# IX РЕГИОНАЛЕН НАТПРЕВАР ПО МАТЕМАТИКА ЗА УЧЕНИЦИТЕ ОД ОСНОВНОТО ОБРАЗОВАНИЕ
Задачите и решенијата се скенирани од книгата
Регионални натпревари по математика $83-95$
Подготвена од Боривое Миладиновиќ
## V одделение
1. Колку степени има аголот што го опишува минутната стрелка на часовникот за 5 минути?
2. Татко, мајка и ќерка сега имаат заедно 76 години. Таткото е за 4 години постар од мајката. Кога се родила ќерката, таткото и мајката заедно имале 46 години. Колку години има секој од нив сега?
3. Во еден магацин имало 120 големи и 40 мали конзерви. Вкупната маса на сите конзерви е $108 \mathrm{~kg}$. Масата на 3 големи конзерви е иста со масата на 8 мали конзерви. Пресметај ја масата, одделно, на една мала и една голема конзерва.
4. Правоаголник со плоштина $99 \mathrm{~cm}^{2}$ има должина $9 \mathrm{~cm}$. Пресметај ја плоштината на оној квадрат чиј периметар е еднаков на периметарот на правоаголникот.
## $\mathbf{V}$ одделеные
1. Бидејки часот има 60 минути, тогаш $60: 5=12.5$ мннути претставуваат $\frac{1}{12}$ од полннот агол, т.е. $360: 12=30^{\circ}$.
2. Ќерката има: (76-46):3=10 годинн. Мајката има: (46-4):2+10=31 година. Таткото има: $31+4=35$ години.
3. Ако 3 големи конзерви имаат иста маса како 8 мали конзерви, тогаш 120 големи, ќе имаат иста маса со 320 мали конзервн.
Бидејки во магацинот имало вкупно 120 големи и 40 мали конзерви, следува ( $320+40$ ) мали конзерви имаат маса од $108 \mathrm{~kg}$, т.е. една мала конзерва има маса: 108:(320+40) $=0,3 \mathrm{~kg}=300$ грама, а една голема ( $108000-300-40): 120=800$ грама.
4. Ако со а и b ги обележнме страннте на правоаголннкот, тогаш:
$$
P=a \cdot b ; 99=9 \cdot b ; b=11 \mathrm{~cm} .
$$
Периметарот на правоаголникот е: $\mathrm{L}_{\mathrm{p}}=2(\mathrm{a}+\mathrm{b})=40 \mathrm{~cm}$. Ако со $\mathrm{x}$ ја означнме страната на квадратот, тогаш: $\quad \mathrm{L}_{\mathrm{k}}=4 \mathrm{x}=40$, и $\mathrm{x}=10 \mathrm{~cm} . \quad \mathrm{P}_{\mathrm{k}}=\mathrm{a}^{2}=100 \mathrm{~cm}^{2}$.
## VI одделение
1. Докажи дека спроти поголема страна во триаголник лежи поголем агол.
2. Нека $x, y$ и $z$ се рационални броеви, од кои еден е позитивен, еден е негативен и еден е еднаков на нула. Определи кој од тие броеви е позитивен, кој негативен. а кој е нула ако $\frac{x(y-z)}{z}>0$.
3. Ако некој број се подели со 63 се добива количник $\mathrm{n}$ и остаток 59. Пресметај го остатокот, добиен со делење на тој број со 21.
4. Низ средината на кракот $\mathrm{AC}$ на рамнокрак триаголник $\mathrm{ABC}, \overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{BC}}=$ $=10 \mathrm{~cm}$, повлечена е нормала на самиот крак. Нормалата го сече кракот $\mathrm{BC}$ во точката D. Периметарот на триаголникот ABD e $18 \mathrm{~cm}$. Пресметај го периметарот на триаголникот $\mathrm{ABC}$.
## VI одделенне
1. Heka $\overline{\mathrm{BC}}>\overline{\mathrm{AC}}$.
Треба да докажеме дека $\alpha>\beta$. Повлекуваме отсечка AM, така што $\overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{CM}}$. Оттука имаме $\alpha_{1}=\delta$ и $\alpha>\alpha_{1}$, т.е. $\alpha>\delta$. Аголот $\delta$ е надворешен за трнаголникот. Според тоа $\delta>\beta$. Следува дека $\alpha>\beta$.
2. За да е $\frac{x \cdot(y-z)}{z}>0$, потребно е $z \neq 0$ и $x \neq 0$ значи $y=0$.
