# XIII РЕГИОНАЛЕН НАТПРЕВАР ПО МАТЕМАТИКА ЗА УЧЕНИЦИТЕ ОД ОСНОВНОТО ОБРАЗОВАНИЕ 

Задачите и решенијата се скенирани од книгата

Регионални натпревари по математика 83-95

Подготвена од Боривое Миладиновиќ

## $\mathbf{V}$ одделение

1. Колку страници има книга, ако за нејзино нумерирање се употребени 465 цифри?
2. Семејствата А и В имаат по три деца со по два близнаци. Производот од бројот на годините на децата во секое семејство е 36. Збировите од годините на децата во семејствата се еднакви, а семејството А има дете со најмал број години.
3. Одреди четирицифрен број кој поделен со 131 дава остаток 112 , а поделен со 132 дава остаток 98.
4. Правоаголникот ABCD има плоштина $96 \mathrm{~cm}^{2}$. Ако неговата должина се зголеми за $4 \mathrm{~cm}$, а ширината остане иста, тогаш неговата плоштина ќe изнесува $128 \mathrm{~cm}^{2}$. Пресметај го периметарот на правоаголникот ABCD.

## $\mathbf{V}$ одиеление

1. За нумерирање на првите 9 страници употребени се 9 цифри, а за следните 90 страници 90-2=, 80 цифри. Преостанатите $465-9-180=276$ цифри се употребеии за нумерирање на страници со трицнфрени броевн. Нив ги има вкупно $276: 3=92$ страници. Кингата има вкупно $9+90+92=191$ страници.
2. Бидејќи производот на годиняте на децата во секое семејство е 36, близнаци се јавуваат во четири случаи: $1.1 .36 ; 1.6 .6 ; 2.2 .9 ; 3.3 .4$. Збировите на годините се еднакви во два случан: 1.6.6 и 2.2.9. Семејството А има дете со најмал број на години, следува дека броевите на годините на децата во семејството А се 1.6 и 6 , а во семејството В се 2,2 и 9 .
3. Бидејки делителите се разликуваат за 1 , а остатоците за 14. следува дека количникот $q$ е еднаков на разликата од остатоците. т.е. $q=112-98=14$. Бараниот број е: $131 \cdot 14+112=132 \cdot 14+98=1946$.
4. Ако со а ја означиме должината на правоаголникот, а со ь неговата ширина, тогаш: $a \cdot b=96 \mathrm{~cm}^{2}$ н $96+4 b=128 \mathrm{~cm}^{2}$. Оттука:

$4 b=32$, т.е. $b=8, a a=96: 8=12 \mathrm{~cm}$, $\mathrm{L}=2(12+8)=40 \mathrm{~cm}$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_84db469a76f5a2995b47g-1.jpg?height=190&width=427&top_left_y=1938&top_left_x=1017)

## VI одделение

1. Во една читална има маси со 3 и со 4 ногалки. Околу секоја маса има по 4 столици, а секоја столица има 4 ногалки. Сите маси заедно имаат 39 ногалки, а сите столици 176 ногалки. Колку маси има со 3, а колку со 4 ногалки?
2. Најди природни броеви а и $\mathrm{b}$ за кои важи равенството $\frac{\mathrm{a}}{6}-\frac{2}{\mathrm{~b}}=\frac{1}{30}$.
3. Од една точка $D$ од хипотенузата на рамнокрак правоаголен триаголник ( $\overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{BC}}=6 \mathrm{~cm}$ ) повлечени се прави $\mathrm{p}_{1} \| \mathrm{AC}$ и $\mathrm{p}_{2} \| \mathrm{BC}$. Правите ги сечат краците ВC и АС соодветно во точките $M$ и $N$. Одреди го периметарот на четириаголникот CNDM.
4. Во триаголних $\mathrm{ABC}$ симетралите на аглите $\mathrm{BAC}$ и $\mathrm{ABC}$ се сечат во точка $\mathrm{M}$, a $\angle \mathrm{AMB}=135^{\circ}$. Најди ја големината на аголот АСВ.

## VI одделенне

1. I - начин: Во читалната има 176:4=44 столици и 44:4=11 маси. Нека има $x$ маси со 4 ногалки, тогаш има $11-x$ маси со три ногалхи, $4 x+(11-x), 3=39 ; 4 x+33-3 x=39$; $x=6$.

