# IV РЕГИОНАЛЕН НАТПРЕВАР ПО МАТЕМАТИКА ЗА УЧЕНИЦИТЕ ОД ОСНОВНОТО ОБРАЗОВАНИЕ 

Задачите и решенијата се скенирани од книгата

Регионални натпревари по математика 83-95

Подготвена од Боривое Миладиновиќ

## V одделение

1. Една четвртина од разликата на два броја е 200. Едниот од нив е три пати помал од другиот. Кои се тие броеви ?
2. Од две места А и В еден спроти друг тргнуваат велосипедист со брзина $10 \frac{2}{5}$ километри на час и мотоциклист со четири пати поголема брзина од велосипедистот. а се сретнале по $1 \frac{1}{2}$ часа. Одреди го растојанието од А до В.
3. Мерните броеви на должините од соседните страни на еден правоаголник се последователни природни броеви, а периметарот е природен број од четвртата десетка. Одреди ја плоштината на тој правоаголник.
4. Плоштината на еден двор, што има форма на правоаголник е 10 ари. Должината на едната страна е 25 метри. Да се огради дворот потребно е на секои 5 метри да се постави по еден столб. Пресметај колку столбови се потребни за оградување на дворот и по колку столбови ќе има секоја страна?

## v одлеление

1. Ако $\frac{1}{4}$ од разликата на двата броја с 200. тогаш нивната вкупна разлиха е 200) $4=800$. Ако едниот 6 рој го обележиме со $x$. тогаш другиог $е 3 x$ па 3x- $x=800$ : $\quad 2 \mathrm{v}=800$ : $\quad \mathrm{x}=400$.

Едниот брхје е 400. а другиот е $3 \cdot 400=1200$.

2. Растојанието меғу двете места ќe го најдеме ако го собереме измияатиот пат на велесипедистот и на метоцнклжстот.

Велосипедистот изминал $10 \frac{2}{5} \cdot 1 \frac{1}{2} \mathrm{~km}$ пат. а мотоциклистот $4 \cdot 10 \frac{2}{5} \cdot 1 \frac{1}{2} \mathrm{~km}$ пат.

Имаме: $10 \frac{2}{5} \cdot 1 \frac{1}{2}+4 \cdot 10 \frac{2}{5} \cdot 1 \frac{1}{2}=\frac{52}{5} \cdot \frac{3}{2}+4 \cdot \frac{52}{5} \cdot \frac{3}{2}=78 \mathrm{~km}$.

Растојанието мету двете места е $78 \mathrm{~km}$.

3. Страните на правоаголникот се $n$ и $n+1$, а неговиот периметар $L=2(n+n+1)=2(2 n+1)$. Бидејќи периметарот е од четвртата десетка, тогаш:

$$
\begin{gathered}
30<2(2 n+1) \leq 40 /: 2: \\
15<2 n+1 \leq 20 \\
14<2 n \leq 19 /: 2: \\
7<n<10 \\
n \in\{8.9\}
\end{gathered}
$$

Страните на правоаголнихот се $8 \mathrm{~cm}$ и $9 \mathrm{~cm}$ нли $9 \mathrm{~cm}$ и $10 \mathrm{~cm}$. Плоштината на правоаголникот е $\mathrm{P}=72 \mathrm{~cm}^{2}$ или $\mathrm{P}=90 \mathrm{~cm}^{2}$.

4. Нека $a=25 \mathrm{~m}$ е ширина, $\mathrm{a} b=1000: 25=40 \mathrm{~m}$ е должина на дворот. Периметарот на дворот е: $L=2(25+40)=130$ метри.

За оградување на целиот двор потребни се $130: 5=26$ столбовн. На поголемата страна има 9 столбови, а на помалата има 6 столбоин.

## VI одделение

1. Во една паралелка четвртина од учениците се членови на математичката секција. Ако во таа секција се појавеа уште три ученици, тогаш бројот на членовите на математичката секција ќe броеше третина од вкупниот број. Колку ученици од таа паралелка членуваат во математичката секција?
2. За $a=-3, b=4$ и $c=-5$, одреди ги вредностите на изразите:
a) $|\mathrm{a}+\mathrm{b}| \cdot \mathbf{c}$;
б) $|\mathrm{a}| \cdot(\mathrm{b}-\mathrm{c})$.
3. Во правоаголних $\mathrm{ABCD}$ бисектрисата на аголот при темето $\mathrm{A}$ ја сече страната $\mathrm{CD}$ во точката $\mathrm{M}$, така што $\overline{\mathrm{CM}}=3 \mathrm{~cm}$. Периметарот на правоаголникот е $36 \mathrm{~cm}$. Одреди ја плоштината на тој правоаголник.
4. Колку страни има многуаголник, во кој можат да се повлечат 65 дијагонали?