3. Нека тој број е $x$, тогаш имаме:
$$
\begin{aligned}
& x=63 n+59 \\
& x=3 \cdot 21 n+2 \cdot 21+17 \\
& x=21 \cdot(3 n+2)+17
\end{aligned}
$$
Според тоа бројот поделен со 21 нма остаток 17.
4. Триаголниците AMD и CMD се правоаголни со еднакви катети, штто значи тие се складни. $\triangle \mathrm{ADC}$ е рамнокрак, т.e. $\overline{\mathrm{AD}}=\overline{\mathrm{CD}}$. Оттука следува дека: $\overline{\mathrm{AD}}+\overline{\mathrm{DB}}=10 \mathrm{~cm}$. $\mathrm{L}_{\mathrm{ABD}}=\overline{\mathrm{AB}}+\overline{\mathrm{AD}}+\overline{\mathrm{DB}}$. $18=\overline{\mathrm{AB}}+10$, т.e. $\overline{\mathrm{AB}}=8 \mathrm{~cm}$.
Според тоа $\mathrm{L}_{\mathrm{ABC}}=\overline{\mathrm{AB}}+\overline{\mathrm{BC}}+\overline{\mathrm{AC}}$. $\mathrm{L}_{\mathrm{ABC}}=8+10+10$.
$\mathrm{L}_{\mathrm{ABC}}=\mathbf{2 8} \mathrm{cm}$.
## VII одделение
1. Докажи дека разликата од квадратите на два последователни природни броја е непарен број.
2. Даден е паралелограм ABCD. Нека P е средина на страната AD, а M средина на страната BC. Докажи дека отсечките AM и СР ја делат дијагоналата BD на три еднакви дела.
3. Картата за концерт чинела 180 денари. Кога цената на картата била намалена, бројот на посетителите се зголемил за $50 \%$, а приходот се зголемил за $25 \%$. Колку била новата цена на картата?
4. Дадени се кружниците $\mathrm{k}_{1}\left(\mathrm{O}_{1}, \mathrm{r}_{1}\right)$ и $\mathrm{k}_{2}\left(\mathrm{O}_{2}, \mathrm{r}_{2}\right)$ и правата $\mathrm{p}$. Да се конструира права $t$ паралелна со правата $p$, така што кружниците $k_{1}$ и $k_{2}$ да отсекуваат од неа еднакви тетиви.
## VII одделенне
1. Ако $x$ и $x+1$ се последователни природни броеви, тогаш имаме: $(x+1)^{2}-x^{2}=x^{2}+2 x+1-x^{2}=2 x+1, x \in N$.
2. Отсечките АР и МС се еднакви и паралелни, тоа значи дека четнриаголникот АМСР е паралелограм. Ако повлечеме отсечка TS|MC, тогаш и четнриаголниците ATSP и TMCS ce паралелограми. Од тука следува дека $\overline{\mathrm{TS}}=\overline{\mathrm{MC}}$; $\overline{\mathrm{TS}}=\overline{\mathrm{BM}}$; $\overline{\mathrm{TS}}=\overline{\mathrm{PD}}$ н $\overline{\mathrm{PD}}=\overline{\mathrm{BM}}$.
Да ги разгледаме трнаголннците PRD; RTS и TB M.
I. $\overline{\mathrm{BM}}=\overline{\mathrm{TS}}=\overline{\mathrm{PD}}$.
2. $\angle \mathrm{I}=\angle 2=\angle 3$
3. $\angle 4=\angle 5=\angle 6$
како агли со паралелни краци.
Според тоа $\triangle \mathrm{PRD} \cong \triangle \mathrm{RTS} \cong \triangle T B M$, а од тоа следува дека $\overline{\mathrm{DR}}=\overline{\mathrm{RT}}=\overline{\mathrm{TB}}$.
3. Heка $x$ e бројот на поранешии посетители. Тогаш прнходот бил 180x. По намалупането на цената. прмходот е 180x.1.25=225x. а посетттелм I.5x. Картата чини:
225x:1.5x=150 денарм.
## 4. Начнн на конструкција.
I. Низ $\mathrm{O}_{2}$ повлекуваме права m нормална на p2. Вринне транслацмја на k, за вектор $\overrightarrow{O O}_{1}^{\prime}$ sokk . (види цртеж) Ako k2 ki $=\{A$. B\}, правата $A B$ e бараната права t.
Aкo k2 $k_{1}=\{$ M). правата te тaH-
гента на k и и k.
Ако k2 $k_{1}=\varnothing$. тогаш задачата нема решение.
## VIII одделение
1. Од равенката (a-3)x+(a-1)$\cdot$(3-x)=a+x-8 определи го $x$ ако е познато дека а е корен на равенката $2(\mathrm{a}-5)-3(\mathrm{a}-2)=6(\mathrm{a}-3)$.