Со четири ногалхи има 6 масн, а со 3 ногалхи има 5 масн.

II - начин: Во читалката има 176:4=44 столици и 44:4=II маси. Бидејки снте маси имаат 39 ногалки, следува $39:(4+3)=5$ и остаток 4 ногалки. Значи има 5 маси со 3 ногалки и $5+1=6$ маси со 4 ногалки.

2. Од равенството се заклучува дека: Н.З.С.(6, b) $=30$, а оттука следува $b \in\{5,15,30\}$.

За $\mathrm{b}=5$, имаме: $\frac{\mathrm{a}}{6}-\frac{2}{5}=\frac{5 \mathrm{a}-12}{30}=\frac{1}{30}$, т.е. $5 \mathrm{a}-12-1$, следува дека $a \in \mathrm{N}, \mathrm{b} \neq 5$.

Зa $\mathrm{b}=15$, имаме: $\frac{\mathrm{a}}{6}-\frac{2}{15}=\frac{1}{30}$, т.е. $5 \mathrm{a}-4 \mathrm{a}=1$, и $\mathrm{a}=1 \mathrm{EN}$.

3a $\mathrm{b}=30$, нмаме: $\frac{\mathrm{a}}{6}-\frac{2}{30}=\frac{1}{30}$, т.е. $5 \mathrm{a}-2=1$, следува дека $\mathrm{a} \notin \mathrm{N}$.

Според тоа бараните броеви се $a=1$ и $\mathrm{b}=15$.

3. Бидејки $p_{1}\left|A C, p_{2}\right| B C$ и $\angle c=90^{\circ}$, четирнаголникот CNDM е правоаголннк.

$\mathbf{L}=\overline{\mathrm{CN}}+\overline{\mathrm{ND}}+\overline{\mathrm{DM}}+\overline{\mathrm{MC}} \cdot$ Триаголниците BMD и NDA се правоаголни рамнокраки. $\overline{\mathrm{ND}}=\overline{\mathrm{NA}}$ и $\overline{\mathrm{DM}}=\overline{\mathrm{MB}}$, следува

$\mathrm{L}=\overline{\mathrm{CN}}+\overline{\mathrm{NA}}+\overline{\mathrm{MB}}+\overline{\mathrm{MC}} ;$

$\mathrm{L}=\overline{\mathrm{CA}}+\overline{\mathrm{CB}}=6+6=12 \mathrm{~cm}$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_84db469a76f5a2995b47g-3.jpg?height=344&width=315&top_left_y=866&top_left_x=1030)

4. Нека $\alpha$ и $\beta$ се аглите во триаголникот за кои се повлечени симетрали. Од $\triangle$ АВМ имаме:

$\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}=180^{\circ}-135^{\circ}=45^{\circ}$, . .e. $\alpha+\beta=900$.

22

Бидејки $\alpha+\beta+\gamma=1800$, следува дека $\gamma=900$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_84db469a76f5a2995b47g-3.jpg?height=242&width=401&top_left_y=1268&top_left_x=982)

## VII одделение

1. Докажи дека за секој природен број $n$, изразот $3^{n}+3^{n+1}+3^{n+2}$ д делив со 39 .
2. Едно буре се полни со вода од една цевка. Ако протокот на водата во цевката се намали за $20 \%$, тогаш за колку проценти ќе се зголеми времето за да се наполни бурето со'вода?
3. Рамнокрак трапез $\mathrm{ABCD}$ има основа $\overline{\mathrm{AB}}=50 \mathrm{~cm}$ и $\overline{\mathrm{CD}}=20 \mathrm{~cm}$, а $\angle \mathrm{BAD}=60^{\circ}$. Пресметај го периметарот на тој трапез.
4. Пресметај ја плоштината на рамнокрак трапез чии дијагонали се взаемно нормални, а средната линија на трапезот е еднаква на $6 \mathrm{~cm}$.

## VII одделение

1. Дадениот израз е делив со 39 ако во исто време е делив со 3 и 13. бидејќи 3-13=39.

$$
3^{n}+3^{n+1}+3^{n+2}=3^{n}+3^{n} \cdot 3^{3} \cdot 3^{2} \cdot 3^{2}=(1+3+9) \cdot 3^{n}=13 \cdot 3^{n}
$$

Според тоа изразот е делив со 13. Изразот е делив и со 3. бидејки 3 地 $\underbrace{3 \cdot \ldots .3}_{\mathrm{n}}$. Значи изразот е делив со 3 и із, т.е. тој е делив со 39.

