# XII РЕГИОНАЛЕН НАТПРЕВАР ПО МАТЕМАТИКА ЗА УЧЕНИЦИТЕ ОД ОСНОВНОТО ОБРАЗОВАНИЕ 

Задачите и решенијата се скенирани од книгата

Регионални натпревари по математика 83-95

Подготвена од Боривое Миладиновиќ

## V одделение

1. Во множеството $M=\{4,6,8\}$ се дадени релациите $R_{1}$ и $R_{2}$ со нивните графици: $\mathrm{R}_{1}=\{(\mathrm{x}, \mathrm{y}) \mid \mathrm{x}, \mathrm{y} \in \mathrm{M}$ и $\mathrm{x}=\mathrm{y}\}$ и $\mathrm{R}_{2}=\{(\mathrm{x}, \mathrm{y}) \mid \mathrm{x}, \mathrm{y} \in \mathrm{M}$ и $\mathrm{x} \leq \mathrm{y}\}$. Да се испитаат својствата на релациите $R_{1}$ и $R_{2}$.
2. Еден ученик наместо да помножи еден број со 506 , тој го помножил истиот број со 56, при што добил помал производ за 11250. Кој број го множел ученикот?
3. Бегајќи од мачката, глушецот се нашол на 20 чекори од својата дупка, а мачката на пет скока зад глушецот. Додека мачката прави еден скок глушецот прави 3 чекори, а еден мачкин скок по должина е еднаков на 10 глувчеви чекори. Дали мачката ќе го фати глушецот? Образложи!
4. Ако страната на еден квадрат се зголеми $3 a 11 \mathrm{~cm}$, тогаш неговата плоштина се зголемува за $319 \mathrm{~cm}^{2}$. Најди ја должината на страната на тој квадрат.

## V одяеление

1. Релацнјата $\mathrm{R}_{1}$ е рефлексивна, симетрнчна, антнсиметрична и транзитивна

Релацијата $R_{2}$ е рефлексивна, антисиметрична и транзитивна.

Релацнја за еквнвалентност е $\mathbf{R}_{1}$, а релацни за подредување се $\mathbf{R}_{\mathbf{1}}$ и $\mathbf{R}_{\mathbf{2}}$.
![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_f50447575e93b1275e1eg-2.jpg?height=228&width=382&top_left_y=290&top_left_x=1076)

2. Нека х е бараниот број, тогаш:

$506 x-56 x=11250 ; x(506-56)=11250 ; 450 x=11250 ; x=25$.

Тој број е 25 .

3. На мачката и́ се потребни 7 скока за да го фати глушецот (20:10+5=7). Додека мачката направи 6 скока глушецот ке каправи 6.3=18 чекори. На глушецот му недостигаат уште два чекори до дупката и еден чекор да се сокрие, а за тоа време мачката го прави седмиот скок. Додека мачката го направи седмнот скок, глушецот ќe се сокрие, бидејки тој ќе направи три чекори.
4. Нека х е должината на бараниот квадрат, roraw:

I - начин: $\mathrm{P}_{\mathrm{ABCD}}=\mathbf{- 2} ; \mathrm{P}_{\mathrm{AMPR}} \mathrm{x}^{2}=319$, a $P_{C N P Q}=121 \mathrm{~cm}^{2}$.

$\mathrm{P}_{\mathrm{BMNC}}=\mathrm{PDCQR}=(319-121): 2=198: 2=99 \mathrm{~cm}^{2}$

$P_{B M N C}=11 x=99$, т.e. $x=9 \mathrm{~cm}$

II - начин: $2 \cdot 11 x+121=319$;
![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_f50447575e93b1275e1eg-2.jpg?height=312&width=926&top_left_y=872&top_left_x=422)

$\mathrm{x}=9 \mathrm{~cm}$.

