per un milione l'uno.
Viene Carlo che li aveva visti in vetrina, ed è disposto ad acquistare la coppia per 3 milioni e mezzo.
L'antiquario riesce a riacquistare i comodini da Aldo e Berto, pagandoli 1 milione e mezzo l'uno e li rivende a Carlo. Alla fine dei conti I'antiquario:
(A) Ha perso mezzo milione
(B) Ha fatto pari
(C) Ha guadagnato mezzo milione
(D) Ha guadagnato un milione
(E) Nessuna delle precedenti
3. Una sbarra è costituita da un cilindro interno di acciaio di raggio $1 \mathrm{~cm}$ rivestito da uno strato omogeneo di gomma leggera di spessore costante. Sapendo che invertendo i materiali il peso della sbarra non cambierebbe, determinare lo spessore del rivestimento.
(A) $1 \mathrm{~cm}$
(B) $\sqrt{2} \mathrm{~cm}$
(C) $(\sqrt{2}-1) \mathrm{cm}$
(D) Dipende dalla lunghezza della sbarra
(E) Nessuna delle precedenti
4. 100 delegati sono riuniti in congresso. Non tutti portano la cravatta, ma si sa che comunque se ne scelgano due, almeno uno dei due la porta. Quanti sono i congressisti con cravatta?
(A) Almeno 2, ma possono essere meno di 50
(B) Esattamente 50
(C) Più di 50, ma non si può dire esattamente quanti
(D) La situazione descritta è impossible
(E) Nessuna delle precedenti
5. Qual è la cifra delle unità del numero $2^{3^{4}}$ ?
(A) 1
(B) 2
(C) 4
(D) 6
(E) 8
6. Una sfera di raggio $r=15 \mathbf{~ c m}$ è appoggiata su due binari distanti fra loro $24 \mathrm{~cm}$ come in figura. Se la sfera fa una rotazione completa, di quanto avanza sui binari?
(A) $24 \mathrm{~cm}$
(B) $30 \mathrm{~cm}$
(C) $15 \pi \mathrm{cm}$
(D) $18 \pi \mathrm{cm}$
(E) $30 \pi \mathrm{cm}$
7. Quale fra questi numeri non è il prodotto di un quadrato perfetto per un cubo perfetto?
(A) 900
(B) 961
(C) 968
(D) 972
(E) 980
8. Fissiamo un punto $O$ nell'intersezione di due linee di un foglio a quadretti e indichiamo le quattro direzioni parallele alle linee come Nord, Sud, Est, Ovest (il Nord in alto). Muoviamoci, partendo da O di un quadretto verso Est, poi due verso Nord, tre verso Ovest, quattro verso Sud, cinque verso Est e così via. Dopo 1997 passi, in che punto ci troviamo rispetto al punto iniziale O?
(A) 1996 quadretti a Nord di O
(B) 998 quadretti a Sud e 999 quadretti a Est di O
(C) 999 quadretti a Ovest e 998 quadretti a Nord di O
(D) 999 quadretti a Nord e 999 quadretti a Ovest di O
(E) 998 quadretti a Est e 998 quadretti a Sud di O
9. Tre paia di calzini, uno rosso, uno blu e uno verde, sono stesi in fila. Sapendo che due calzini dello stesso colore non sono vicini uno all'altro, quante successioni di colori si possono avere?
(A) 15
(B) 24
(C) 30
(D) 36
(E) Nessuna delle precedenti
10. Quale delle seguenti disequazioni ha come soluzione l'insieme disegnato in figura?
(A) $x^{6}+y^{6} \leq 64$
(B) $|2 x|+|y| \leq 4$
(C) $|x+y|+|x-y| \leq 4$
(D) $|y|+|x+1|+|x-1| \leq 4$
(E) $|x|+|| 2 y|-| x \mid \leq 4$
11. Nella figura a fianco il raggio dei cerchi piccoli è 1. Quanto vale l'area della figura tratteggiata?
(A) $\frac{\pi}{4}$
(B) $\frac{\sqrt{3}}{2}$
(C) $\frac{5}{6} \pi-\sqrt{3}$
(D) $\frac{\pi}{3}$
(E) Nessuna delle risposte precedenti
12. Qual è il massimo numero intero positivo che ha lo stesso numero di cifre in base 10 e in base 16 ? (Le risposte sono espresse in base 10)
(A) 1024
(B) 99'999
(c) 999 "999
(D) 1“600”000
(E) Nessuna delle precedenti
13. Tre amici possiedono ciascuno tre gettoni.
Dopo ogni partita il vincitore riceve un gettone da ognuno degli altri due amici.
Qual è la probabilità che il gioco non si debba interrompere entro cinque partite poiché uno dei giocatori rimane senza gettoni?
(A) $\frac{2}{9}$
(B) $\frac{1}{6}$
(C) $\frac{1}{3}$
(D) $\frac{1}{2}$
(E) $\frac{2}{3}$
14. Sia dato un quadrato $A B C D$ di lato unitario e siano $M, N$ due punti rispettivamente sui lati $A B$ eAD tali che AM =AN. Quanto può valere, al massimo, l'area del quadrilatero CDNM?
(A) $\frac{1}{2}$
(B) $\frac{9}{16}$
(C) $\frac{19}{32}$
(D) $\frac{5}{8}$
(E) $\frac{2}{3}$
15. Siano a, b, c tre numeri positivi dispari distinti e minori di 100. Quanto può essere, al massimo, il loro massimo comune divisore?
(A) 7
(B) 11
(c) 19
(D) 25
(E) Nessuna delle risposte precedenti
In un quadrilatero convesso $A B C D$ i lati $A B, B C, C D$ sono uguali. Inol tre $A C=B D=A D$, Quanto misura I'angolo in D?
$\overline{\text { SOLUZIONE }}$
Dato un numero primo $p$, determinare tutte le coppie ordinate di numeri naturali $(m, n)$ che verificano l'equazione:
$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{p}$
SOLUZIONE