# JMMO 2008 

1. Даден е $3 \times 3$ квадрат поделен на 9 квадратчиња и во секое квадратче е запишан цел број, така што збировите на елементите во секоја редица, секоја колона и секоја дијагонала се еднакви. Докажи дека овој збир не може да биде еднаков на 2008.

Решение. Нека збирот на секоја редица и колона е $m$. Тогаш еден магичен квадрат мора да го има следниов облик:

| $x$ | $y$ | $m-x-y$ |
| :--- | :--- | :--- |
| $a$ | $b$ | $m-a-b$ |
| $m-x-a$ | $m-b-y$ | $x+a+b+y-m$ |

Бидејќи и сумата на елементите на дијагоналите мора да е $m$, добиваме:

$$
\left\{\begin{array}{l}
x+b+x+a+b+y-m=m \\
m-x-a+b+m-x-y=m
\end{array}\right.
$$

т.е.

$$
\left\{\begin{array}{l}
2 x+a+y+2 b=2 m \\
2 x+a+y-b=m
\end{array}\right.
$$

Со одземање на равенствата, се добива:

$$
2 b+b=2 m-m
$$

односно $3 b=m$, од каде $3 \mid m$. Но, 3 не е делител на 2008 , од каде добиваме дека 2008 не може да биде бараната сума.

2. Нека $S$ е подмножество од $\{1,2, \ldots, 9\}$, такво што збировите на секои два елементи од $S$ се различни. На пример множеството $\{1,2,3,5\}$ има такво својство, но множеството $\{1,2,3,4,5\}$ не, бидејќи $\{2,3\}$ и $\{1,4\}$ имаат збир 5 . Колку најмногу елементи може да содржи $S$ ?

Решение. Лесно се проверува дека $\{1,2,3,5,8\}$ го задоволува условот на задачата.

Ќе докажеме дека $S$ не може да содржи повеќе од 5 елементи.

Нека $S$ содржи барем шест елементи. Тогаш најмалиот можен збир на паровите е 3 , а најголемиот $8+9=17$, т.е. можни збирови се

$$
3,4,5, \ldots, 17
$$

и нив ги има 15. Од друга страна имаме најмалку $5+4+3+2+1=15$
различни парови. Односно, точно сите збирови од (*) се јавуваат по еднаш. Последното значи дека мора 1,2 и 8,9 да се во $S$. Но тогаш $1+9=2+8$. што противречи на условот.

Значи максималниот број елементи што може да ги содржи $S$ е 5 .

3. Даден е остроаголен триаголник $A B C$. Точката $D$ е подножје на висината спуштена од $A$ кон страната $B C$. Точката $E$ лежи на отсечката $A D$ и при тоа важи $\frac{\overline{A E}}{\overline{E D}}=\frac{\overline{C D}}{\overline{D D}}$. Точката $F$ е подножје на нормалата повлечена од точката $D$ кон правата $B E$. Докажи дека $\angle A F C=90^{\circ}$.

Решение. Нека $P$ е точка таква што четириаголникот $A D C P$ е правоаголник.

Тогаш $\frac{\overline{A E}}{\overline{E D}}=\frac{\overline{C D}}{\overline{D B}}=\frac{\overline{A P}}{\overline{D B}}$. Според тоа, точките $B, E$ и $P$ се колинеарни.(Зошто?). Затоа $\angle D F P=90^{\circ}$ и бидејќи $\angle D C P=90^{\circ}$, добиваме дека $F, D, C, P$ лежат на иста

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_644bbd209bda53082ed4g-2.jpg?height=322&width=428&top_left_y=805&top_left_x=1031)
кружница, т.е кружницата опишана околу правоаголникот $A D C P$. Конечно $\angle A F C=90^{\circ}$, како агол над дијаметар.

4. Нека $a$ и $b$ се природни броеви поголеми од 2. Докажи дека постои природен број $k$ и конечна низа $n_{1}, n_{2}, \ldots, n_{k}$ од природни броеви, такви што $n_{1}=a, n_{k}=b$, и $\left(n_{i}+n_{i+1}\right) \mid n_{i} n_{i+1}, \forall i=1, \ldots, k$.

Решение. Пишуваме $a \leftrightarrow b$, ако постои бараната низа. Лесно се гледа дека " $\leftrightarrow$ "е релација за еквиваленција.

Да забележиме дека за секој $n, n \geq 3$, важи $n \leftrightarrow 2 n$, и бараната низа е

$$
n_{1}=n, n_{2}=n(n-1), n_{3}=n(n-1)(n-2), n_{4}=n(n-2), n_{5}=2 n
$$

За природен број $n, n \geq 4, n^{\prime}=(n-1)(n-2) \geq 3$, па следува

$$
n^{\prime} \leftrightarrow 2 n^{\prime}
$$

За $n \geq 4$, имаме:

$$
\begin{aligned}
& n_{1}=n, n_{2}=n(n-1), n_{3}=n(n-1)(n-2), n_{4}=n(n-1)(n-2)(n-3) \\
& n_{5}=2(n-1)(n-2)=2 n^{\prime}
\end{aligned}
$$

т.е.

$$
n \leftrightarrow 2 n^{\prime}
$$

и:

$$
n_{1}^{\prime}=n^{\prime}=(n-1)(n-2), n_{2}^{\prime}=n-1
$$

т.е.

$$
n^{\prime} \leftrightarrow n-1
$$

Сега, од (1), (2), (3) добиваме:

$$
n \leftrightarrow 2 n^{\prime}, 2 n^{\prime} \leftrightarrow n^{\prime}, \quad n^{\prime} \leftrightarrow n-1
$$

па од транзитивност, добиваме

$$
n \leftrightarrow n-1, \text { за секој природен број } n, n \geq 4
$$

односно, заради симетричност

$$
n \leftrightarrow n+1, \text { за секој природен број } n, n \geq 3
$$

Одовде, лесно може секои два природни $a$ и $b$, да се поврзат со оваа релација, од каде добиваме дека бараното тврдење важи.