# XI РЕГИОНАЛЕН НАТПРЕВАР ПО МАТЕМАТИКА
ЗА УЧЕНИЦИТЕ ОД ОСНОВНОТО ОБРАЗОВАНИЕ
Задачите и решенијата се скенирани од книгата
Регионални натпревари по математика 83-95
Подготвена од Боривое Миладиновиќ
## $\mathbf{V}$ одделение
1. Во дадено делење без остаток, деленикот е зголемен осум пати, па добиен е количник 160. Пресметај го вистинскиот количник.
2. Нацртај агол $\mathrm{AOB}$ од $75^{\circ}$, а потоа подели го на три дела така што првиот дел да биде четири пати поголем од третиот, а вториот три пати поголем од третиот. (Означи ги деловите: I-AOC, II-COD, III-DOB).
3. Еден сточар однел на пазар јаре, овен и теле. Јарето и овенот заедно имале $90 \mathrm{~kg}$, јарето и телето $186 \mathrm{~kg}$, а овенот и телето $240 \mathrm{~kg}$. По колку килограми има секое од нив.
4. Подот на една училница има форма на квадрат и е поплочен со црни и бели плочки. Плочките се во форма на квадрат со страна $20 \mathrm{~cm}$. Во училницата вкупно се вградени 98 црни плочки, така што на секои два квадратни метри се вградени 4 црни плочки.
a) Најди го периметарот на подот на училницата.
б) Најди колку бели плочки се вградени.
## $\mathbf{V}$ өменеления
1. Heкa $a: b=q$, тогam $8 a: b=160$.
$$
\begin{aligned}
8(a: b) & =160 \\
8 q & =160 \\
q & =20
\end{aligned}
$$
2. Hexa $\angle D O B=\alpha$, тогаш $4 \alpha+3 \alpha+\alpha=8 \alpha$. Aroлот $\mathrm{AOB}$ co nомош на стметрала треба да се подели на 8 етнакин пела. $\angle \mathrm{AOC}=4 \mathrm{a}, \angle \mathrm{COD}=3 \alpha, \angle \mathrm{DOB}=\mathrm{a}$.
3. Ако с Ј, Т и О соодветно пи обелехиме тежините на јарето, телето и овенот. тогаш nмaмe:
$$
\begin{gathered}
\mathrm{J}+\mathrm{O}=90 \mathrm{~kg} \\
\mathrm{~J}+\mathrm{T}=180 \mathrm{~kg}: \\
\mathrm{O}+\mathrm{T}=240 \mathrm{~kg}
\end{gathered}
$$
Ако $\mathrm{ru}$ собереме левите и десните страни иа равеиките добиваме:
$$
2(\mathrm{~J}+\mathrm{O}+\mathrm{T})=516 \mathrm{~kg}, \mathrm{~T} . \mathrm{e} . \mathrm{J}+\mathrm{O}+\mathrm{T}=258 \mathrm{~kg}
$$
Cnореп тoa:
$$
T=258-90=168 \mathrm{~kg}, O=258-186=72 \mathrm{~kg} \mathrm{n} J=258-240=18 \mathrm{~kg}
$$
4. а) Ако на $2 \mathrm{~m}^{2}$ се вградени 4 плочка, погаш на $1 \mathrm{~m}^{2}$ се аградени 2 плочки. Спорев тов 98 плочки рескоредени се на $49 \mathrm{~m}^{2}$, т.е. страната иа подот има должина $7 \mathrm{~m}$. Перпметарот на подот $\mathrm{L}=\mathbf{= 4 . 7 - 2 8 \mathrm { m } \text { . }}$
6) Бидејки димензинте на плочките се $20 \mathrm{~cm}$, тогаш $1 \mathrm{~m}^{2}$ го покриваат 25 плочки од кон 2 се црми. Бели плочки има 23.49=1127.
## VI одделение
1. Страната $\mathrm{AC}$ на триаголник $\mathrm{ABC}$ е поделена на четири еднакви делови. Низ добиените точки се повлечени прави паралелни со страната АВ. Должината на најмалата од отсечките зафатена со страните на триаголникот е $15 \mathrm{~cm}$. Најди ја должината на другите отсечки и должината на страната AB.
2. Напишани се, еден до друг, природните броеви на следниот начин $123456789101112 \ldots$ итн. Која цифра стои на 1993 место?
3. Збирот на два природни броја е 288 , а нивниот најголем заеднички делител е 36. Кои се тие броеви?
4. Симетралата на надворешниот агол при основата на еден рамнокрак триаголник ја сече симетралата на надворешниот агол при врвот од истиот триагоник под агол од $80^{\circ}$. Најди ги аглите на тој триаголник.