## VI одделение

1. Тројцата үченици ке претставувазт $\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$ од вкупниот број жа ученици во паралелката. Во паралелката има 36 ученник. а во математичката секшвја учествувале 9 ученици.
2. a) $|a+b| \cdot c=|-2+4| \cdot(-5)=10$;
6) $|a| \cdot(b-c)=|-2| \cdot(4-(-5))=18$.
3. Нека $M N \perp A B$. Четирнаголникот

ANMD е квадрат со страна $x$ и $L=4 x+2 \cdot 3$. $4 x+6=36 ; x=7,5 \mathrm{~cm}$.

Плоштината на правоаголникот е: $P=(7.5+3) \cdot 7.5=78.75 \mathrm{~cm}^{2}$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_75b625acc0727561063eg-3.jpg?height=254&width=502&top_left_y=1267&top_left_x=922)

4. Ако п е бројот на темнњата на многуаголникот, тогаш: $\frac{n(n-3)}{2}=65$; $\mathrm{n}(\mathrm{n}-3)=130 ; \mathrm{n}(\mathrm{n}-3)=13-10$. Многуаголникот има тринаесет темиња.

## VII одиеление

1. Докажи дека ако средната цифра на трицифрен број е еднаква на збирот од другите две, тогаш тој број е делив со 11.
2. Реши ја равенката: $(x-3) \cdot(x+3)+7 \cdot x-(x-4) \cdot(x+4)=35$.
3. Четириаголникот $\mathrm{ABCD}$ е паралелограм. Отсечката $\mathrm{AM}$ е симетрала на аголот при темето $\mathrm{A}$ и $\mathrm{M} \in \mathrm{DC}$.

a) Докажи дека триаголникот AMD е рамнокрак.

б) Одреди го периметарот на паралелограмот ако $\overline{\mathrm{AD}}=5 \mathrm{~cm}$ и $\overline{\mathrm{MC}}=3 \mathrm{~cm}$.

4. Низ центарот на впишаната кружница во триаголник $\mathrm{ABC}$ е повлечена права р паралелна со BC, која ги сече страните $\mathrm{AC}$ и $\mathrm{AB}$, соодветно во точките $\mathrm{M}$ и N. Докажи дека е: $\overline{\mathrm{MN}}=\overline{\mathrm{BN}}+\overline{\mathrm{CM}}$.

## VII одделение

1. Види: III р.н. VII/1
2. $(x-3)(x+3)+7 x-(x-4)(x+4)=35$

$x^{2}-9+7 x-x^{2}+16=35$

$7 \mathrm{x}=42$

$\mathrm{x}=6$.

3. а) Бидејќи AM е симетрала на аголот во темето $\mathrm{A}$, тогаш: $\angle \mathrm{DAM}=\angle \mathrm{MAB}$.

$\angle \mathrm{DMA}=\angle \mathrm{MAB}$ (како нанзменични агли на трансферзала ). Следува дека $\angle \mathrm{DAM}=\angle \mathrm{DMA}$, т.е. $\triangle \mathrm{ADM}$ е рамнокрак. $\overline{\mathrm{AD}}=\overline{\mathrm{DM}}$.

6) Ако повлечеме MN|AD, тогаш ANMD е ромб со страна $\overline{\mathrm{AD}}=5 \mathrm{~cm}$. (бидејки $\widehat{\mathrm{MC}}=3 \mathrm{~cm}$ ). Периметарот на паралелогра-

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_75b625acc0727561063eg-4.jpg?height=286&width=483&top_left_y=1309&top_left_x=999)
мот е:

$L=4 \overline{\mathrm{AD}}+2 \overline{\mathrm{MC}} ; \quad L=4 \cdot 5+2 \cdot 3=26 \mathrm{~cm}$.

4. Види: III р.н. VII/4.