2. Во паралелограм $\mathrm{ABCD}$, со периметар $48 \mathrm{~cm}$, отсечките што ги поврзуваат темињата А и B со средината на страната CD се заемно нормални. Пресметај ги должините на страните на тој паралелограм.
3. Низ темето B на правоаголник $\mathrm{ABCD}$ повлечена е права $\mathrm{p}$ нормална на дијагоналата BD. Темињата A и C, соодветно, се оддалечени од правата р за 6,4 $\mathrm{cm}$ и $3,6 \mathrm{~cm}$. Пресметај ги страните на правоаголникот.
4. Учениците Јован, Аница и Илија заедно имале 780 денари. Кога Јован потрошил $\frac{1}{4}$ од своите пари, Аница потрошила $\frac{1}{5}$, а Илија потрошил $\frac{3}{7}$, тогаш на сите им останале еднаква сума на пари. Колку пари имал секој од нив?
## VIII одделен:е
1. Прво ќe ја решвиме втората равенка co што र́e rо определиме a. $2 \mathrm{a}-10-3 \mathrm{a}+6=6 \mathrm{~d}-18 \Leftrightarrow \mathrm{a}=2$. Првата равенка гласи: $(2-3) x+(2-1)(3-x)=2+x-8 \Leftrightarrow x=3$.
2. Aко ја повлечеме тежпшната линпја MP на правоаголнмот триаголиих ABM, тогаш точката Р е цеитар иа оппшаната крухвница околу правоаголниот трмаголинк, ( $\overline{\mathrm{MP}}=\overline{\mathrm{PB}}$ ).
Четнриаголникот PBCM е роиб.
$\overline{\mathrm{MP}}=\overline{\mathrm{PB}}=\overline{\mathrm{BC}}$. т.е. $\overline{\mathrm{AB}}=2 \overline{\mathrm{BC}}$.
Пермметарот на паралелограмот е:
$L=2 \overline{A B}+2 \overline{B C}$
$48=2(2 \overline{B C})+2 \overline{B C}=6 \overline{B C}$, т.e. $\overline{B C}=8 \mathrm{~cm}$, a $\overline{A B}=16 \mathrm{~cm}$.
3. Од тер оната A и C поsлekysave нормелм $\mathrm{AA}_{1}$ и $\mathrm{CC}_{1}$ на дпjaromaлaта $\mathrm{BD}$. Четармаголимmeтe AEBA 1 и $\mathrm{CC}_{1} \mathrm{BF}$ ce правоагаливци, т.е. $\overline{\mathrm{BA}_{1}}=6,4 \mathrm{~cm} \mathrm{~m}$ $\overline{\mathrm{BC}_{1}}=3,6 \mathrm{~cm}$. Правоаголинте трмаголннцр $\mathrm{AA}_{1} \mathrm{D}$ и $\mathrm{CC}_{1} \mathrm{~B}$ се селаднн.
$\overline{\mathrm{DA}_{1}}=\overline{\mathrm{BC}_{1}}=3.6 \mathrm{~cm}$, т.e. $\overline{\mathrm{BD}}=10 \mathrm{~cm}$.
$\mathrm{O}_{\text {A }}$ теоремаaта за пponopцдоналін отсечікі во правоаголинот тршаголннх ABD шааме:
$\overline{\mathrm{AB}}^{2}=\overline{\mathrm{BD}} \cdot \overline{\mathrm{BA}_{1}}$.
$\overline{A B}^{2}=10 \cdot 6,4$
$\overline{\mathrm{AB}}=8 \mathrm{~cm} \mathbf{\mathrm { AD }}=6 \mathrm{~cm}$.
4. Нека на секој му останале по $\mathrm{x}$ денара.
Ако Јован ммал а денари, тогаш: $\mathrm{a}-\frac{1}{4}=\mathrm{x} \Rightarrow \mathrm{a}=\frac{4}{3} \mathrm{x}$.
Aко Аннца вмала $\mathrm{b}$ денари, тогапт: $\mathrm{b}-\frac{1}{5} \mathrm{~b}=\mathrm{x} \Rightarrow \mathrm{b}=\frac{5}{4} \mathrm{x}$.
Aхо Илюја ная с денарм, тогаш: $c-\frac{3}{7} c-x \Rightarrow c=\frac{7}{4} x$.
Bвдеjкm atb+c=780, maмe: $\frac{4}{3} x+\frac{5}{4} x+\frac{7}{4} x=780 \Rightarrow x=180$ демарн.
Јован пмал 240 денарм, Авпца 225 денарв и Илщја 315 денарв.