# IX РЕГИОНАЛЕН НАТПРЕВАР ПО МАТЕМАТИКА ЗА УЧЕНИЦИТЕ ОД ОСНОВНОТО ОБРАЗОВАНИЕ 

Задачите и решенијата се скенирани од книгата

Регионални натпревари по математика 83-95

Подготвена од Боривое Миладиновиќ

## $\mathbf{V}$ одделение

1. Колку степени има аголот што го опишува минутната стрелка на часовникот за 5 минути?
2. Татко, мајка и ќерка сега имаат заедно 76 години. Таткото е за 4 години постар од мајката. Кога се родила ќерката, таткото и мајката заедно имале 46 години. Колку години има секој од нив сега?
3. Во еден магацин имало 120 големи и 40 мали конзерви. Вкупната маса на сите конзерви е $108 \mathrm{~kg}$. Масата на 3 големи конзерви е иста со масата на 8 мали конзерви. Пресметај ја масата, одделно, на една мала и една голема конзерва.
4. Правоаголник со плоштина $99 \mathrm{~cm}^{2}$ има должина $9 \mathrm{~cm}$. Пресметај ја плоштината на оној квадрат чиј периметар е еднаков на периметарот на правоаголникот.

## v одделение

1. Бидејки часот има 60 минутк, тогаш $60: 5=12.5$ минути претставуваат $\frac{1}{12}$ од полниот агол, т.е. 360: $12=30^{\circ}$.
2. Керката има: (76-46):3=10 години. Мајката има: $(46-4): 2+10=31$ година. Таткото има: $31+4=35$ години.
3. Ако 3 големи конзерни имаат иста маса како 8 мали конзерви, тогаш 120 големи, ќe имаат иста маса со 320 мали конзерни.

Бидејки во магацинот имало вкупно 120 големи и 40 мали конзерви, следува (320+40) мали конзерви имаат маса од $108 \mathrm{~kg}$, т.е. една мала конзерва има маса: 108:(320+40) $=0,3 \mathrm{~kg}=300$ грама, а една голема ( $108000-300-40): 120=800$ грама.

4. Ако со а и в ги обележиме страните на правоаголннкот, тогаш:

$\mathrm{P}=\mathrm{a} \cdot \mathrm{b} ; 99=9 \cdot \mathrm{b} ; \mathrm{b}=11 \mathrm{~cm}$.

Периметарот на правоаголникот е: $\mathrm{L}_{\mathrm{p}}=2(\mathrm{a}+\mathrm{b})=40 \mathrm{~cm}$. Ако со $\mathrm{x}$ ја означиме страната на квадратот, тогаш: $\mathrm{L}_{\mathrm{k}}=4 \mathrm{x}=40$, и $\mathrm{x}=10 \mathrm{~cm}$. $\mathrm{P}_{\mathrm{k}}=\mathrm{a}^{2}=100 \mathrm{~cm}^{2}$.

## VI оделение

1. Докажи дека спроти поголема страна во триаголник лежи поголем агол.
2. Нека $x, y$ и z се рационални броеви, од кои еден е позитивен, еден е негативен и еден е еднаков на нула. Определи кој од тие броеви е позитивен, кој негативен. а кој е нула ако $\frac{x(y-z)}{z}>0$.
3. Ако некој број се подели со 63 се добива количник $n$ и остаток 59 . Пресметај го остатокот, добиен со делење на тој број со 21.
4. Низ средината на кракот $\mathrm{AC}$ на рамнокрак триаголник $\mathrm{ABC}, \overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{BC}}=$ $=10 \mathrm{~cm}$, повлечена е нормала на самиот крак. Нормалата го сече кракот ВC во точката D. Периметарот на триаголникот ABD e $18 \mathrm{~cm}$. Пресметај го периметарот на триаголникот $\mathrm{ABC}$.

## VI одделенне

1. Hexa $\overline{\mathrm{BC}}>\overline{\mathrm{AC}}$.

Треба да докажеме дека $\alpha>\beta$. Повлекуваме отсечка AM, така што $\overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{CM}}$. Оттука имаме $\alpha_{1}=\delta$ и $\alpha>\alpha_{1}$, т.е. $\alpha>\delta$. Аголот $\delta$ е надворешен за триаголникот. Според тоа $\delta>\beta$. Следува дека $\alpha>\beta$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_3fd600cdcd50f2ec8a4fg-2.jpg?height=237&width=408&top_left_y=1088&top_left_x=993)

2. За да е $\frac{x \cdot(y-z)}{z}>0$, потребно е $z \neq 0$ и $x \neq 0$ значи $y=0$.
3. Нека тој број е х, тогаш имаме:

$$
\begin{aligned}
& x=63 n+59 \\
& x=3 \cdot 21 n+2 \cdot 21+17 \\
& x=21 \cdot(3 n+2)+17
\end{aligned}
$$

Според тоа бројот поделен со 21 има остаток 17.