2. Ако протокот се намали за $20 \%$, тогаш новнот проток е $100 \%-20 \%=80 \%=\frac{4}{5}$ од поранешниот. Ако единица цело (волумен на бурето) се подели со новиот проток се добива времето на полнењето во однос на поранешното време, т.е. $1: \frac{4}{5}=\frac{5}{4}=1,25$. Времето се зголемува во однос на поранешното за 0,25 , односно за $25 \%$.
3. Нека DM|BC, гогаш трнаголникот AMD е рамностран, бидејки $\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{M}=600$. Според тoa $\overline{\mathrm{AD}}=\overline{\mathrm{AM}}=\overline{\mathrm{AB}}-\overline{\mathrm{DC}}=30 \mathrm{~cm}$. $\mathrm{L}=50+20+2 \cdot 30 ; \mathrm{L}=130 \mathrm{~cm}$.
4. I - начин: Неха $\overline{\mathrm{MN}}=6 \mathrm{~cm}$, a k upeceк на дијагоналите. Од складноста на $\triangle \mathrm{ABC}$ и $\triangle A B D$, следува $\angle \mathrm{CAB}=\angle \mathrm{ABD}$, а бидејки $\angle \mathrm{AKB}=900, \triangle \mathrm{ABK}$ е рамнокрак правоаголен. Триаголникот KLB е рамнокрак правоаголен, т.е. $\overline{\mathrm{KL}}=\overline{\mathrm{LB}}=\frac{1}{2} \overline{\mathrm{AB}}$. Од исти приччни и $\triangle \mathrm{DKC}$ е рамнокрак правоаголен; $\triangle K S C$ - рамнокрак правоаголен, т.е.

$\overline{\mathrm{KS}}=\overline{\mathrm{SC}}=\frac{1}{2} \overline{\mathrm{DC}}$. Според тоа имаме:

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_84db469a76f5a2995b47g-5.jpg?height=233&width=423&top_left_y=862&top_left_x=1000)

$\mathrm{h}=\overline{\mathrm{KL}}+\overline{\mathrm{KS}}=\frac{\overline{\mathrm{AB}}}{2}+\frac{\overline{\mathrm{DC}}}{2}=\frac{\overline{\mathrm{AB}}+\overline{\mathrm{DC}}}{2}=6 \mathrm{~cm}, \mathrm{uP}=\mathrm{m} \cdot \mathrm{h}=6 \cdot 6=36 \mathrm{~cm}^{2}$.

II - начин: Плоштината ќс ја пресметаме со трансформирање на трапезот во триаголник кој има иста плоштина. Ако низ темето $\mathrm{C}$ повлечеме права паралелна со $B D$, тан го сече продолжението на $A B$ во точката М. Триаголникот AMC е рамнокрак правоаголен со хипотенуза еднаква на збирот од основите.

$$
P=\frac{(\overline{\mathrm{AB}}+\overline{\mathrm{BM}}) \cdot \overline{\mathrm{CC}_{1}}}{2}, \text { бидејки е } \overline{\mathrm{BM}}=\overline{\mathrm{DC}}
$$

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_84db469a76f5a2995b47g-5.jpg?height=324&width=507&top_left_y=1595&top_left_x=917)

Следува $\mathrm{P}=\frac{(\overline{\mathrm{AB}}+\overline{\mathrm{DC}}) \cdot \overline{\mathrm{CC}_{1}}}{2} ; \overline{\mathrm{CC}_{1}}=\frac{1}{2}(\overline{\mathrm{AB}}+\overline{\mathrm{BM}})=\frac{1}{2}(\overline{\mathrm{AB}}+\overline{\mathrm{DC}})=6 \mathrm{~cm} . \mathrm{P}=6 \cdot 6=36 \mathrm{~cm}^{2}$.

