# JMMO 1998 

1. Низ темето $C$ на паралелограмот $A B C D$ е повлечена права која полуправите $A B$ и $A D$ ги сече во точките $K$ и $L$ соодветно. Изрази ја плоштината $s$ на паралелограмот $A B C D$ преку плоштините $p$ и $q$ на триаголниците BKC и $D C L$.

Решение. Соодветните агли на триаголниците BKC и $D C L$ се еднакви, па затоа $\triangle B K C \sim \triangle D C L$. Според тоа,

$$
h_{1}: h_{2}=\overline{B K}: \overline{D C}
$$

т.е. $h_{1} \cdot \overline{D C}=h_{2} \cdot \overline{B K}$. Ако последното равенство го помножиме со $h_{1} \cdot \overline{D C}$ и искористиме дека

$$
h_{1} \cdot \overline{D C}=s, h_{1} \cdot \overline{B K}=2 p, h_{2} \cdot \overline{D C}=2 q
$$

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_e63ee82c9277009fa2feg-1.jpg?height=473&width=485&top_left_y=566&top_left_x=995)
добиваме

$$
s^{2}=\left(h_{1} \cdot \overline{D C}\right)^{2}=\left(h_{1} \cdot \overline{D C}\right) \cdot\left(h_{2} \cdot \overline{B K}\right)=\left(h_{1} \cdot \overline{B K}\right) \cdot\left(h_{2} \cdot \overline{D C}\right)=4 p q
$$

т.e. $s=2 \sqrt{p q}$.

2. Определи ги сите прости броеви кои истовремено може да се претстават како збир на два прости броја и како разлика на два прости броја. Решение. Нека $p$ е прост број кој истовремено може да се претстави како збир и како разлика на два прости броја. Од тоа што $p$ е збир на два прости броја следува $p>2$, т.е. $p$ е непарен број. Сега, од тоа што $p$ е збир на два прости броја и е непарен број следува дека еден од собирците во претставувањето е бројот 2. Нека $p=q+2$, каде $q$ е прост број. Аналогно се докажува дека $p=r-2$, каде $r$ е прост број. Според тоа, броевите $p-2, p, p+2$ се прости. Броевите $p-2, p, p+2$ се три последователни непарни броја, па затоа еден од нив е делив со 3 и како тие се прости броеви заклучуваме дека еден од нив е еднаков на 3. Јасно, $p-2=3$, од каде следува $p=5$.
3. Дали може десет реални броја да се запишат во кругчињата на фигурата прикажана на цртежот десно така што збирот на броевите за-

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_e63ee82c9277009fa2feg-1.jpg?height=334&width=389&top_left_y=1914&top_left_x=1094)
пишани во темињата на секој осенчен триаголник е еднаков на 1997, а збирот на броевите запишани во темињата на секој бел триаголник е еднаков на 1998:

Решение. Нека претпоставиме дека постојат десет броеви кои го задоволуваат условот на задачата. Збирот на броевите запишаи во темињата на централниот шестаголник да го означиме со $s$, а бројот запишан во во централното кругче да го означиме со $a$. Тогаш збирот на броевите запишани во трите осенчени триаголници на шестаголникот е еднаков на $s+3 a$, а исто така и збирот на броевите запишани во темињата на трите бели триаголници е еднакв на $s+3 a$. Затоа, $s+3 a=3 \cdot 1997$ и $s+3 a=3 \cdot 1998$, што е противречност. Конечно од добиената противречност следува дека не постојат броеви со саканото својство.

4. Над страните $A C$ и $B C$ на триаголникот $A B C$, надвор од него, се конструирани квадрати $A C P Q$ и $B M N C$. Докажи дека правите $A N$, $B P$ и $M Q$ се сечат во една точка.

Решение. Нека правите $B P$ и $A N$ се сечат во точката $R$ (цртеж десно).

Од $\overline{C P}=\overline{C A}, \overline{C B}=\overline{C N}$ и

$$
\measuredangle A C N=\measuredangle A C B+90^{\circ}=\measuredangle B C P
$$

следува $\triangle A C N \cong \triangle B C P$. Затоа

$\measuredangle C P R=\measuredangle C A R$ и $\measuredangle C N R=\measuredangle C B R$. Оттука следува дека точката $R$

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_e63ee82c9277009fa2feg-2.jpg?height=425&width=624&top_left_y=1148&top_left_x=880)
припаѓа на опишаната кружница околу квадратот $A C P$. Но $A C$ е дијаметар на оваа кружнца, па затоа $\measuredangle Q R C=90^{\circ}$. На потполно аналоген начин се докажува дека $\measuredangle M R C=90^{\circ}$. Според тоа, $\measuredangle M R Q=\measuredangle M R C+\measuredangle C R Q=180^{\circ}$, што значи дека точката $R$ припаѓа на правата $Q M$, односно дека правите $A N$, $B P$ и $M Q$ се сечат во точката $R$.

5. Нека $k$ е природен број и нека

$$
P(x)=x^{1998}-x^{1996}+x^{4}-3 k x+3 x+1
$$

Докажи дека за секој цел број $n$ важи $P(n) \neq 0$.

Решение. Нека претпоставиме дека постои $t \in \mathbb{Z}$ таков што $P(t)=0$.

Тогаш,

$$
\begin{aligned}
P(x)= & P(x)-P(t) \\
= & x^{1998}-t^{1998}-x^{1996}+t^{1996}+x^{4}-t^{4}-3 k x+3 k t+3 x-3 t \\
= & (x-t)\left(x^{1997}+x^{1996} t+\ldots+t^{1997}\right)-(x-t)\left(x^{1995}+x^{1994} t+\ldots+t^{1995}\right) \\
& +(x-t)\left(x^{3}+x^{2} t+x t^{2}+t^{3}\right)-3 k(x-t)+3(x-t) \\
= & (x-t) Q(x)
\end{aligned}
$$

каде $Q(t)$ е полином со целобројни коефициенти. Тогаш

$$
\begin{aligned}
& P(-1)=3 k-1=(-1-t) Q(-1) \\
& P(0)=1=-t Q(0) \\
& P(1)=5-3 k=(1-t) Q(1)
\end{aligned}
$$

Броевите $-1-t,-t, 1-t$ се три последователни природни броја, па затоа еден од нив е делив со 3. Последното значи дека еден од броевите $3 k-1,1,5-3 k$ е делив со 3 , што е противречност. Конечно, од добиената противречност седува дека за секој цел број $n$ важи $P(n) \neq 0$.