4. Триаголниците AMD и CMD се правоаголни со еднакви катети, што значи тие се складни. $\triangle \mathrm{ADC}$ е рамнокрак, т.е. $\overline{\mathrm{AD}}=\overline{\mathrm{CD}}$.

Оттуха следува дека: $\overline{\mathrm{AD}}+\overline{\mathrm{DB}}=10 \mathrm{~cm}$.

$\mathrm{L}_{\mathrm{ABD}}=\overline{\mathrm{AB}}+\overline{\mathrm{AD}}+\overline{\mathrm{DB}}$.

$18=\overline{\mathrm{AB}}+10$, . .e. $\overline{\mathrm{AB}}=8 \mathrm{~cm}$.

Според тоа $\mathrm{L}_{\mathrm{ABC}}=\overline{\mathrm{AB}}+\overline{\mathrm{BC}}+\overline{\mathrm{AC}}$

$\mathrm{L}_{\mathrm{ABC}}=8+10+10$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_3fd600cdcd50f2ec8a4fg-2.jpg?height=447&width=366&top_left_y=1553&top_left_x=1038)

$\mathrm{L}_{\mathrm{ABC}}=\mathbf{2 8} \mathrm{cm}$.

## VII одделение

1. Докажи дека разликата од квадратите на два последователни природни броја е непарен број.
2. Даден е паралелограм $A B C D$. Нека P е средина на страната $A D$, а M средина на страната BC. Докажи дека отсечките AM и СР ја делат дијагоналата BD на три еднакви дела.
3. Картата за концерт чинела 180 денари. Кога цената на картата била намалена, бројот на посетителите се зголемил за $50 \%$, а приходот се зголемил за $25 \%$. Колку била новата цена на картата?
4. Дадени се кружниците $\mathrm{k}_{1}\left(\mathrm{O}_{1}, \mathrm{r}_{1}\right)$ и $\mathrm{k}_{2}\left(\mathrm{O}_{2}, \mathrm{r}_{2}\right)$ и правата р. Да се конструира права $t$ паралелна со правата $p$, така што кружниците $k_{1}$ и $k_{2}$ да отсекуваат од неа еднакви тетиви.

## VII одделенне

1. Ако $x$ и $x+1$ се последователни природни броеви, тогаш имаме: $(x+1)^{2}-x^{2}=x^{2}+2 x+1-x^{2}=2 x+1, x \in N$
2. Отсечките AP и МС се еднакви и паралелни, тоа значи дека четириаголникот АМСР е паралелограм. Ако повлечеме отсечка TS|MC, тогаш и четириаголниците ATSP и TMCS се паралелограмн. Од тука следува дека $\overline{\mathrm{TS}}=\overline{\mathrm{MC}}$; $\overline{\mathrm{TS}}=\overline{\mathrm{BM}}$ : $\overline{\mathrm{TS}}=\overline{\mathrm{PD}}$ и $\overline{\mathrm{PD}}=\overline{\mathrm{BM}}$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_3fd600cdcd50f2ec8a4fg-4.jpg?height=277&width=517&top_left_y=443&top_left_x=1001)

Да ги разгледаме трнаголниците PRD; RTS и TB M.

।. $\overline{\mathrm{BM}}=\overline{\mathrm{TS}}=\overline{\mathrm{PD}}$.

2. $\angle 1=\angle 2=\angle 3$
3. $\angle 4=\angle 5=\angle 6$, како агли со паралелни краци.

Според тоа $\triangle \mathrm{PRD} \cong \triangle \mathrm{RTS} \cong \triangle \mathrm{TBM}$, а од тоа следува дека $\overline{\mathrm{DR}}=\overline{\mathrm{RT}}=\overline{\mathrm{TB}}$.

3. Нека х е бројот иа поранешии посетители. Тогаш приходот бил 180x. По намалупането на цената. прнходот е 180x-1.25-225x. а посетттели I.5x. Картата чнни:

225x:1.5x-150 денарм.

## 4. Начин на конструкција.

1. Низ $\mathrm{O}_{2}$ повлекувамс права $\mathrm{m}$ нормална на р
2. Вриниме транслација на $\mathrm{k}_{1}$ за вектор $\overrightarrow{0 O}_{1}^{\prime}$ вok Aкo $k_{2} \cap k_{1}=\{A$. B\}. правата AB e бараната права $t$.

Aкo $k_{2} \cap k_{1}=\{M\}$. правата te тан-

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_3fd600cdcd50f2ec8a4fg-4.jpg?height=375&width=620&top_left_y=1156&top_left_x=827)
гента на $\mathbf{k}_{1} \mathbf{n} \mathbf{k}_{2}$.

Ако $k_{2} \cap k_{i}=\oslash$. тогаш задачата нема решение.