## VI ouncлeriuc
1. Отсечката DE е средна линија на трмaronnuкот $\mathrm{CNM}$, значи $\overline{\mathrm{MN}}=2 \overline{\mathrm{DE}}=30 \mathrm{~cm}$. Отсечката MN е средиа линија на $\triangle \mathrm{ABC}$. значи $\overline{\mathrm{AB}}=2 \overline{\mathrm{MN}}=60 \mathrm{~cm}$. Ако поллечеме MR|BC, toraw $\overline{\mathrm{SQ}}=\overline{\mathrm{MN}}=\overline{\mathrm{RB}}=30 \mathrm{~cm}$. Otryка следува дека $\overline{\mathrm{AR}}=30 \mathrm{~cm}$, и $\overline{\mathrm{PS}}=\frac{1}{2} \overline{\mathrm{AR}}=15 \mathrm{~cm}$.
Cnopex tou $\overline{\mathrm{PQ}}=15+30=-45 \mathrm{~cm}$.
2. Еиноцпфреките бросви имавт 9 цмфрм, а двоцрфрените 90.2=180 цифри. До 1993 цифра треба па опрелелмме колку пма употребени тршцифрени броеви. Употребени се $1993-(90-2+9)=1804$ црфрм, в 1804:3-601 и 1 - остнок, т.е. запишани се 601 трицифрен бреу. Засдно со 9 - едноиифрени и 90 - двоцифрени броја. вкупно се запишини 700 броја. Првнот нареден број кој треба да де запише е 701 . а празта цифра, ксуа е 1993 по рех е 7.
3. Нека тие брхеви се а и b. тогаш $a+b=288$ и НЗД(а, b) $=36$.
Бидејќи НЗД(а. b)=36 имаме: $\mathbf{a = 3 6 x}$ и b=36y.
$$
\begin{gathered}
36 x+36 y=288 \\
36(x+y)=288 \\
x+y=8
\end{gathered}
$$
Броевите $x$ и у треба да го задоволуваят условот $\mathrm{x}+\mathrm{y}=8$ и $Н$ НЗД( $\mathrm{x}, \mathrm{y})=\mathrm{I}$. Тоа се паровите: $(x=1, y=7)$ и $(x=3, y=5)$. Бараните бросви се:
$$
a=36 \cdot 1=36, b=36 \cdot 7=252 \text { n } a=36 \cdot 3=108, b=36 \cdot 5=180
$$
4. I - начик: Нека $\triangle A B C$ е рамнокрак
$(\overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{BC}})$. тогашы надворешниот агол
$$
\gamma_{1}=2 \alpha . a \angle C B D=\frac{180-\alpha}{2}=90-\frac{\alpha}{2}
$$
Од триаголникот CDB следува:
$$
\begin{gathered}
\angle D C B+\angle C B D+\angle B D C=1800 \\
\alpha+90-\frac{\alpha}{2}+80=180: \\
\alpha=\frac{\alpha}{2}=1800-170: \frac{\alpha}{2}=10 \\
\alpha=20^{\circ} . a \gamma=1800-2 \alpha=1400
\end{gathered}
$$
II - начин: Бидејки $\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{BCD}$. следува дека $\mathrm{AB} \mid \mathrm{CD}$.
$\angle \mathrm{CBD}=\frac{\beta_{1}}{2}=800$. како наязменични агли на трансверзала. Оттука следува:
$$
\alpha=180^{\circ} \cdot \beta_{1}=20^{\circ}, \gamma=180^{\circ} \cdot 2 \alpha=140^{\circ}
$$
## VII одделение
1. За која вредност на $x$ изразот:
$(3 x-4) \cdot(7 x+8)-1.5 x(24 x+4)-5(1-2 x)$, е негативен?
2. Најди двоцифрени броеви за кои важи: Ако двоцифрениот број се помножи со цифрата на десетките се добива трицифрен број запишан со исти цифри.
3. Докажи дека средините на страните на произволен триаголник и подножната точка на една од висините на триаголникот се темиња на рамнокрак трапез.
4. Во првоаголен триаголник $\mathrm{ABC}$ на хипотенузата $\mathrm{AB}$ означени се точките $\mathrm{M}$ и N, така што $\overline{\mathrm{AM}}=\overline{\mathrm{AC}}$ и $\overline{\mathrm{BN}}=\overline{\mathrm{BC}}$. Одреди ја големината на аголот $\mathrm{MCN}$.
## VII оделение
## 1. Види III р.н. VII/2.
2. Нека тој број $\mathrm{e} \overline{\mathrm{bb}}$, тогаш $\mathrm{a} \cdot \overline{\mathrm{ab}}=\overline{\mathrm{xax}}$, т.е. $\mathrm{a} \cdot \overline{\mathrm{ab}}=11 \mathrm{x}=3 \cdot 37 \mathrm{x}$ при што $x \in\{1,2, \ldots, 9\}$. Барањето во јцдачата е исполнето само за $x=1$. Цифрата на десетките на бројот $37 \mathrm{x}$ за $x \in\{2$ 3. .... 9\} е различна од 3. Исто така п $3 x, x \in\{2,3, \ldots$. 9\} е различна од 3 (ипфра на десетките на бројот 37). Оттука следува дека единственнот број хој го зддоволува барањето е 37.
3. Види VIII р.н. VII/2.
4. Бидејки $\overline{\mathrm{AM}}=\overline{\mathrm{AC}}$, следува дека триаголнакот АМС е рамнокрак.
