# VII РЕГИОНАЛЕН НАТПРЕВАР ПО МАТЕМАТИКА 

## ЗА УЧЕНИЦИТЕ ОД ОСНОВНОТО ОБРАЗОВАНИЕ

Задачите и решенијата се скенирани од книгата

Регионални натпревари по математика 83-95

Подготвена од Боривое Миладиновиќ

## $\mathbf{V}$ одделение

1. Место буква стави цифра - иста буква значи иста цифра. $\overline{\text { labcde }} 3=\overline{\mathrm{abcdel}}$.
2. Плоштината на еден двор, што има форма на правоаголник е 10 ари. Должината на едната страна е $25 \mathrm{~m}$. Да се огради дворот потребно е на секои 5 метри да се постави по еден столб. Колку столбови се потребни за оградување на дворот?
3. За $2 \mathrm{~kg}$ сливи и $3 \mathrm{~kg}$ јаболка платено е 6900 денари, а за $4 \mathrm{~kg}$ сливи и $7 \mathrm{~kg}$ јаболка 4200 денари. Колку чини еден килограм сливи, а колку еден килограм јаболка?
4. На правата р на цртежот определи точка М така што растојанието $\overline{\mathrm{AM}}+\overline{\mathrm{MB}}$ да биде најмало.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_fe2e5d4e1327e600c20eg-1.jpg?height=209&width=409&top_left_y=1136&top_left_x=995)

## v oupeneine

1. Ако секоја разлгчна букан е некоја цифра тогаш:

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_fe2e5d4e1327e600c20eg-1.jpg?height=214&width=635&top_left_y=1441&top_left_x=442)

2. Плоштнната на правоаголикоот е: P=а.b т.е. 1000-a.25. Следн а-40 m. Пераметарот на правоаталникот е: $\mathrm{L}=2(\mathrm{a}+\mathrm{b})=130 \mathrm{~m}$. Потребннот број на столбони е 130:5=26.

$3.2 \mathrm{~kg}$ сливи в $3 \mathrm{~kg}$ јаболка чинат 6900 денари.

$4 \mathrm{~kg}$ сливи и $6 \mathrm{~kg}$ јаболка чинат 6900.2=13800 денари.

$4 \mathrm{~kg}$ слнви и $7 \mathrm{~kg}$ јаболха чинат 15300 денари.

Од вторяот и третиот заклучок се добива дека еден хилограм јаболка чини 15300-13800=1 500 денари. Еден килограм слиаи чини (6900-3.1500):2-1200 денари.

4. Ja наотаме точката $A_{1}$ спметрична на А во одиос на правзта р. Оттука стедува дека $\overline{A M}=\overline{A_{1} M}$. Точката Ме бараната точка, бидејки $_{1} \overline{A_{1} B}$ е најмалото растојание од $\mathrm{A}_{1}$ до $\mathrm{B}$. Бидејки $\overline{A M}=\overline{A_{1} M}$, следувa дека $\overline{A M}+\overline{M B}=\overline{A_{1} B}$ е иајмалото растојание.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_fe2e5d4e1327e600c20eg-1.jpg?height=240&width=411&top_left_y=1954&top_left_x=953)

## VI одделение

1. Одреди ги $x \in Z$ и $y \in Z$ aко e $|x| \cdot|y|=12$.
2. На цртежот дадено е $\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{AC}}$ и $\overline{\mathrm{AE}}=\overline{\mathrm{AD}}$. Докажи дека $\overline{\mathrm{BD}}=\overline{\mathrm{CE}}$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_fe2e5d4e1327e600c20eg-2.jpg?height=272&width=305&top_left_y=318&top_left_x=1097)

3. На состанок на пионерскиот совет на едно училиште биле присутни 12 членови. Отсутни биле $\frac{1}{7}$ од вкупниот број. Колу членови броел пионерскиот совет?
4. Во рамнокракиот триаголник $\mathrm{ABC}(\overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{BC}})$, со периметар $22 \mathrm{~cm}$, повлечена е медијана $\mathrm{AA}_{1}$. Периметрите на триаголниците $\mathrm{ABA}_{1}$ и $\mathrm{AA}_{1} \mathrm{C}$ соодветно се $17 \mathrm{~cm}$ и $19 \mathrm{~cm}$. Да се определат должините на страните на триаголникот $\mathrm{ABC}$.