## VI одделение

1. Двајца велосипедисти тргнале од местата А и В еден кон друг. Кога се сретнале, првиот поминал $\frac{4}{7}$ од патот и уште $\frac{24}{10} \mathrm{~km}$, а вториот два пати помалку од првиот. Најди го растојанието од А до В.
2. Даден е триаголник $\mathrm{ABC}$ и точка $\mathrm{D}$ на страната $\mathrm{BC}$, така што $\angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{ACD}$. Периметарот на триаголникот $\mathrm{ABC}$ е $17 \mathrm{~cm}$, а периметарот на триаголникот $\mathrm{ABD}$ е $14 \mathrm{~cm}$. Пресметај ја должината на страната $\mathrm{AC}$, ако $\overline{\mathrm{CD}}=5 \mathrm{~cm}$.
3. Еден нож има маса колку две лажици. Три лажици имаат маса колку еден нож и една вилушка, а послужавникот има маса колку нож и лажица заедно. Најди ја масата на ножот, лажицата и послужавникот, ако вилушката има маса $40 \mathrm{~g}$.
4. Во триаголник $\mathrm{ABC}$ повлечена е бисектрисата $\mathrm{AD}(\mathrm{D}$ припаѓа на страната $\mathrm{BC})$. Нека $\mathrm{E}$ е средина на страната $\mathrm{AC}$. Ако е $\angle \mathrm{BAC}=2 \angle \mathrm{ABC}$ и отсечката $\mathrm{DE} \| \mathrm{AB}$, тогаш најди ја големината на внатрешните агли на триаголникот.

## VI одделение

1. Нека растојанието од А до В в х. тогаш:

$\frac{4}{7} x+\frac{24}{10}+\frac{1}{2}\left(\frac{4}{7} x+\frac{24}{10}\right)=x ; \frac{6}{7} x+\frac{18}{5}=x ; x=\frac{126}{5}=25,5 \mathrm{~km}$.
2. 1 - иачин: Бидејки $\angle \mathrm{ACD}=\angle \mathrm{CAD}$, следува дека $\triangle \mathrm{ACD}$ е рамнокрак, т.е. $\overline{\mathrm{CD}}=\overline{\mathrm{AD}}=5 \mathrm{~cm}$. (види цртеж)

$\mathrm{L}_{\mathrm{ABD}}=\overline{\mathrm{AB}}+\overline{\mathrm{BD}}+\overline{\mathrm{AD}}=14$, и $\overline{\mathrm{AB}}+\overline{\mathrm{BD}}=9$, a) $\mathrm{L}_{\mathrm{ABC}}=\overline{\mathrm{AB}}+\overline{\mathrm{BD}}+\overline{\mathrm{DC}}+\overline{\mathrm{AC}}=17$;

$$
\begin{aligned}
& 9+5+\overline{\mathrm{AC}}=17 \\
& \overline{\mathrm{AC}}=3 \mathrm{~cm}
\end{aligned}
$$

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_f50447575e93b1275e1eg-4.jpg?height=315&width=382&top_left_y=487&top_left_x=1097)

II - начт: Бuдеjka $\triangle \mathrm{ADC}$ е paniokpax $\overline{\mathrm{AD}}=\overline{\mathrm{DC}}$, тогаш $\overline{\mathrm{AC}}=\mathrm{L}_{\mathrm{ABC}}-\mathrm{L} \mathrm{ABD}^{-3} \mathrm{~cm}$.

3. Нека $\propto$ Н, В. Л и П ги означпме соодветно масата на ножот, вилушката, лахицата и послужавникот, тогашт пиаме:

$\mathbf{H}=2 \pi$

3 Л $=\mathrm{H}+\mathrm{B}$

$\Pi=\mathrm{H}+\Pi$

ОД (1) п (3) заклучуанае дека $П=3 Л$.

Од (1) п (2) заклучуваме дека $3 Л=2 Л+B$, т.е. Л=В. Според тоа $\mathrm{H}=2 B$, а $П=3 B$, т.е. $\mathrm{H}=2.40=80 \mathrm{~g}, Л=40 \mathrm{~g}$ и $\Pi=3.40=120 \mathrm{~g}$.