## VIII одделение

1. Збирот на четири броја е 229. Ако на првиот му се додаде 1 , од вториот се одземе 2 , третиот се помножи со 3 , а четвртиот се подели со 4 се добиваат еднакви резултати. Кои се тие броеви?
2. Велосипедист кој се движи со брзина од $16 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$, растојанието меѓу местата А и В ќе го помине за еден час побргу отколку ако се движи со брзина од $12 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$. Одреди го растојанието меѓу местата A и B.
3. Во трапез $\mathrm{ABCD}$, основата $\overline{\mathrm{AB}}=12 \mathrm{~cm}$, а основата $\overline{\mathrm{CD}}=4 \mathrm{~cm}$. Збирот на аглите што лежат на основата $\mathrm{AB}$ е $90^{\circ}$. Пресметај ја должината на отсечката $\mathbb{M N}$, ако $\mathrm{M}$ е средина на основата $\mathrm{AB}$, a $\mathrm{N}$ средина на основата $\mathrm{CD}$.
4. Дијагоналите на четириаголник $\mathrm{ABCD}$ се сечат во точката M. Докажи дека производот на плоштините на триаголниците $\mathrm{ABM}$ и $\mathrm{CDM}$ е еднаков на производот од плоштините на триаголниците DAM и BCM.

## VIII одделение

1. Нека а, b, с и d се бараните броеви. Тогаш $a+b+c+d=229$ и $a+1=b-2=3 c=\frac{d}{4}$. Ако броевнте с, $\mathrm{b}$ и $\mathrm{d}$ ги изразиме преку а кие добиеме: $\mathrm{b}=\mathrm{a}+3 ; \mathrm{c}=\frac{\mathrm{a}+1}{3} ; \mathrm{d}=4(\mathrm{a}+1)$. $a+a+3+\frac{a+1}{3}+4(a+1)=229 ; \quad 19 a=665$, r.e. $a=35, b=38, c=12$ и $d=144$.
2. Axо s е растојанието мету местата A и B, a t времето за кое го поминал патот се 16 $\mathrm{km} / \mathrm{h}$, тогаш имаме:

$t=\frac{s}{v_{1}}$ и $t+l=\frac{s}{v_{2}}$. Бидејки $v_{1}=16 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$, а $\quad v_{2}=12 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ следува: $t=\frac{s}{16}$ и $t=\frac{s}{12}-1$; $\frac{s}{16}=\frac{s}{12}-1$. Решавајки ја равенката добиваме дека $\varsigma=48 \mathrm{~km}$.

3. Ако низ точката $\mathrm{N}$ повлечеме правн паралелни со краците на трапезот добиваме триаголних $\mathrm{PQN}$. Бидејќи $\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{B}=90^{\circ}$, а $\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{P}$ и $\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{Q}$ како агли со ларалелни краци, следува дека и $\angle \mathrm{P}+\angle \mathrm{Q}=90^{\circ}$, т.е. $\triangle \mathrm{PQN}$ е правоаголен. Отсечката NM е тежишна

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_84db469a76f5a2995b47g-7.jpg?height=197&width=403&top_left_y=894&top_left_x=940)
линнја кон хипотенузата.

$\overline{\mathrm{NM}}=\frac{1}{2} \overline{\mathrm{PQ}}=\frac{1}{2}(12-2-2)=4 \mathrm{~cm}$.

4. Ако со $\mathrm{P}_{1}, \mathrm{P}_{2}, \mathrm{P}_{3}, \mathrm{P}_{4}$ ги обележиме соодветно плоштините на триаголниците како на цртежот тогаш имаме :

$P_{1}=\frac{\overline{A M} \cdot h_{2}}{2} ; P_{2}=\frac{\overline{M C} \cdot h_{2}}{2} ; P_{3}=\frac{\overline{M C} \cdot h_{1}}{2} ;$

$P_{4}=\frac{\overline{A M} \cdot h_{1}}{2} ;$ u

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_84db469a76f5a2995b47g-7.jpg?height=288&width=471&top_left_y=1243&top_left_x=954)

$P_{1} \cdot P_{3}=\frac{\frac{2}{\overline{A M}} \cdot h_{2}}{2} \cdot \frac{\overline{\mathrm{MC}} \cdot h_{1}}{2}=\frac{\overline{A M} \cdot h_{1}}{2} \cdot \frac{\overline{\mathrm{MC}} \cdot h_{2}}{2}=P_{2} \cdot P_{4}$.