## VIII одделение

1. Од равенката (a-3)x+(a-1):(3-x)=a+x-8 определи го $x$ ако е познато дека а $e$ корен на равенката $2(a-5)-3(a-2)=6(a-3)$.
2. Во паралелограм $\mathrm{ABCD}$, со периметар $48 \mathrm{~cm}$, отсечките што ги поврзуваат темињата А и В со средината на страната CD се заемно нормални. Пресметај ги должините на страните на тој паралелограм.
3. Низ темето $B$ на правоаголник $A B C D$ повлечена е права $\mathrm{p}$ нормална на дијагоналата BD. Темињата A и C, соодветно, се оддалечени од правата р за 6,4 $\mathrm{cm}$ и $3,6 \mathrm{~cm}$. Пресметај ги страните на правоаголникот.
4. Учениците Јован, Аница и Илија заедно имале 780 денари. Кога Јован потрошил $\frac{1}{4}$ од своите пари, Аница потрошила $\frac{1}{5}$, а Илија потрошил $\frac{3}{7}$, тогаш на сите им останале еднаква сума на пари. Колку пари имал секој од нив?

## VIII оцеление

1. Прво ќe ја рениме птората равенка со што ḱe rо определиме a. 2a-10-3a+6-6a-18 $\Leftrightarrow \mathrm{a}=2$. Првата равенка гласи: $(2-3) x+(2-1)(3-x)=2+x-8 \Leftrightarrow x=3$.
2. Ако ја повлечеме техишната линија MP на правоаголниот триаголиих ABM, тогаш точката $\mathrm{P}$ е центар иа опишаната круххница околу правоаголниот трнаголиих, ( $\overline{\mathrm{MP}}=\overline{\mathrm{PB}}$ ).

Четириаголникот PBCM е роиб.

$\overline{\mathrm{MP}}=\overline{\mathrm{PB}}=\overline{\mathrm{BC}}$. т.e. $\overline{\mathrm{AB}}=2 \overline{\mathrm{BC}}$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_3fd600cdcd50f2ec8a4fg-6.jpg?height=241&width=406&top_left_y=430&top_left_x=1080)

Пермметарот на паралелограмот $\mathrm{e}$ :

$\mathrm{L}=2 \overline{\mathrm{AB}}+2 \overline{\mathrm{BC}}$

$48=2(2 \overline{\mathrm{BC}})+2 \overline{\mathrm{BC}}-6 \overline{\mathrm{BC}}$, ,.e. $\overline{\mathrm{BC}}=8 \mathrm{~cm}, \mathrm{a} \overline{\mathrm{AB}}=16 \mathrm{~cm}$.

3. Од тек ныата А и С повлекуваме нориали $\mathrm{AA}_{1}$ и $\mathrm{CC}_{1}$ па дијагоналата BD. Четириаголниците AEBA $_{1}$ и $\mathrm{CC}_{1} \mathrm{BF}$ се правоаголиици, т.е. $\overline{\mathrm{BA}_{1}}=6,4 \mathrm{~cm} \mathrm{n}$ $\overline{\mathrm{BC}_{1}}=3,6 \mathrm{~cm}$. Правоаголияте трмаголиици $\mathrm{AA}_{1} \mathrm{D}^{\circ} \mathrm{CC}_{1} \mathrm{~B}_{1}$ се ссладин. $\overline{\mathrm{DA}_{1}}=\overline{\mathrm{BC}_{1}}=3,6 \mathrm{~cm}$, r.e. $\overline{\mathrm{BD}}=10 \mathrm{~cm}$.

Од теоремата 3 пропорционталит отсечики во правовголивот триаголитах ABD mame:

$\overline{\mathrm{AB}}^{2}=\overline{\mathrm{BD}} \cdot \overline{\mathrm{BA}_{1}}$.

$\overline{\mathrm{AB}}^{2}=10 \cdot 6,4$

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_3fd600cdcd50f2ec8a4fg-6.jpg?height=430&width=541&top_left_y=910&top_left_x=902)

$\overline{\mathrm{AB}}=8 \mathrm{~cm} \mathrm{n} \overline{\mathrm{AD}}=6 \mathrm{~cm}$

4. Нека на секој му останале по $\mathrm{x}$ денари.

Ако Јован имал а денари, тогаш: $a-\frac{1}{4} a=x \Rightarrow a=\frac{4}{3} x$.

Ако Аннца венала $b$ денари, тогап: $b-\frac{1}{5} b-x \Rightarrow b=\frac{5}{4} x$.

Ахо Илија нмал с денари, тогаш: $c \cdot \frac{3}{7} c=x \Rightarrow c=-\frac{7}{4}$.

Бваејku a+b+c=780, mame: $\frac{4}{3} x+\frac{5}{4} x+\frac{7}{4} x=780 \Rightarrow x=180$ денарн.

Јован пмал 240 денари, Анпца 225 денарм и Илщја 315 денарв.