# JMMO 2001 

1. Во квадратна $3 \times 3$ таблица запишани се девет природни броеви такви што збирот на броевите запишани во секој ред, во секоја колона и на секоја дијагонали е еднаков на $m$. Докажи дека $3 \mid m$.

Решение. Нека броевите се $a_{i}, b_{i}, c_{i}, i=1,2,3$ (цртеж десно). Од условот на заадачата последователно добиваме:

$$
\begin{aligned}
& \left(a_{1}+b_{2}+c_{3}\right)+\left(a_{2}+b_{2}+c_{2}\right)+\left(a_{3}+b_{2}+c_{1}\right)=3 m \\
& \left(a_{1}+a_{2}+a_{3}\right)+3 b_{2}+\left(c_{3}+c_{2}+c_{1}\right)=3 m \\
& m+3 b_{2}+m=3 m \\
& 3 b_{2}=m
\end{aligned}
$$

од каде следува $3 \mid \mathrm{m}$.

2. Докажи дека во правилен деветаголник должината на страната е еднаква на разликата на должините на најдолгата и најкратката дијагонала.

Решение. Нека $A, B, C, D, E$ се темиња на правилен деветаголник означени како на цртежот десно. Тогаш $\overline{A B}=d_{2}$ е најдолгата дијагонала, $\overline{E C}=d_{1}$ е најкратката дијагонала и $\overline{A E}=a$ е страната на деветаголникот. Имаме

$\measuredangle A O E=\frac{360^{\circ}}{9}=40^{\circ}, \measuredangle O A E=\frac{180^{\circ}-40^{\circ}}{2}=70^{\circ}$,

$\measuredangle O A B=\frac{180^{\circ}-4 \cdot 40^{\circ}}{2}=10^{\circ}, \measuredangle B A E=70^{\circ}-10^{\circ}=60^{\circ}$,

$\measuredangle O E C=\frac{180^{\circ}-2 \cdot 40^{\circ}}{2}=50^{\circ}, \measuredangle A E C=70^{\circ}+50^{\circ}=120^{\circ}$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_25c7a0f766bd2b9aae56g-1.jpg?height=300&width=310&top_left_y=1328&top_left_x=1172)

Бидејќи $\measuredangle B A E+\not A E C=180^{\circ}$ и тоа се соседни агли на трансферзала добиваме $A B \| E C$. Да повлечеме права $p$ низ точката $C$ која е паралелна со правата $A E$ и нека $p \cap A B=S$. Според тоа, $\angle B S C=60^{\circ}$ и како $\angle A B C=60^{\circ}$, залучуваме дека $\triangle S B C$ е рамностран. Значи,

$$
a=\overline{B C}=\overline{B S}=\overline{A B}-\overline{A S}=\overline{A B}-\overline{E C}=d_{2}-d_{1}
$$

што и требаше да се докаже,

3. Рамностран триаголник со страна $a$ е впишан во кружница. На кружницата е избрана точка $M$. Определи го збирот на квадратите на
растојанијата од точката $M$ до темињата на триаголникот.

Решение. Нека $M$ лежи на лакот $B C$ и нека $D$ е точка од отсечката $A M$ таква што $\overline{M B}=\overline{M D}$. Имаме $\angle A C B=\measuredangle A M B=60^{\circ}$, како периферни агли над ист лак, па затоа $\triangle D B M$ е рамностран. Од $\measuredangle B A D=\measuredangle B C M$ (периферни агли над ист лак), $\overline{A B}=\overline{C B}$ и $\overline{B D}=\overline{B M}$ следува $\triangle A B D \cong \triangle C B M$, па

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_25c7a0f766bd2b9aae56g-2.jpg?height=305&width=337&top_left_y=362&top_left_x=1163)
затоа $\overline{A D}=\overline{C M}$. Значи,

$$
\overline{A M}=\overline{A D}+\overline{D M}=\overline{C M}+\overline{M B}
$$

Нека $E$ е подножјето на висината во рамностраниот триаголник $\triangle D B M$ и да означиме $\overline{A D}=x, \overline{A D}=\overline{D E}=y$. Тогаш $h=\overline{B E}=y \sqrt{3}$ и како триаголникот $A B E$ е правоаголен добиваме

$$
a^{2}=(x+y)^{2}+(y \sqrt{3})^{2}=x^{2}+2 x y+4 y^{2}
$$

Според тоа,

$$
\overline{A M}^{2}+\overline{B M}^{2}+\overline{C M}^{2}=(x+2 y)^{2}+(2 y)^{2}+x^{2}=2\left(x^{2}+2 x y+4 y^{2}\right)=2 a^{2}
$$

4. Определи го најголемот природен број $n$ таков што $n^{2}+2002 n$ е точен квадрат на некој природен број.

Решение. Нека $n^{2}+2002 n=a^{2}, a \in \mathbb{N}$. Тогаш $a=n+k$ за некој $k \in \mathbb{N}$, па затоа

$$
\begin{aligned}
& n^{2}+2002 n=(n+k)^{2} \\
& 2002 n-2 n k=k^{2} \\
& n=\frac{k^{2}}{2002-2 k}=\frac{k^{2}}{2(1001-k)}
\end{aligned}
$$

Од последното равенство следува дека $k=2 m$ за некој $m \in \mathbb{N}$, што значи $n=\frac{2 m^{2}}{1001-2 m}$. Јасно, $1001-2 m>0$, па затоа $m \leq 500$. Сега, најголемиот природен број $n$ се добива кога во $n=\frac{2 m^{2}}{1001-2 m}$ имаме најголен броител и најмал именител, а тоа е за $m=500$. Конечно, бараниот број e $n=\frac{2 \cdot 500^{2}}{1001-2 \cdot 500}=500000$.

5. Нека $a$ и $b$ се реални броеви такви што

$$
a^{3}-3 a b^{2}=44 \text { и } b^{3}-3 a^{2} b=8
$$

Определи го $a^{2}+b^{2}$.

Решение. Имаме:

$$
\begin{aligned}
\left(a^{2}+b^{2}\right)^{3} & =a^{6}+3 a^{4} b^{2}+3 a^{2} b^{4}+b^{6} \\
& =a^{6}-6 a^{4} b^{2}+9 a^{2} b^{4}+b^{6}-6 a^{2} b^{4}+9 a^{4} b^{2} \\
& =\left(a^{3}-3 a b^{2}\right)^{2}+\left(b^{3}-3 a^{2} b\right)^{2} \\
& =44^{2}+8^{2}=2000
\end{aligned}
$$

па затоа

$$
a^{2}+b^{2}=\sqrt[3]{2000}=10 \sqrt[3]{2}
$$