4. Axо AD е бщсектраса на аголот BAC, тогаш $\alpha_{1}=\alpha_{2}$. Бидејки $\mathrm{ED|AB}$, следува дека $\angle 1=\angle \alpha_{1}$ m $\angle 1=\angle \alpha_{2}$. $\triangle \mathrm{AED}$ е рамнокрах, $\overline{\mathrm{AE}}=\overline{\mathrm{ED}}$.

Е е средина на $\mathrm{AC}$, следува деха $\overline{\mathrm{DE}}=\overline{\mathrm{EC}}$. т.e. $\angle 2-\angle \gamma$.

Аглите 2 п $\beta$ се еднакии како согласни аглі на трансасрзала, следуиа дека $\gamma-\beta$. Од условот $\beta-\alpha_{1}=\alpha_{2}$ слехуаз дека $\alpha_{1}+\alpha_{2}+\beta+\gamma=$ $180^{\circ}$, т.e. $4 \beta=1800$. $\beta=450, \gamma=450$ m $\alpha=900$, т.e. триаголникот $\mathrm{ABC}$ е рамнокрах правоаголен.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_f50447575e93b1275e1eg-4.jpg?height=327&width=375&top_left_y=1305&top_left_x=1069)

## VII одделение

1. Ако дијагоналите на рамнокрах трапез се меѓусебно нормални, тогаш средната линија е еднаква со висината на трапезот. Докажи!
2. Од балон полн со чист алкохол источено е $\frac{1}{4}$ од алкохолот, а потоа дополнет со вода. Повторно е источено $\frac{1}{3}$ од течноста во балонот и пак е дополнет со вода: Што има повеќe во балонот - вода или алкохол ? Образложи го одговорот.
3. Два часовника со стрелки се пуштени во работа на 9.04 .1994 година во 10 часот наутро. Еден од часовниците секогаш покажува точно време, а другиот брза 90 секунди за секој час. На која дата и во колку часот двата часовника ќе покажат исто време?
4. Во правоаголник $\mathrm{ABCD}$, страната $\mathrm{AB}$ е два пати поголема од страната $\mathrm{BC}$. На страната $A B$ е избрана точката $M$, така што $\angle A M D=\angle C M D$. Најди ја големината на аголот CMD.

## VII оиеление

1. Ако M, P, Q, N се среднин на страните иа

трапе́зот, тогап:

$\overline{\mathrm{QN}}=\overline{\mathrm{MP}}=\frac{1}{2} \overline{\mathrm{AC}}$ и $\overline{\mathrm{QN}} \mid \overline{\mathrm{MP}}$

$\overline{\mathrm{QM}}=\overline{\mathrm{NP}}=\frac{1}{2} \overline{\mathrm{BD}}$ в $\overline{\mathrm{QM}} \mid \overline{\mathrm{NP}} ;$ како средни линии

на соодветнн триаголиици. Оттуха следува деха четирнаголникот MPNQ е ромб.

Како е: $\mathrm{AC} \perp \mathrm{BD}$ и $\mathrm{BD} \mid \mathrm{NP}$, следува дека $\mathrm{AC} \perp \mathrm{NP}$. (1)

$B D \perp A C$ и $A C I Q N$, следува дека $B D \perp Q N$. (2)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_f50447575e93b1275e1eg-6.jpg?height=325&width=320&top_left_y=424&top_left_x=1128)

Од (1) и (2) следува дека NPLQN, а MNPQ е квадрат,

T.e. $\mathrm{h}=\overline{\mathrm{MN}}=\overline{\mathrm{QP}}$.