## VI оинеление

1. Корнстиме дека $|x| \cdot|y|=|x \cdot y|=12$. Рештението ке биде сате можни пароии ( $x, y$ ) чиј проязвод е 12 или -12 т.е. $((x, y) \mid x \cdot y=12$ или $x \cdot y=-12$ и $x, y \in Z\}$.
2. Трнаголниците ABD в ACE се ссладни (вади чртех), бидејки $\overline{\mathrm{AE}}=\overline{\mathrm{AD}}, \overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{AC}}$ и $\angle \mathrm{BAC}$ им е заедничик.

Од складноста на трнаголниците следува деха $\overline{\mathrm{BD}}=\overline{\mathrm{CE}}$.

3. Ако биле отсутни $\frac{1}{7}$, тогаш присутни биле $\frac{6}{7}$ од вкупниот број. Нека х е бројот на сите членови, тогаш

$$
\frac{6}{7} x=12 \text {, r.e. } x=\frac{12-7}{6}=14
$$

4. Види: VIII рн. VII/2.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_fe2e5d4e1327e600c20eg-2.jpg?height=267&width=387&top_left_y=1460&top_left_x=1133)

## VII одделение

1. За која вредност на $x$ изразот ( $3 x-4) \cdot(7 x+8)-1,5 x(24 x+4)-5(1-2 x)$ е негативен ?
2. Еден работник ја исполнува нормата за 6 часа, друг за 5 часа, а трет за 4,5 часа. Работејќи заедно тие изработиле за еден час вкупно 795 предмети. По колку предмети изработил секој од нив ?
3. Во кружница $\mathrm{k}$ повлечен е радиус $\mathrm{OP}$ и тетива $\mathrm{AB}$ која е симетрала на дадениот радиус. Докажи дека AB е страна на рамнострани триаголник впишан во кружницата.
4. Во рамнокракиот трапез $\mathrm{ABCD}(\overline{\mathrm{AD}}=\overline{\mathrm{BC}}=6 \mathrm{~cm}$ ), а дијагоналата ја дели средната линија на делови од $2 \mathrm{~cm}$ и $5 \mathrm{~cm}$. Одреди:

a) периметар на трапезот?

б) аглите на трапезот?

## VII одделение

1. Види: $\mathrm{III}$ р.н. $\mathrm{VII} / 2$.
2. За I час првнот исполнува $\frac{1}{6}$, вториот $\frac{1}{5}$, а третиот $\frac{1}{4,5}=\frac{2}{9}$ од нормата. Нека х се вкупно предмети што тие треба да ги изработат. За еден час тие ќе изработат: $\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{5}+\frac{2}{9}\right) \cdot x=795 ; x=795 \cdot \frac{90}{30}=1350$.

Првиот изработил: 1350:6-225, вториот: 1350:5=270," третиот: 1350:4.5=300.
3. Од $^{\mathrm{OB}}=\mathrm{r}, \overline{\mathrm{OD}}=\frac{\mathrm{r}}{2}$ (во правоаголниот трнаголник катетата наспроти аголот од 300 е еднаква на половина од хипотенузата) следува дека $\angle \mathrm{DBO}=30^{\circ}$, а $\angle \mathrm{BOD}=60^{\circ}$. Од исти причини и $\angle \mathrm{DAO}=300$, а $\angle \mathrm{AOD}=600$, т.е. $\angle \mathrm{AOB}=1200$. Централниот агол $\mathrm{BOC}=1200$, како надворешен агол на триаголиикот BOD. Од исти причнии и аголот $\mathrm{AOC}=120$. Ако централиите агли се еднакви. тогаш се еднакви и нивните соодпетни периферни агли, т.е. $\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{C}=600, \triangle \mathrm{ABC}$ е рамностран.

4. Бидејќ MN е средиа линија на трапезот, тогаш MP е средна линија на триаголнихот $\mathrm{ADC}$, т.е. $\mathrm{b}=\overline{\mathrm{DC}}=2 \overline{\mathrm{MP}}=4 \mathrm{~cm}$. PN е средна линија на триаголникот $\mathrm{ABC}$, т.е. $\mathrm{a}=\overline{\mathrm{AB}}=2 \overline{\mathrm{PN}}=10 \mathrm{~cm}$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_fe2e5d4e1327e600c20eg-3.jpg?height=310&width=308&top_left_y=1460&top_left_x=1057)

а) Периметарот на трапезот е $\mathrm{L}=\mathrm{a}+\mathrm{b}+2 \mathrm{c}=10+4+2 \cdot 6=26 \mathrm{~cm}$. 6) Ако повлечеме $\mathrm{CC}_{1} \mid \mathrm{AD}$, тогаш триаголннкот $\mathrm{C}_{1} \mathrm{BC}$ е рамностран, бидејки $\overline{\mathrm{BC}}=\overline{\mathrm{C}_{1} \mathrm{C}}=6 \mathrm{~cm}$, а $\overline{\mathrm{C}_{1} \mathrm{~B}}=\mathrm{a}-\mathrm{b}=6 \mathrm{~cm}$. Тогаш острите агли на тралезот се $60^{\circ}$, а тапите $1200^{\circ}$.