$\angle \mathrm{CMA}=\angle \mathrm{MCA}$ и
$\angle \mathrm{CMA}=\frac{180^{\circ}-\alpha}{2}=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$.
Од $\overline{\mathrm{BN}}=\overline{\mathrm{BC}}$, следува дека триаголникот $\mathrm{BCN}$ е рамнокрак .
$\angle \mathrm{BCN}=\angle \mathrm{CNB}$ и $\angle \mathrm{CNB}=\frac{180^{\circ}-\beta}{2}=90^{\circ}-\frac{\beta}{2}$.
Од триаголнихот $\mathrm{CMN}$ имаме: $\angle \mathrm{MCN}+\angle \mathrm{CMA}+\angle \mathrm{CNB}=180^{\circ}$.
$\angle \mathrm{MCN}+900-\frac{\alpha}{2}+900-\frac{\beta}{2}=1800,6$ идејки $\alpha+\beta=90^{\circ}$ следува: $\angle \mathrm{MCN}=\frac{\alpha+\beta}{2}=\frac{90^{\circ}}{2}=45^{\circ}$.
## VIII одделение
1. Пресметај $\mathrm{a}^{4}+\mathrm{b}^{4}+\mathrm{c}^{4}$, ако $\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=0$ и $\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}=1$.
2. Докажи дека симетралата на аголот $\mathrm{ACB}$ во триаголник $\mathrm{ABC}$ ја дели спротивната страна $\mathrm{AB}$ на две отсечки што се пропорционални со другите две страни на триаголникот.
3. По завршувањето на една кино претстава, дел од гледачите заминале дома со 6 автобуси, при што во секој автобус влегле ист број на гледачи. Останатите, кои биле за $15 \%$ повеќе, заминале пеш. Колку вкупно гледачи имало во салата, ако се знае дека таа може да прими најмногу 400 гледачи, а со автобуси заминале повеќе од 150 гледачи?
4. Ако остриот агол на еден ромб е $30^{\circ}$, тогаш неговата страна е геометриска средина од дијагоналите. Докажи!
## VIII одделенве
1. Дадено е: $a+b+c=0$ и $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$.
Од $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(a b+a c+b c)$ следув $(a b+a c+b c)=\frac{1}{2}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)=\frac{1}{2}$.
Од $(a b+a c+b c)^{2}=a^{2} b^{2}+a^{2} c^{2}+b^{2} c^{2}+2 a b c(a+b+c)$, следува $a^{2} b^{2}+a^{2} c^{2}+b^{2} c^{2}=\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$.
$\mathrm{O}_{4}\left(\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}\right)^{2}=\mathrm{a}^{4}+\mathrm{b}^{4}+\mathrm{c}^{4}+2\left(\mathrm{a}^{2} \mathrm{~b}^{2}+\mathrm{a}^{2} \mathrm{c}^{2}+\mathrm{b}^{2} \mathrm{c}^{2}\right)$, следува
$a^{4}+b^{4}+c^{4}=\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{2}-2\left(a^{2} b^{2}+a^{2} c^{2}+b^{2} c^{2}\right)$, T.e. $a^{4}+b^{4}+c^{4}=12-2 \frac{1}{4}=\frac{1}{2}$.
2. Низ темето В да повлечеме права $p$ паралелна со симетралата $\mathrm{CC}_{1} \cdot \mathrm{p} \cap \mathrm{AC}=\{\mathrm{D}\}$. Триаголникот ВCD е рамнокрак $\left(\angle \mathrm{CDB}=\angle \mathrm{ACC} \mathrm{C}_{1}=\frac{\gamma}{2} ; \angle \mathrm{C}_{1} \mathrm{CB}=\angle \mathrm{CBD} ;\right.$ arли $\mathrm{co}$ паралелни краци), $\overline{\mathrm{CD}}=\overline{\mathrm{CB}}$. Од паралелноста на правите $\mathrm{CC}_{1}$ в $\mathrm{BD}$ следува про-
3. I - начпн: Нека $x$ е бројот на латници во еден автобус. Тогаш со автобус сн заминале вкупно $6 x$. Пеш заминале $6 x+0,15-6 x=6,9 x$. Бројот $x$ е природен 6 рој делив со 10 , бидејки (6,9:x)єN. Од $6 x>150$ и $6 x+6,9 x \leq 400$, следува дека $25150$ следува $x=180$. Вкупно гледачи биле $180+\frac{23}{20} \cdot 180=387$.
## 4. Неха $\mathrm{DD}_{1}$ е висина на ромбот $\mathrm{ABCD}$
со страна а. Од $\triangle \mathrm{ADD}_{1}$ имаме $\mathrm{h}=\frac{\mathrm{a}}{2}$, како страна во правоаголен триагоник спроти агол од 300 . Плоштината на ромбот e: P=a.h или $P=\frac{d_{1} d_{2}}{2}$ ( $d_{1}$ и $d_{2}$ се дијагоналите на ромбот).
Следува деха $a \cdot h=\frac{d_{1} d_{2}}{2}$, т.е. $a^{2}=d_{1} \cdot d_{2}$.