2. Да го проследиме количеството на вода во балонот. По дополнувањето во балонот ке иха $\frac{1}{4}$ вода. По нсточувавето $\frac{1}{3}$ течност, источено е $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{12}$ пода, а во балонот 4 3 $\begin{array}{llll}3 & 4 & 12\end{array}$ останало $\frac{1}{4}-\frac{1}{12}=\frac{1}{6}$ вода. По дополнуването $\frac{1}{3}$ во балонот ќe пма: $\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{1}{2}$ вода, т.е. во балонот има нста количина вода и алкохол.
3. Двата часовииха повторно ќе покажат шсто време, откако вторнот часовник што брза ке отиде напред 12 часови, т.е. 720 минути. За да отиде напред 12 часови потребно му е време 720:1.5=480 часови, т.е. еднакво 20 дена. Според тоа часовннците ќе покажат исто време на 29.04.1994 година во 10 часот наутро.
4. Бидејќи четнриаголиикот е правоаголник, следува: $\angle \mathrm{AMD}=\angle \mathrm{MDC}$ - како нанзменнчни агли. Бидејки $\angle \mathrm{AMD}=\angle \mathrm{DMC}$, следува,дека и $\angle \mathrm{CDM}=\angle \mathrm{CMD}$, т.е. $\triangle \mathrm{DMC}$ е рамнокрах и $\overline{\mathrm{CD}}=\overline{\mathrm{CM}}=2 \overline{\mathrm{BC}}$. Бидејки $\triangle \mathrm{MBC}$ е правоаголен и $\overline{\mathrm{MC}}=2 \overline{\mathrm{BC}}$, следува дека $\angle \mathrm{BMC}=30^{\circ}$. Според тоа $\angle \mathrm{CMD}=1500: 2=750$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_f50447575e93b1275e1eg-6.jpg?height=240&width=324&top_left_y=1411&top_left_x=1001)

## VIII одделение

1. Одреди ја плоштината на правоаголних на кој должината на дијагона-лата е $6 \mathrm{~cm}$, а аголот меfу дијагоналите е $30^{\circ}$.
2. Одреди ги сите тројки едноцифрени природни броеви а, b и с за кои важи равенството: $\frac{2}{\mathrm{a}}+\frac{\mathrm{b}}{7}=\frac{30+\mathrm{c}}{35}$.
3. Една група работници можат да завршат некоја работа за 10 дена, а друга група истата работа можат да ја завршат за 15 дена. Да се заврши таа работа за 12 дена била ангажирана третина од првата група и дел од втората група. Кој дел од втората група работници учествува во работата?
4. Во паралелограмот $\mathrm{ABCD}$, со $\mathrm{M}$ и $\mathrm{N}$ обележани се средините на страните AB и BC, соодветно. Докажи дека DM и DN ја делат дијагоналата AC на три еднакви делови.

## VIII одделение

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_f50447575e93b1275e1eg-8.jpg?height=55&width=493&top_left_y=309&top_left_x=321)
триаголннх СМЕ имаме: $\overline{\mathrm{MC}}=\frac{1}{2} \overline{\mathrm{CE}}=\frac{3}{2}$ (катета спроти агол од $30^{\circ}$ во правоаголен триаголинк)

$\mathrm{P}_{\mathrm{ABCD}}=2 \mathrm{PBCD}=2 \cdot \frac{1}{2} \overline{\mathrm{BD}} \cdot \overline{\mathrm{CM}}=6 \cdot \frac{3}{2}=9 \mathrm{~cm}^{2}$

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_f50447575e93b1275e1eg-8.jpg?height=245&width=374&top_left_y=346&top_left_x=957)

2. Даденнот израз го трансформираме во форма:

$\frac{2}{\mathrm{a}}=\frac{30+\mathrm{c}}{35}-\frac{\mathrm{b}}{7} ; \quad \frac{2}{\mathrm{a}}=\frac{30+\mathrm{c}-5 \mathrm{~b}}{35} ; \quad \frac{70}{\mathrm{a}}=30+\mathrm{c}-5 \mathrm{~b} ;$

$a \in\{1,2,5,7)$ (едноцифрени делители на 70).

Ако $a=1$, тогаш $70=30+c-5 b$, а $c=40+5 b$, што е невозможно бидејки за секој едноцифрен број b бројот с не може да биде едноцифрен, значи а 1. Од исти причнни и $a \neq 2$.

Ако $a=5$, тогаш $14=30+\mathrm{c}-5 \mathrm{~b}$, a $\mathrm{b}=\frac{16+\mathrm{c}}{5}$. Следи: $c \in\{4,9\}$.