## VIII одделение

1. Докажи дека $\mathrm{k}^{3}-\mathrm{k}$ е деливо со 6 ( $\mathrm{k}$ е природен број).
2. Докажи го идентитетот: $\frac{2}{3 a+6}-\frac{a-2}{2 a^{2}+4 a}-\frac{2}{3 a^{2}+12 a+12}-\frac{4}{3 a(a+2)^{2}}=\frac{1}{6 a}$ за $a \neq 0$ и $а \neq-2$.
3. Во трапез $\mathrm{ABCD}$ со основи $\mathrm{AB}$ и $\mathrm{CD}$ дијагоналите $\mathrm{AC}$ и $\mathrm{BD}$ се сечат во точката S. Да се докаже дека $\overline{\mathrm{AS}} \cdot \overline{\mathrm{SD}}=\overline{\mathrm{BS}} \cdot \overline{\mathrm{SC}}$.
4. Во рамнокрак триаголник со периметар $32 \mathrm{~cm}$, кракот е за $2 \mathrm{~cm}$ помал од основата. Одреди ја плоштината на впишаниот круг во тој триаголник.

## VIII одделение

1. Види: I p.н. VIII/1.
2. Ја трансформкраме левата страна на ицентитетот.

$\frac{2}{3 a+6}-\frac{a-2}{2 a^{2}+4 a}-\frac{2}{3 a^{2}+12 a+12}-\frac{4}{3 a(a+2)^{2}}=\frac{2}{3(a+2)}-\frac{a-2}{2 a(a+2)}-\frac{2}{3(a+2)^{2}}-\frac{4}{3 a(a+2)^{2}}=$ $=\frac{2 \cdot 2 a(a+2)-3(a-2)(a+2)-2 \cdot 2 a-4 \cdot 2}{6 a(a+2)^{2}}=\frac{4 a^{2}+8 a-3 a^{2}+12-4 a-8}{6 a(a+2)^{2}}=\frac{a^{2}+4 a+4}{6 a(a+2)^{2}}=\frac{1}{6 a}$. 3 ( $a \neq 0$ и $a \neq-2)$.

3. Од паралелноста на $\mathrm{AB}$ н $\mathrm{DC}$, следува дека $\angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{ACD}$ и $\angle \mathrm{ABD}=\angle \mathrm{BDC}$ (како наизменнчни агли). Следува дека $\triangle \mathrm{ABS}-\triangle \mathrm{DSC}$. Од сличноста на триаголниците следува: $\overline{\mathrm{AS}}: \overline{\mathrm{SC}}=\overline{\mathrm{BS}}: \overline{\mathrm{SD}}$, т.e. $\overline{\mathrm{AS}} \cdot \overline{\mathrm{SD}}=\overline{\mathrm{SC}} \cdot \overline{\mathrm{BS}}$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_75b625acc0727561063eg-6.jpg?height=238&width=545&top_left_y=727&top_left_x=934)

4. Ако а е основа на рамнокракнот трнаголник $A B C$, а $b=a$-2 е неговиот крак, тогаш: $\mathrm{a}+2(\mathrm{a}-2)=32$; $3 \mathrm{a}=36$ $\mathrm{a}=12 \mathrm{~cm}, \mathrm{~b}=10 \mathrm{~cm}$.

Висината на триаголникот кон основата е:

$\overline{\mathrm{CC}_{1}}=\sqrt{\mathrm{b}^{2}-\left(\frac{\mathrm{a}}{2}\right)^{2}}: \overline{\mathrm{CC}_{1}}=\sqrt{10^{2}-\left(\frac{12}{2}\right)^{2}}=8 \mathrm{~cm}$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_75b625acc0727561063eg-6.jpg?height=306&width=430&top_left_y=998&top_left_x=1032)

Плоштината на триаголникот е : $\mathrm{P}=\frac{1}{2} \cdot \overline{\mathrm{AB}} \cdot \overline{\mathrm{CC}_{1}}=\frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8=48 \mathrm{~cm}^{2}$. Плоштината на триаголникот изразсна преку страните и радиусот $\mathrm{e}$ :

$$
\begin{gathered}
\mathrm{P}=\frac{1}{2} \overline{\mathrm{AB}} \cdot \overline{\mathrm{OC}_{1}}+\frac{1}{2} \overline{\mathrm{BC}} \cdot \overline{\mathrm{OA}_{1}}+\frac{1}{2} \overline{\mathrm{AC}^{2}} \cdot \overline{\mathrm{OB}_{1}} \\
48=\frac{1}{2} 12 \cdot \mathrm{r}+\frac{1}{2} 8 \cdot \mathrm{r}+\frac{1}{8} 8 \mathrm{r} \\
48=6 \mathrm{r}+5 \mathrm{r}+5 \mathrm{r}=16 \mathrm{r} ; \mathrm{r}=3 \mathrm{~cm}
\end{gathered}
$$

Плоштината на кругот е: $\mathrm{P}=\mathrm{r}^{2} \pi ; \quad \mathrm{P}=9 \pi \mathrm{cm}^{2}$.