## VIII одделение

1. Докажи дека ако природниот број $n$ не е делив со 5 , тогаш $n^{2}+1$ или $n^{2}-1$ е делив со 5.
2. Возот влегол во тунел за 15 секунди. До излегувањето од тунелот на последниот вагон од возот, поминале уште 30 секунди. Колку е долг возот и со каква брзина се движел ако тунелот бил долг 300 метри ?
3. Во триаголник $\mathrm{ABC}$ бисектриса на аголот $\mathrm{A}$ ја сече страната $\mathrm{BC}$ во точката D. Низ D е повлечена права паралелна со $A C$, којашто $A B$ ја сече во точката E. Низ точката $\mathrm{E}$ е повлечена права паралелна со $\mathrm{BC}$, којашто $\mathrm{AC}$ ја сече во точката F. Докажи дека $\overline{\mathrm{AE}}=\overline{\mathrm{CF}}$.
4. Пресметај ја плоштината на делтоид со страни 16 и $20 \mathrm{~cm}$, а дијагоналата што не е негова оска на симетрија е $20 \mathrm{~cm}$.

## VIII оделение

1. Ако природниот број не е делив со 5, тогаш остатоците при тоа делење се 1, 2,3 и 4. Во тој случај бројот: $n=5 k+1, n=5 k+2, n=5 k+3$ и $n=5 k+4 ; k \in N$.

Со замена за секое $n$ во дадените изразн нмаме:

fo $3 \mathrm{a} n=5 \mathrm{k}+1$ :

$$
\begin{aligned}
& n^{2}+1=(5 k+1)^{2}+1=25 k^{2}+10 k+2 \text { не е делив со } 5 . \\
& n^{2}-1=(5 k+1)^{2}-1=25 k^{2}+10 k=5 k(5 k+2) \text { е делив со } 5
\end{aligned}
$$

За останатите случан се нспитува на ист начин.

2. Бидејќи возот влегол во тунелот за 15 секунди. а до нзлегувањето поминале уште 30 секунди, тогаш должината на возот с два пати помала од должината на тунелот, т.е.

$150 \mathrm{~m}$. Брзината на возот е: $\mathrm{v}=\frac{150 \mathrm{~m}}{15 \mathrm{~s}}=10 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=\frac{10}{\frac{1000}{3600}}=36 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$.

3. Бидејќи AD е снметрала на аголот во темето А. следува дека $\angle 1=\angle 2$. Аголот $\angle 1=\angle 3$, како наизменични агли на трансверзала. Оттука следува дека $\angle 2=\angle 3$. т.е. триаголникот AED e рамнокрак и $\overline{\mathrm{AE}}=\overline{\mathrm{DE}}$. Четириаголникот FCDE е паралелограм по конструкција. т.е. $\overline{\mathrm{DE}}=\overline{\mathrm{CF}}$.
4. Страните на делтоидот се $\overline{\mathrm{AB}}=20 . \overline{\mathrm{AD}}=16$ и $\overline{\mathrm{AC}}=20 \mathrm{~cm}$. Триаголникот $\mathrm{ABC}$ е рамностран и неговата плоштина е: $\mathrm{P}=\frac{\mathrm{a}^{2} \sqrt{3}}{4}=\frac{20^{2} \sqrt{3}}{4}=100 \sqrt{3}$. Плоштината на $\triangle \mathrm{ADC}$ е: $\mathrm{P}_{2}=\frac{1}{2} \overline{\mathrm{AC}} \cdot \overline{\mathrm{DO}}$; $\overline{\mathrm{DO}}=\sqrt{\overline{\mathrm{AD}}^{2}-\left(\frac{1}{2} \overline{\mathrm{AC}}\right)^{2}}=\sqrt{16^{2}-10^{2}}: \overline{\mathrm{DO}}=2 \sqrt{39}$. $P_{2}=\frac{1}{2} 20 \cdot 2 \sqrt{39} ; P_{2}=20 \sqrt{39}$. Плоштината на делтоидот : $\mathrm{P}=(100 \sqrt{3}+20 \sqrt{39}) \mathrm{cm}^{2}$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_fe2e5d4e1327e600c20eg-5.jpg?height=490&width=401&top_left_y=1156&top_left_x=1097)

B