За $c=4, b=4$, а бараната тројка е $(5,4,4)$,

За $c=9, b=5$, а бараната тројка е $(5,5,9$ ).

Ако $a=7$ тогаш $10=30+\mathrm{c}-5 \mathrm{~b}$, $\mathrm{a}=\frac{20+\mathrm{c}}{5}$. Следи: $\mathrm{c}=5$ и $\mathrm{b}=5$, а бараната тројка е $(7,5,5$ ). Според тоа бараната тројка (а, b, c) e: (5, 4, 4); (5, 5, 9); (7, 5, 5).

3. За еден ден првата група може да заврши $\frac{1}{10}$ од работата, а третина од групата ќe заврши $\frac{1}{30}$ од работата. Ако делот од втората група е х, тогаш тие за еден ден ке завршат $\frac{x}{15}$ дел од работата. Деловите од двете групи за еден ден завршуваат $\frac{1}{12}$ од
работата. Според тоа:

$$
\frac{1}{30}+\frac{x}{15}=\frac{1}{12}: \quad 2+4 x=5: \quad x=\frac{3}{4}
$$

Од өторита група учествувале $\frac{3}{4}$ од работииците.
4. 1 - начин: Нека трите дела се: $\overline{\mathrm{AP}}=\mathrm{x}: \overline{\mathrm{PQ}}=\mathrm{y}: \overline{\mathrm{QC}}=2 . \triangle \mathrm{AQD}-\triangle \mathrm{CQN}(\angle 1=\angle 4$ и $\angle 3=\angle 2$ ). Од сличноста на трнаголииците нмаме: $\overline{\mathrm{AD}}:(\mathrm{x}+\mathrm{y})-\overline{\mathrm{CN}}: \mathrm{z}$.

Бидејќи $\overline{\mathrm{AD}}=2 \overline{\mathrm{CN}}$. следува деха $z=\frac{\mathrm{x}+\mathrm{y}}{2}$.

$\triangle \mathrm{AMP}-\triangle \mathrm{CDP}$ ( $\angle \mathrm{P}$ - нахроен. $\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{C}$ агли со паралелии краци). Од сличноста ка триаголииците имаме: $\overline{\mathrm{AM}}: \mathrm{x}=\overline{\mathrm{CD}}:(\mathrm{y}+\mathrm{z})$. Бидејки $\overline{\mathrm{CD}}=2 \overline{\mathrm{AM}}$. следува $\mathrm{x}=\frac{\mathrm{y}+\mathrm{z}}{2}$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_f50447575e93b1275e1eg-9.jpg?height=238&width=448&top_left_y=381&top_left_x=980)

Ако (1) го замсниме во (2) добиваме:

$$
x=\frac{y+\frac{x+y}{2}}{2} \text {. т.е } x=y . \text { Ако (2) го замениме во (1) добиваме: } z=\frac{\frac{y+z}{2}+y}{2} \text {; т.е. } y=z \text {. }
$$

Cnoped roa $\mathrm{x}=\mathrm{y}=$ z. ... $\overline{\mathrm{AP}}=\overline{\mathrm{PQ}}=\overline{\mathrm{QC}}$.

II - начии: Во триаголниците $\mathrm{ABD}$ и DBC. точките $\mathrm{P}$ и $\mathrm{Q}$ се нивните тежишта. Според тоа $\overline{\mathrm{AP}}=\frac{2}{3} \overline{\mathrm{AR}}=\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \overline{\mathrm{AC}}=\frac{1}{3} \overline{\mathrm{AC}} ; \quad \overline{\mathrm{CQ}}=\frac{2}{3} \overline{\mathrm{CR}}=\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \overline{\mathrm{AC}}=\frac{1}{3} \overline{\mathrm{AC}} \times \overline{\mathrm{PQ}}=\frac{1}{3} \overline{\mathrm{AC}}$.

т.e. $\overline{\mathrm{AP}}=\overline{\mathrm{PQ}}=\overline{\mathrm{QC}}=\frac{1}{2} \overline{\mathrm{AC}}$.